小波多尺度分析在地磁异常分解中的研究_刘长青.pdf

第 46 卷 第 6 期2023 年 6 月测绘与空间地理信息GEOMATICS SPATIAL INFOMATION TECHNOLOGYVol 46，No 6Jun，2023收稿日期:20211220基金项目:国家自然科学基金项目(42174008)资助作者简介:刘长青(1997)，男，河南郑州人，测绘科学与技术专业硕士研究生，主要研究方向为地磁场建模。小波多尺度分析在地磁异常分解中的研究刘长青，赵东明，谢心和，吕明昊(信息工程大学 地理空间信息学院，河南 郑州 450000)摘要:针对规则的组合球体模型，将小波多尺度分析方法引入到地磁数据的处理中，以便将勘探所需要的地磁异常信息从错综复杂的数据中分离出来。本文的实验中采用 3 种不同的小波函数进行多尺度分析，将分析结果的逼近值和区域异常值的标准方差作为确定最优分解小波和最优分解小波层数的误差参数，并使用不同小波函数进行小波多尺度分析后的结果图像作为参考，对实验结果进行分析，以寻求小波多尺度分析在地磁异常分解中的最优模式。根据实验分析，使用 Sym8 小波函数进行四层分解时可以达到最优效果，得到规则组合球体在不同深度下的埋藏情况，探讨了将小波多尺度分析方法应用到地磁勘探中的可行性。关键词:小波多尺度分析;小波分解层数;地磁场;磁异常分离中图分类号:P209文献标识码:A文章编号:16725867(2023)06004405esearch on Wavelet Multiscale Analysis in GeomagneticAnomaly DecompositionLIU Changqing，ZHAO Dongming，XIE Xinhe，LYU Minghao(School of Geospatial Information，University of Information Engineering，Zhengzhou 450000，China)Abstract:For the regular composite sphere model，the wavelet multiscale analysis method is introduced into the processing of geo-magnetic data，so as to separate the geomagnetic anomaly information needed for exploration from the complex data In the experimentof this paper，three different wavelet functions are used for multiscale analysis The approximate value of the analysis results and thestandard deviation of the regional outliers are used as the error parameters to determine the optimal decomposition wavelet and the opti-mal decomposition wavelet layers The results of wavelet multiscale analysis using different wavelet functions are used as a referenceto analyze the experimental results，in order to find the optimal mode of wavelet multiscale analysis in the decomposition of geomag-netic anomalies According to the experimental analysis，the best result can be achieved by using the Sym8 wavelet function to decom-pose the four layers，and the burial conditions of the regular combination sphere at different depths can be obtained The feasibility ofapplying the wavelet multiscale analysis method to the geomagnetic exploration is discussedKey words:wavelet multiscale analysis;wavelet decomposition layers;geomagnetic field;magnetic anomaly separation0引言地磁场的理论分布是有变化的，而实测某一区域所得到的地磁强度和理论磁场强度是存在差异的，这种差异称为地磁异常。