全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识手册.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识全国通用版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式基础知识手册手册 单选题 1、设ab1，y1=+1+1,2=,3=11，则y1，y2，y3的大小关系是（）Ay1y2y3By2y1y3Cy3y2y1Dy2y3y1 答案：C 分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由ab1，有y1y2=+1+1=+(+1)=(+1)0，即y1y2，由ab1，有y2y3=11=+(1)=(1)0，即y2y3，所以y1y2y3，故选：C.2、若正数，满足3+1=5，则3+4的最小值是（）A245B285C5D25 答案：C 分析：由3+4=15(3+4)(3+1)配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.3+4=15(3+4)(3+1)=15(13+3+12)15(13+2312)=5（当且仅当3=12，即=2=1时取等号），3+4的最小值为5.故选：C.3、设，为正数，且+=2，则4+1+1+1的最小值为（）A134B94C74D95 答案：B 分析：将+=2拼凑为+14+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.+=2，(+1)+(+1)=4，即+14+14=1，4+1+1+1=(4+1+1+1)(+14+14)=+1+1+14(+1)+54 2+1+1+14(+1)+54=94，当且仅当+1+1=+14(+1)，且+=2时，即 =53，=13时等号成立.故选：B.4、若实数、满足 0，下列不等式中恒成立的是（）A+2B+2D2+2 0，则+2=()2 0，故+2，A 对 B 错；2+2 2=2+2 22 2=(2 2)2 0，即2+2 2，当且仅当2=2时，即当=4时，等号成立，CD 都错.故选：A.5、已知关于的不等式2 6+3 0在(0，2上有解，则实数的取值范围是（）A(，3)B(，127)C(3，+)D(127，+)答案：A 分析：分离参数，将问题转换为 62+3在(0，2上有解，设函数()=62+3，(0，2，求出函数()=62+3的最大值，即可求得答案.由题意得，2 6+3 0，(0，2，即 62+3，故问题转化为 62+3在(0，2上有解，设()=62+3，则()=62+3=6+3，(0，2，对于+3 23，当且仅当=3 (0,2时取等号，则()max=623=3，故 0(0,0)的解集为(,1)(12,+)，则下列结论错误的是（）A2+=1Bab的最大值为18 C1+2的最小值为 4D1+1的最小值为3+22 答案：C 分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2+3=2，3=1，可判定 A 正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断 B 正确，C 错误，D 正确.由题意，不等式(2+3)2(3)1 0的解集为(,1 12,+)，可得2+3 0，且方程(2+3)2(3)1=0的两根为1和12，所以1+12=32+31 12=12+3，所以2+3=2，3=1，所以2+=1，所以 A 正确；因为 0，0，所以2+=1 22，可得 18，当且仅当2=12时取等号，所以的最大值为18，所以 B 正确；由1+2=(1+2)(2+)=4+4 4+24=4+4=8，当且仅当=4时，即2=12时取等号，所以1+2的最小值为8，所以 C 错误；由1+1=(1+1)(2+)=3+2 3+22=3+2，当且仅当=2时，即=2时，等号成立，所以1+1的最小值为3+22，所以 D 正确 故选：C 9、不等式1+2 1B|2 C|2 1或 2 答案：C 解析：由1+2 0等价于(1)(+2)0，进而可求出不等式的解集.由题意，1+2 0等价于(1)(+2)0，解得2 1，所以不等式1+2 0的解集为|2 0，则22+1+1()10+252取得最小值时，的值为（）A2B2C4D25 答案：A 解析：转化条件为原式=1+1()+()+(5)2，结合基本不等式即可得解.22+1+1()10+252=1+1()+()()+22 10+252=1+1()+()+2 10+252=1+1()+()+(5)2 21 +21()()+0=4，当且仅当=1()=1=5，即=2，=22，=25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11、已知 2，则+42的最小值为（）A6B4C3D2 答案：A 分析：利用基本不等式可得答案.2，2 0，+42=2+42+22(2)42+26，当且仅当 2=42即=4时，+42取最小值 6，故选：A 12、关于x的方程2+(2)+2 1=0恰有一根在区间(0,1)内，则实数m的取值范围是（）A12,32B(12,23C12,2)D(12,23 6 27 答案：D 分析：把方程的根转化为二次函数的零点问题，恰有一个零点属于(0,1)，分为三种情况，即可得解.方程2+(-2)+2-1=0对应的二次函数设为：()=2+(-2)+2-1 因为方程2+(-2)+2-1=0恰有一根属于(0,1)，则需要满足：(0)(1)0，(2-1)(3-2)0，解得：1223；函数()刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，把点(0,0)代入()=2+(-2)+2-1，解得：=12，此时方程为2-32=0，两根为0，32，而32(0,1)，不合题意，舍去 把点(1,0)代入()=2+(-2)+2-1，解得：=23，此时方程为32-4+1=0，两根为1，13，而13(0,1)，故符合题意；函数与x轴只有一个交点，=(-2)2-8+4=0，解得=627，经检验，当=6-27时满足方程恰有一根在区间(0,1)内;综上：实数m的取值范围为(12,236-27 故选：D 填空题 13、已知正数，满足+8=，则+2的最小值为_ 答案：18 分析：由+8=可得1+8=1，+2=(+2)(1+8)展开利用基本不等式即可求解.