数值分析典型例题.pdf

第一章典型例题第一章典型例题例例 3 ln2=0.69314718，精确到 103的近似值是多少？解解 精确到 1030.001，即绝对误差限是0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693第二章典型例题第二章典型例题例例 1 用顺序消去法解线性方程组xxxxxxxxx解解 顺序消元 1717005.555.0014125.025.105.555.001412142141231412bA)3()2/1()2/3(231312rrrrrrM于是有同解方程组17175.555.0142332321xxxxxx回代得解x3=1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为 X(1,1,1)T例例 2 取初始向量 X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组xxxxxxxxx解解 建立迭代格式(k=1,2,3,)5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx第 1 次迭代,k=0X(0)0，得到 X(1)(1,3,5)T第 2 次迭代，k=1 3532123351515232)2(3)2(2)2(1xxxX(2)(5,3,3)T第 3 次迭代，k=2 15)3(25213)3(511)3(2)3(2)2(3)3(2)3(1xxxX(3)(1,1,1)T第 4 次迭代，k=3 1512121311111212)2(3)2(2)2(1xxx X(4)(1,1,1)T例例 4 证明例 2 的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯赛德尔迭代法发散。证明证明 例 2 中线性方程组的系数矩阵为 A122111221于是 D D1D 100010001022001000L000100220U雅可比迭代矩阵为 B0022101220022101220100010001)UL(D10)1(22 2)1(2)2(2221102221122BI30得到矩阵 B0的特征根，根据迭代基本定理 4，雅可比迭代法03,2,1收敛。高斯赛德尔迭代矩阵为GU)LD(1 2003202200001002201200110010001002201220110011 0)2(20032022I2G解得特征根为1=0，2,3=2。由迭代基本定理 4 知，高斯赛德尔迭代发散。例例 5 填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组xxxxxxxx作第 1 次消元后的第 2，3 个方程分别为 。答案答案：5.35.125.15.03232xxxx解答解答 选 a21=2 为主元，作行互换，第 1 个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到5.35.125.15.03232xxxx是应填写的内容。3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组xxxxxxxxx的迭代格式中 (k=0,1,2,)1(2kx答案答案：)(3)1(13kkxx解答解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上 x1的新值。第三章典型例题第三章典型例题例例 1 已知函数 y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日插值多项式 Pn(x)，并计算 f(1)的近似值。只给 4 对数据，求得的多项式不超过 3 次解解 先构造基函数)()()()()(xxxxxxxl)()()()()()()(xxxxxxxl )()()()()()(xxxxxxxl35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3xxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=nkkkxly0)()(xxx)()(xxx)()(xxx)()(xxxxxx f(1)P3(1)例例 3 设是 n+1 个互异的插值节点，nxxxx,.,是拉格朗日插值基函数，证明：),.,)(nkxlk(1)(2)nkkxl)(),.,()(nmxxxlmnkmkk证明证明(1)Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=nkkkxly0)()()()(),()!()()()(xRxPxfxnfxRnnnnnQ当 f(x)1 时，1)()!()()()()()(xnfxlxRxPnnkkknn由于，故有)()(xfnnkkxl)(2)对于 f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定 xm(0mn),作拉格朗日插值多项式，有)()!()())()()(xnfxlxxRxPxnnnkkmknnm当 nm1 时，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以 mnkkmkxxlx)(注意：对于次数不超过 n 的多项式,axaxaxaxQnnnnn.)(利用上结果，有 axaxaxaxQnnnnn.)(=nkknkkknknkknnknkknxlaxxlaxxlaxxla)()(.)()(=nkkknnkknknnknkxlxQaaxxaxaxl00011)()(.)(上式正是 Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的nkkknxlxQ0)()(拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过 n 的多项式在 n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例例 5 已知数据如表的第 2，3 列，试用直线拟合这组数据。