通过建立不同的磁性体模型，采用数学解析、数值模拟等不同的数学方法计算磁场的各种参量，研究其空间分布的特点，从中总结出磁异常多参量场和磁性体之间对应的关系和规律，对磁性体的埋深、形状、产状、分 布 范 围 和 性 质 的 判 别 起 到 一 定 的 保 障作用1。小波变换是磁异常分解的重要手段之一。相较于傅里叶变换，它继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，同时，其具有的衰减和波动特性，克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的“时间(空间)频率”窗口。同时它是时间或者空间频域的局部分析，可以通过平移伸缩运算来完成对函数或者信号的多尺度细化，如此就可以在低频处进行频率细分，在高频处进行(时间)空间细分。本文将小波多尺度分析应用到磁异常分离的研究中，以规则的组合球体为模型，利用不同的小波函数对磁异常进行分解，通过比较不同的小波函数与分解层数对磁异常进行分解后的误差值，并将使用不同小波函数进行小波多尺度分析后的结果图像作为参考，确定最佳的分解层数和最优的小波，得到规则组合球体在不同深度下的埋藏情况。通过分析实验结果，论证将小波多尺度分析方法应用到地磁勘探中的可行性。1小波变换介绍小波变换(wavelet transform，WT)是 1 种新的变换分析方法，它继承和发展了短时傅里叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供 1个随频率改变的“时间(空间)频率”窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。其能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换不能刻画时间域上信号的局部特性的弊端和分析突变和非平稳信号效果不好的缺点。小波变换与傅里叶变换既有相同之处，却又在某些地方存在不同。通过比较，两者具有以下特点2:1)傅里叶变换所包含的基函数具备唯一性的特征;小波变换所包含的小波函数具备非唯一性的特征，同一个问题应用的小波函数不同，结果表现千差万别，因此选用何种小波解决问题需要不断试验分析。2)傅里叶变换在频率域有很不错的局部化特征，尤其是目标信号构成单一的时候。但傅里叶变换在时间(空间)域中不能进行分析，也就是函数空间 f(t)在任一时间上的形态无法通过分析得到。3)小波变换中，如果平移参数 越大。即当进行小波变换时，平移参数?越小，其变换结果相对应于傅里叶变换后的高频部分，而平移参数 f(t)越大，其变换结果相对应于傅里叶变换后的低频部分。4)短时傅里叶变换窗函数宽度为定值，而后者会随平移参数改变而改变，这也就是小波变换在时间域中有局部化能力的原因。从上述的不同中可以看出，在基函数的选取上，小波变换和傅里叶变换是不同的，傅里叶变换具有唯一的基函数 expiwt，而小波变换的基函数并不唯一。因此，对于同一个问题运用不同的小波函数去分析会得到不同的结果，换言之，并不是所有的小波都适合于位场分离，而实验中希望得到的是分解后的高频细节和低频逼近之和等于原始信号。因此，所选取的小波函数应该具备以下几个特点:1)支撑长度。例如:当时间域趋于无穷，而小波函数的衰减很快变成零，那么此小波函数具备有限支撑。2)对称性。小波函数的对称和重构紧紧相关，对称性好，那么重构后的信号就能避免失真的情况，反之亦然。3)消失矩阶数。消失矩越高，可以研究目标信号的高阶变化以及高阶导数两者的奇异性。4)正则性。小波函数的正则性和重构后的平滑性紧紧相关，正则性越好，收敛速度越快，平滑效果越好。5)紧支性。紧支集的长度决定着信号局部特性的好坏，紧支集越短的小波函数，局部时频特征就越好，越有利于信号的瞬时检测。6)正交性。可以使分析简便，有利于信号的精确重构。文中实验所用到的小波函数及其特性见表 111。表 1几种常见的小波函数及其特性Tab 1Several common wavelet functions andtheir characteristics小波名称DbcoifSym正交性双正交性紧支撑性支撑长度2N16N12N1滤波器长度2N6N2N对称性近似对称近似对称近似对称小波函数消失矩阶数N2NN尺度函数消失矩阶数2多球体模型的小波多尺度分解2 1多球体模型磁异常正演将小波多尺度分解应用到磁法勘探资料处理中，模型由多个密度均匀、大小规则的磁性球体构成，选用三维直角坐标系，球体中心埋深、本地磁场、磁化率、球体半径见表 2。