2023年人教版高中数学第七章复数知识点梳理.pdf

(名师选题名师选题)2023)2023 年人教版高中数学第七章复数知识点梳理年人教版高中数学第七章复数知识点梳理 单选题 1、已知关于x的方程（x2mx）2xi22i（mR）有实数根n，且zmni，则复数z等于（）A3iB3i C3iD3i 答案：B 分析：根据复数相等得出,的值，进而得出复数z.由题意知（n2mn）2ni22i，即2+2=02+2=0，解得=3,=1，=3 i 故选：B 2、复数1 cos isin(0,2)的三角形式是（）A2sin2(cos+2+isin+2)B2sin2(cos2+isin2)C2sin2(cos2+isin2)D2cos2(cos2+isin2)答案：C 分析：根据余弦的二倍角公式以及诱导公式将复数的代数系数转化为三角形式即可求解.1 cos isin=2sin22 2isin2cos2=2sin2(sin2 icos2)=2sin2(cos2 isin2)=2sin2cos 2+isin(2)=2sin2(cos2+isin2)，故选：C.3、复数2i1i（i是虚数单位）的虚部是（）A1BiC2D2i 答案：A 分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.由题意可知，2i1i=2i(1+i)(1i)(1+i)=2+2i2=1+i，所以复数2i1i的虚部为1.故选：A.4、1、2是复数，则下列结论中正确的是（）A若12+22 0，则12 22B|1 2|=(1+2)2 41 2 C12+22=0 1=2=0D|12|=|1|2 答案：D 解析：举反例1=2+，2=2 可判断选项 A、B，举反例1=1，2=可判断选项 C，设1=+，(,)，分别计算|12|、|1|2即可判断选项 D，进而可得正确选项.对于选项 A：取1=2+，2=2 ，12=(2+)2=3+2，22=(2 )2=3 2，满足12+22=6 0，但12与22是两个复数，不能比较大小，故选项 A 不正确；对于选项 B：取1=2+，2=2 ，|1 2|=|2|=2，而(1+2)2 41 2=42 4(2+)(2 )=16 20无意义，故选项 B 不正确；对于选项 C：取1=1，2=，则12+22=0，但是1 0，2 0，故选项 C 不正确；对于选项 D：设1=+，(,)，则12=(+)2=2 2+2|12|=(2 2)2+422=(2+2)2=2+2，1=，|1|=2+2，所以|1|2=2+2，所以|12|=|1|2，故选项 D 正确.故选：D.5、已知复数对应的点在第二象限，为的共轭复数，有下列关于的四个命题：甲：+=2；乙：=2i；丙：=4；丁：=1232i 如果只有一个假命题，则该命题是（）A甲 B乙 C丙 D丁 答案：B 分析：设=+i,=i，根据复数所在象限、复数加法、减法、乘法和除法，结合“只有一个假命题”进行分析，由此确定正确选项.设=+i,=i，由于对应点在第二象限，所以 0，+=2 0)，复数(1 ,)满足|1|=或者|2|=，且|对任意1 0)，所以|=|=，又(1 ,)满足|1|=或者|2|=，则可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，因为|，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60，如图所示，则最多有 10 个可能的终点，即n=10.故选：C 小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.11、若,R，i是虚数单位，+2021i=2 i，则2+i等于（）A2021+2iB2021+4iC2+2021iD4 2021i 答案：D 分析：根据复数相等可得=2，=2021，进而即得.因为+2021i=2 i，所以=2，=2021，即=2，=2021，所以2+i=4 2021i 故选：D 12、若复数53i的实部与虚部分别为a，b，则点A(b，a)必在下列哪个函数的图象上（）A=2By+12 C=|D=22 1 答案：D 分析：将复数化为zabi 的形式即可求出A，将A的坐标代入选项的函数验证即可.因为53i=5(3+i)(3i)(3+i)3212i，所以a32，b12，所以A(12,32)，把点A的坐标分别代入选项，只有 D 选项满足.故选：D.双空题 13、若复数=11+2（i是虚数单位），则z的虚部为_，|=_.答案：-3 3 解析：化简可得=3即可求虚部与模长.由题得=(1)22 2=22 2=3,的虚部为3,|=0+(3)2=3.所以答案是：3,3 小提示：本题主要考查了复数的除法运算与虚部的定义和模长的计算等.