解解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是kxkykkxxkyk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5 .aaaa解得 a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x例例 6 选择填空题1.设 y=f(x),只要 x0,x1,x2是互不相同的 3 个值，那么满足 P(xk)=yk(k=0,1,2)的 f(x)的插值多项式 P(x)是 (就唯一性回答问题)答案答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A)()!()()()()()(xnfxPxfxRnnnn(B)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)(C)!()()()()()(nfxPxfxRnnn (D)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)答案答案：(A)，(D)。见教材有关公式。第四章典型例题第四章典型例题例例 1 试确定求积公式的代数精度。)()(d)(ffxxf依定义，对 xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的 k 数值解解 当 f(x)取 1,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(x)=1,有左边,右边xxxfdd)()()(ff(2)取 f(x)=x,有 左边,右边xxxfdd)()()(ff(3)取 f(x)=x2,有 左边=,右边=xxxxfdd)()()()()(ff(4)取 f(x)=x3,有 左边=,右边=xxxxfdd)()()()()(ff(5)取 f(x)=x4,有 左边=,右边=xxxxfdd)()()()()(ff当 k3 求积公式精确成立，而 x4公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数。例例 5 试确定求积公式中的参)()0()()0(2d)(20hffahhffhxxfh数 a，并证明该求积公式具有三次代数精度。解解 公式中只有一个待定参数 a。当 f(x)=1,x 时，有,即 h=h0 11 2d10hxh ,)11(02d120ahhhxxh2222hh不能确定 a，再令 f(x)=x2,代入求积公式，得到,即)202(02d2202hahhhxxh333223ahhh得得.求积公式为121a)()0(12)()0(2d)(20hffhhffhxxfh将 f(x)=x3代入上求积公式，有 )303(1202d22303hhhhxxh可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将 f(x)=x4代入上公式中，有 )404(1202d32404hhhhxxh所以该求积公式具有三次代数精度。例例 6 选择填空题1.牛顿科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点是 。解答解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题第五章典型例题例例 1 证明方程 1xsinx0 在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5104的根要迭代多少次？证明证明 令 f(x)1xsinx f(0)=10，f(1)=sin10(x0，1),故 f(x)0 在区间0，1内有唯一实根。给定误差限0.5104，有.lnln.lnlnln)ln(abn只要取 n14。例例 2 用迭代法求方程 x54x20 的最小正根。计算过程保留4 位小数。分析分析 容易判断1，2是方程的有根区间。若建立迭代格式，此时迭代发散。),()(,)(,xxxxxxx即建立迭代格式，)21(54)24(54)(,24)(,245455xxxxxxx此时迭代收敛。解解 建立迭代格式 xxxx)(,(可任取 1，2 之间的1),21(54)24(54)(054xxxx取初始值值)1.431 0 1.505 1 xx.xx1.516 5 1.518 2.xx.xx 1.5185 .xx取1.5185x例例 3 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，a.要求迭代误差不超过 105分析分析首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过 105。解解 令，求 x 的值。牛顿迭代格式为axxfax)(,),.,()()(kxaxxaxxxfxfxxkkkkkkkkk迭代误差不超过 105，计算结果应保留小数点后 6 位。当 x=7 或 8 时，x3=343 或 512，,取 x0=8,有 )()(,)()(ffff而 7.478 078.xaxx7.439 956 .xaxx.xx7.439760.xaxx.xx7.439760.xaxx于是，取7.439760 x例例 4 用弦截法求方程 x3x210，在 x=1.5 附近的根。计算中保留 5 位小数点。分析分析 先确定有根区间。再代公式。解解 f(x)=x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2取 x1=1,迭代公式为(n=1,2,)()()()(nnnnnnnxxxfxfxfxx .)(xxxxxxxxxx 1.37662).(.x 1.48881).(.x 1.46348).(.x 1.46553).(.x取1.46553，f(1.46553)0.000145x例例 4 选择填空题1.设函数 f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程 f(x)=0 在区间a,b一定有实根。答案答案：f(a)f(b)04牛顿切线法是用曲线 f(x)上的 与 x 轴的交点的横坐标逐步逼近 f(x)0 的解；而弦截法是用曲线 f(x)上的 与 x 轴的交点的横坐标逐步逼近 f(x)0 的解。答案答案：点的切线；两点的连线解答解答：见它们的公式推导.