该模型的空间分布如图 1 所示，该组合球体模型所产生的磁异常如图 2 所示。表 2规则球体模型参数Tab 2Parameters of regular sphere model异常体中心位置 X(m)中心位置 Y(m)中心埋深 H(m)球体半径(m)本地磁场(nT)磁偏角()磁倾角()磁化率(SI)主球体002515球体 12020102 5球体 22020157 545 0005450 15如图 3 所示，图 3(a)表示的是 2 个浅部球体的磁异常等值线平面图;图 3(b)表示的是深部主球体的磁异常等值线平面图，与图 3(b)中组合球体的磁异等值线平面图进行对比，虽然浅部小球体磁异常从分布范围、数值幅度来看都比深部的主球体所产生的磁异常要小得多，但是在组合球体的磁异常等值线图中，主球体的磁异常依然很大程度上受到小球体的影响。实验中采用 80 m80 m 观测点网格，对规则球体的磁异常进行正演。运用不同的小波函数对规则球体模型磁异常进行分解，得到在不同分解层数下的高频细节和54第 6 期刘长青等:小波多尺度分析在地磁异常分解中的研究图 1多球体模型空间分布Fig 1Spatial distribution of multisphere model图 2组合球体所产生的磁异常Fig 2Magnetic anomaly produced by multisphere低频逼近。重构所得到的高频细节和低频逼近之和作为该球体的磁异常，各小波结果逼近值与区域磁异常值标准差作为确定最佳分解层数的误差衡量参数，将使用不同小波函数进行小波多尺度分析后的结果图像作为参考，在此基础上选用了 Daubechies、Symlets、Coif 3 种小波。图 3多球体模型磁异常等值线Fig 3Magnetic anomaly isoline of multisphere model2 2小波多尺度分析1)Daubechies 小波Daubechies 小波为离散双正交小波，其表达式为DbN，表达式中的 N 表示为 Daubechies 小波的阶数。小波函数的消失矩阶数越大，其光滑性越好，频率域局部化的特性就越好，频带的划分效果越明显，缺点是时域支撑性消减并加大了计算量，其实时性变差。实验选取 N=28 的 Db 小波，分解层数为 15，分别对球体模型的磁异常进行分解、重构(见表 3)。综合不同层数下小波结果逼近值与区域磁异常值的标准差与分解重构图像的效果，确定最佳分解层数。表 3Db 小波各分解层数下标准均方差(单位:nT)Tab 3Standard mean square deviation of each decomposition level of Db wavelet(unit:nT)StdDb2Db3Db4Db5Db6Db7Db8一层47 439 147 435 547 432 347 430 447 430 347 431 647 433 2二层47 441 647 429 947 438 047 445 847 441 347 437 047 449 8三层47 497 947 377 447 273 747 361 047 358 847 338 247 392 7四层53 445 348 762 945 892 548 560 945 498 045 559 447 191 9五层89 582 972 676 166 495 778 167 076 479 661 928 873 139 6Db4 小波进行五层分解时，图像如图 4 所示，其中图1(a)、图 4(d)表示 Db4 小波三层逼近和细节，图 4(b)、图4(e)表示 Db4 小波四层逼近和细节，图 4(c)、图 4(f)表示 Db4 小波五层逼近和细节。图 4Db4 小波进行的五层分解时的高频细节和低频逼近Fig 4High frequency detail and low frequencyapproximation of Db4 wavelet in fivelevel decompositionDb4 小波三层逼近重构图像很大程度上受到浅部磁异常体的影响，但在三层细节处可以看到坐标(20 m，20 m)、(60 m，60 m)有明显的磁异常体存在，结合四层的高频细节图像，可以观察到坐标(60 m，60 m)磁异常体的存在且等值线更为平滑，与仿真模型中的球体实际存在位置符合。利用 Db 小波进行分解时，分解到第四层时效果最好，分解误差值总体小于三层分解和五层分解。Db 小波五层分解时存在着过度分解的问题，误差值已经远远超出理论值的分布范围。结合各层误差值和分解图像，最终确定最佳分解层数为 4，最优小波为四层分解中误差值最小的 Db4 小波。