由+8=可得1+8=1，所以+2=(+2)(1+8)=10+16 10+216=18，当且仅当=16=16 即=3=12 时等号成立，所以+2的最小值为18，所以答案是：18 14、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出 10 升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出 8 升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%，则的取值范围为_.答案：10 40 分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为 10，第二次操作后，利下的纯药液为 10 10 8，由题意可知：10 10 8 60%2 45+200 0 5 40，因为 10，所以10 40，所以答案是：10 40 15、若,+，()2=()3，则1+1的最小值为_.答案：2 分析：根据题中所给等式可化为(11)2=，再通过平方关系将其与1+1联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.因为()2=()3且,+，则两边同除以()2，得(11)2=，又因为(1+1)2=(11)2+41=+41 2 41=4，当且仅当=41，即=2+2,=2 2时等号成立，所以1+1 4=2.故答案为:2 16、已知1 +4,2 4，则3+2的取值范围是_ 答案：(32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设+=,=，因此得：=+2,=2，1 4,2 4，3+2=3+2+2 2=52+2，因为1 4,2 4，所以5252 10,1 2 2，因此3252+2 12，所以32 3+2 12.所以答案是：(32,12)17、已知 0,2时，不等式2+(+1)+1 32 0恒成立，则x的取值范围为_ 答案：(2,1)分析：由题意构造函数关于a的函数()=(2+32)+1，则可得(0)0(2)0，从而可求出x的取值范围.由题意，因为当 0,2，不等式2+(+1)+1 32 0恒成立，可转化为关于a的函数()=(2+32)+1，则()0对任意 0,2恒成立，则满足(0)=+1 0(2)=22+2 3+1 0，解得2 1，即x的取值范围为(2,1)所以答案是：(2,1)解答题 18、设关于x的二次函数()=22 1(1)若=1，解不等式()10在0,2上恒成立，求实数m的取值范围 答案：(1)(12,1)；(2)(95,0)(0,8).分析：（1）由题设有22 1 0在 0,2上恒成立，令()=22 +9并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.（1）由题设，()0等价于22 1 0，即(1)(2+1)0，解得12 0在 0,2上恒成立 令()=22 +9，则对称轴=14 0,2且=92 72=9(8)，当 0，要使()0对 0,2恒成立，所以(0)=+9 0(2)=5+9 0，解得95 9，则95 0时，()开口向上，只需 0，即0 8.综上，(95,0)(0,8)19、已知函数()=(+1)2(1)+1(1)若不等式()1的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式()(+1)；(3)若不等式()0对一切 12,12恒成立，求m的取值范围 答案：(1)0与+1 0分类讨论，可分别求得其解集；（3）(+1)2(1)+1 0 (2 +1)2 +1 2+12+1=1+2(1)2+1，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围（1）根据题意，当+1=0，即=1时，()=2 2，不合题意；当+1 0，即 1时，()1的解集为R，即(+1)2(1)+2 0的解集为R，+1 0=(1)2 4(+1)(2)0，即 0，故 1时，1+273.故 0，即 1时，(1+1)(1)0，1+1=1 2+1 1，解集为|1+1或 1；当+1 0，即 1，解集为|1 1+1 综上所述：当 1时，解集为|1+1或 1.（3）(+1)2(1)+1 0，即(2 +1)2 +1，2 +1 0恒成立，2+12+1=1+2(1)2+1，设1 =，则 12，32，=1 ，12+1=(1)2(1)+1=2+1=1+11，+1 2，当且仅当=1时取等号，12+1 1，当且仅当=0时取等号，当=0时，(2+12+1)max=1，1 小提示：本题考察二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.20、设：实数满足2 2 32 0)，:2 4(1)若=1，且，都为真命题，求的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围 答案：(1)2 3；(2)43 分析：（1）解不等式确定命题，然后求出,中范围的交集可得；（2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解（1）=1时，2 2 3 0，1 3，即:1 3，又:2 4，而，都为真命题，所以2 0，2 2 32 0 3，是的充分不必要条件，则 23 4 且等号不能同时取得，所以 43