高等数学第九章第2节二重积分的计算省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,*三、二重积分换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二重积分计算法,第九章,1/31,一、利用直角坐标计算二重积分,且在,D,上连续时,由曲顶柱体体积计算可知,若,D,为,X,型区域,则,若,D,为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2/31,当被积函数,均非负,在,D,上,变号,时,所以上面讨论累次积分法依然有效.,因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3/31,说明:,(1)若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,为计算方便,可,选择积分序,必要时还能够,交换积分序,.,则有,(2)若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-型域或,Y,-型域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4/31,例1.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围闭区域.,解法1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法2.,将,D,看作,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5/31,例2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成闭区域.,解:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及直线,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6/31,例3.,计算,其中,D,是直线,所围成闭区域.,解:,由被积函数可知,所以取,D,为,X,型域:,先对,x,积分不行,说明:,有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7/31,例4.,交换以下积分次序,解:,积分域由两部分组成:,视为,Y,型区域,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8/31,例5.,计算,其中,D,由,所围成.,解:,令,(如图所表示),显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9/31,对应有,二、利用极坐标计算二重积分,在极坐标系下,用同心圆,r,=常数,则除包含边界点小区域外,小区域面积,在,内取点,及射线,=常数,分划区域,D,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10/31,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11/31,设,则,尤其,对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12/31,若,f,1 则可求得,D,面积,思索:,以下各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答:,问,改变范围是什么?,(1),(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,13/31,例6.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,原函数不是初等函数,故本题无法用直角,因为,故,坐标计算.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14/31,注:,利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用反常积分公式,实际上,当,D,为 R,2,时,利用例6结果,得,故式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15/31,例7.,求球体,被圆柱面,所截得(含在柱面内)立体体积.,解:,设,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16/31,定积分换元法,*三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,则,定理:,变换:,是一一对应,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17/31,证:,依据定理条件可知变换,T,可逆.,用平行于坐标轴,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,经过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18/31,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边形,故其面积近似为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19/31,所以面积元素关系为,从而得二重积分换元公式:,比如,直角坐标转化为极坐标时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20/31,例8.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成闭域,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21/31,例9.,计算由,所围成闭区域,D,面积,S,.,解:,令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22/31,例10.,试计算椭球体,解:,由对称性,令,则,D,原象为,体积,V,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23/31,内容小结,(1)二重积分化为累次积分方法,直角坐标系情形:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,24/31,则,(2)普通换元公式,且,则,极坐标系情形:,若积分区域为,在变换,下,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25/31,(3)计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽可能多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,26/31,思索与练习,1.设,且,求,提醒:,交换积分次序后,x,y,交换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27/31,2.,交换积分次序,提醒:,积分域如图,机动 目录 上页 下页 返回 结束,28/31,作业,P95 1,(2),(4),;,2,(3),(4),;,5;6,(2),(4),;,11,(2),(4),;,13,(3),(4),;,14,(2),(3),;,15,(1),(4),;,*,19,(1),;,*,20,(2),第三节 目录 上页 下页 返回 结束,29/31,解：,原式,备用题,1.,给定,改变积分次序.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30/31,2.,计算,其中,D,为由圆,所围成,及直线,解：,平面闭区域.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31/31,