2)Symlets 小波Symlets 小波为 Db 小波改进得到，在各种特性上与Db 小波表现一致，表示形式为 SymN，其中，N 代表阶数。实验选取 48 阶 Sym 小波，分解层数为 15，分别对球体模型的磁异常进行分解、重构(见表 4)。综合不同层数下对应的小波结果逼近值与区域磁异常值的标准差与分解重构图像的效果，确定最佳分解层数。64测绘与空间地理信息2023 年表 4Sym 小波各分解层数标准均方差(单位:nT)Tab 4Standard mean square deviation of each decomposition level of Sym wavelet(unit:nT)StdSym4Sym5Sym6Sym7Sym8一层47 429 647 433 047 430 447 434 147 430 7二层47 432 747 440 847 422 647 420 147 437 0三层47 371 047 355 347 374 647 373 447 324 7四层47 392 348 589 945 485 846 708 044 339 4五层66 595 480 837 665 213 371 645 964 234 7Sym8 小波进行五层分解时，图像如图 5 所示。其中图 5(a)、图 5(d)表示 Sym8 小波三层逼近和细节，图 5(b)、图 5(e)表示 Sym8 小波四层逼近和细节，图 5(c)、图5(f)表示 Sym8 小波五层逼近和细节。图 5Sym8 小波进行五层分解时的高频细节和低频逼近Fig 5High frequency detail and low frequencyapproximation of Sym8 wavelet infive level decomposition如图所示，同使用 Db 小波一样，Sym8 波三层逼近重构图像很大程度上受到浅部磁异常体的影响，但在三层细节图像中，可以看到坐标(20 m，20 m)(60 m，60 m)有明显的磁异常体存在，结合四层的细节图像，可以观察到(60 m，60 m)处磁异常体的存在且等值线平滑，与仿真模型中的球体实际存在位置符合。利用 Sym 小波进行分解时，分解到第四层时的误差值总体小于三层分解和五层分解，分解效果最好。组合球体的磁异常经过 Sym 小波分解后的高频细节显示不同于 Db 小波，其等值线更为平滑。但在进行五层分解时，存在和 Db 小波相同的问题，即过度分解，其误差已明显过大，超出理论值的分布范围，不能很好地描绘异常的分布。因此，在综合误差值和分解重构图像后，确定最佳分解层数为 4，最优小波为四层分解中误差值最小的 Sym8小波。3)Coif 小波Coif 小波同样是以 Daubechies 为基础构建所得到的，相较于 Db 小波，其最大不同在于其更近似于对称小波。在实验中，选取 15 阶数 coif 小波，分解层数为 15，分别对规则组合球体模型的磁异常进行分解、重构(见表5)。综合不同阶数对应的小波结果逼近值与区域磁异常值的标准差与分解重构图像的效果，确定最佳分解层数。表 5coif 小波各分解层数标准均方差(单位:nT)Tab 5Standard mean square deviation of each decomposition level of Coif wavelet(unit:nT)StdCoif1Coif2Coif3Coif4Coif5一层47 426 147 429 447 430 247 430 647 430 8二层47 452 347 440 047 440 547 438 247 436 3三层47 642 447 352 147 401 247 323 747 359 9四层52 702 245 713 645 919 747 439 446 040 7五层81 128 164 690 964 643 268 963 274 832 9Coif4 小波进行一层的分离结果如图 6 所示，其中图6(a)、图 6(b)表示 Coif4 小波二层逼近和细节，图 6(c)、图 6(d)表示 Coif4 小波三层逼近和细节，图 6(e)、图 6(f)表示 Coif4 小波四层逼近和细节，图 6(g)、图 6(h)表示Coif4 小波五层逼近和细节。Coif4 波一层和二层逼近重构图像很大程度上受到浅部磁异常体的影响，仅从图中很难看出其与图 2(b)的差别，但在一层和二层细节重构图像上可以看到坐标(20 m，20 m)(60 m，60 m)存在着磁异常体，结合三层的细节图像，可以观察到(60 m，60 m)处磁异常体的存在且等值线平滑，与仿真模型中的球体实际存在位置相符合。