属于基础题型.14、复数z=x+yi(x，yR)的共轭复数为，已知 =4,=4(i为虚数单位)，z的虚部为_，=_.答案：2 2i 分析：利用已知条件列出方程组求出x，y，可得复数z以及复数z的虚部 因为复数z=x+yi(x，yR)且 =4,=4，则 =(+)()=2+2=4,=(+)()=2=4 所以2+2=42=4，解得x=0，y=2，所以z=2i，z的虚部为 2.所以答案是：2；2i.15、设复数=i1+i，则在复平面内复数对应的点在第_象限，且|i|=_.答案：一 22 分析：根据复数的除法运算求解复数，根据复数的几何意义即可求解；根据复数的加减运算求解 i，根据复数模的计算公式即可求解.解：因为=i1+i=i(1i)(1+i)(1i)=1+i2=12+12i，所以复数在复平面内对应点的坐标为(12,12)，故位于第一象限；因为 i=12+12i i=1212i，所以|i|=|1212i|=(12)2+(12)2=22.所以答案是：一；22.16、设复数1=1 i，2=cos+isin，其中 0,，若复数=1 2为实数，则=_，|1+2|的范围为_.答案：34 2 1,5#1+2,5 分析：由已知，根据给的1，先表示出1，然后表示出=1 2，并根据数为实数，即可得到等式并根据的范围及可求解出；由已知，先表示出1+2，然后直接计算|1+2|，并根据的范围即可完成求解.因为1=1 i，所以1=1+i，所以=1 2=(1+i)(cos+isin)=(cos sin)+i(cos+sin)，因为复数为实数，所以cos+sin=0，即2sin(+4)=0，所以+4=(Z)，因为 0,，所以=34，因为1+2=(1+cos)+i(sin 1)，所以|1+2|=(1+cos)2+(sin 1)2=3+2cos 2sin=3 22sin(4)，因为 0,，4 4,34，所以sin(4)22,1，所以|1+2|2 1,5.所以答案是：34；2 1,5.17、已知为虚数单位，若复数=2 4+(2)()是纯虚数，则|+1|=_；=_.答案：17 16 解析：根据复数为纯虚数求出实数的值，然后利用复数的模长公式和复数的乘法法则可求出结果.复数=2 4+(2)()是纯虚数，2 4=0 2 0，解得=2，=4，=4，|+1|=|1 4|=17，=162=16.所以答案是：17；16.小提示：本题考查利用复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算以及复数的乘法计算，考查计算能力，属于基础题.解答题 18、根据下列条件，求(1)(1+i)=2；(2)1+i=4+4i 答案：(1)1 i(2)12+72i 分析：（1）利用复数的除法运算求解；（2）利用复数的除法运算求解；(1)解：因为(1+i)=2，所以=21+i=2(1i)(1+i)(1i)=1 i；(2)因为 1+i=4+4i，所以=3+4i1+i=(3+4i)(1i)(1+i)(1i)=12+72i.19、已知复数=(1)+(2+1)()（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围及|的最小值 答案：（1）1；（2）(12,1)，|=355.解析：（1）利用纯虚数的定义，实部为零，虚部不等于零即可得出（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出 解：（1）=(1)+(2+1)()为纯虚数，1=0且2+1 0 =1（2）在复平面内的对应点为(1,2+1)由题意：1 0，12 1 即实数的取值范围是(12,1)而|=(1)2+(2+1)2=52+2+2=5(+15)2+95，当=15(12,1)时，|=95=355 20、已知点(3,1),(cos,sin),为坐标原点，函数()=.(1)求函数()的最小正周期；(2)若A为 的内角，()=4,=3，求 周长的最大值.答案：(1)2(2)3+23 分析：（1）先利用向量数量积和辅助角公式化简得到()=4 2sin(+3)，进而求出最小正周期；（2）利用余弦定理求出(+)2 9=，使用基本不等式求出+23，进而得到 周长的最大值.(1)()=(3,1)(3 cos,1 sin)=3 3cos+1 sin=4 2sin(+3)故()的最小正周期=2，(2)()=4 2sin(+3)=4，解得：sin(+3)=0，而 (0,)，故+3(3,43)，故+3=，所以=23；又=3，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由余弦定理得：cos=2+292=12，所以(+)2 9=，又(+)24，故(+)2 9(+)24，解得：+23，当且仅当=3时等号成立，故+3+23，即 周长的最大值为3+23.