从表和图中可以看出:Coif 小波在进行五层分解时，同样存在分解过度的问题。Coif 小波四层分解误差值总体小于三层分解。但是，不难发现在进行四层分解时，高频细节重构图像上浅部球体的埋深情况很大程度受到主球体的磁异常影响，从而导致其不能很好地从中分离出来。组合模型中浅部磁异常体的分布并不能直观有效地观察出来，因此，并没有选择误差值更小的四层分解。在综合误差值和分解重构图像后，确定最佳分解层数为 3，最优小波为三层分解中误差值最小的为 coif4 小波。74第 6 期刘长青等:小波多尺度分析在地磁异常分解中的研究图 6Coif4 小波进行五层分解时的高频细节和低频逼近Fig 6High frequency detail and low frequencyapproximation of Coif4 wavelet infive level decomposition2 3结果分析实验中采用了 3 种不同的小波函数，共计 15 个不同的类型(Db48、Sym48、Coif15)。利用规则组合体模型的各个参数进行正演，模拟磁性体在地下的埋藏，运用小波多尺度分解的方法寻找磁性体在地下的埋深和埋藏位置。对比 Db4 小波、Sym8 小波和 coif4 小波的误差值。最终确定 3 种小波函数在进行小波多尺度分析时，标准差值的大小相差不大，可以认为 3 种小波函数对规则组合球体模型磁异常分解的效果十分近似。但在对比 3 种小波多尺度分析的重构图像后，发现 Sym8 小波分解后的高频细节图像等值线更为平滑，且与图 3(a)中 2 个浅部球体的磁异常等值线更为相近。最终，确定在磁异常的分析中使用 Sym8 小波函数进行四层分解时可以达到最优效果。3结束语针对磁力资料处理结果不够清晰和直观的现状，本文首先介绍了地磁异常和小波多尺度方法的基本理论，而后结合设置的模型，以 Matlab 为平台实现了小波多尺度分析对地磁异常的多重分解。得到以下结论:1)将小波多尺度分析应用到地磁异常分离的研究中，通过对比误差值和分解重构图像后，确定了使用 Sym8小波函数进行四层分解时可以达到最优效果。2)论证了将小波多尺度分析引入到地磁异常分解中是可行的。小波多尺度分析提供一种更为直观和清晰的方法去分析不同深度异常体的分布情况，这为地磁勘探工作提供了一种工作思路。本文的局限性在于只采用了一种建模方式，如果讨论地磁异常的不同情况，应当建立起种类更为丰富的模型，例如密度不一、形状不一的复杂模型，这会是将小波多尺度分析引入地磁异常分解中亟待解决的问题。参考文献:1刘天佑 位场勘探数据处理新方法 M 北京:科学出版社，2007 2刘天佑 重磁异常反演理论与方法 M 北京:中国地质大学出版社，1992 3蒋勇平 小波多尺度分析在重力场分离中的研究与应用 D 徐州:中国矿业大学，2018 4杨文采，侯遵泽，程振炎 重力场小波多尺度分析与大别苏鲁造山带岩石圈分区 C/2004 年重力学与固体潮学术研讨会暨祝贺许厚泽院士 70 寿辰研讨会会议论文 集 武 汉:中 国 地 球 物 理 学 会，中 国 测 绘 学会，2004 5杨文采，施志群，侯遵泽 离散小波变换与重力异常多重分解 J 地球物理学报，2001，44(4):534541 6杨文采，孙艳云，侯遵泽，等 用于区域重力场定量解释的多尺度刻痕分析方法J 地球物理学报，2015，58(2):520531 7周印明，戴世坤，李昆，等 基于样条插值的 FFT 及其在重磁场正演中的应用 J 石油地球物理勘探，2020，55(4):915922 8Fedi M，Quarta T Wavelet analysis for the regionalresid-ual and local separation of potential field anomaliesJ Geophysical Prospecting，2010，46(5):8596 9Ucan O N，Seker A M，Albora Separation of magneticfields in geophysical studies using a 2D multiresolutionWavelet analysis approach J Journal of the Balkan Geo-physical Society，2000，3(3):5358 10管志宁 区域磁异常定量解释M 北京:地质出版社，1991 11管志宁 地磁场与磁力勘探M 北京:地质出版社，2005 编辑:张曦本刊已许可中国学术期刊(光盘版)电子杂志社在中国知网及其系列数据库产品中以数字化方式复制、汇编、发行、信息网络传播本刊全文。该社著作权使用费与本刊稿酬一并支付。作者向本刊提交文章发表的行为即视为同意我社上述声明。84测绘与空间地理信息2023 年