小学数学“尺规作图”教学策略探析——以“玩转尺规”项目式学习为例.pdf

基金项目:福建省教育科学“十四五”规划 年度课题“跨学科视角下的项目式学习研究”(课题编号:)小学数学“尺规作图”教学策略探析 以“玩转尺规”项目式学习为例刘文惠(福州市长乐区海峡路小学福建 福州)摘要 义务教育数学课程标准(年版)在“图形与几何”领域增加了“尺规作图”的内容 要真正发挥尺规作图的教育价值让学生深刻体会其优越性可以整体设计课程将小学阶段新增加的尺规作图教学与现行教材进行整合开展以“玩转尺规”为主题的项目式学习让学生在做中学、创中学经历发现问题、解决问题、建构知识、运用知识的过程积累丰富的作图经验培养学生的几何直观和推理意识增强问题解决能力促进核心素养发展关 键 词 尺规作图项目式学习几何直观 义务教育数学课程标准(年版)在“图形与几何”领域明确提出从第二学段开始将“尺规作图”内容引进课程学习范畴 严格意义上的尺规作图不是简单地应用直尺和圆规来画几何图形而是一种只使用无刻度的直尺和圆规并且只准使用有限次来解决不同的平面几何作图问题的直观操作方法这对习惯了用测量的方法画图的学生来说是一个挑战义务教育课程方案(年版)指出:“探索大单元教学积极开展主题化、项目式学习等综合性教学活动促进学生举一反三、融会贯通加强知识间的内在关联促进知识结构化”“尺规作图”的内容是在真问题驱动下通过“做”引发学生学习、发现和探究这与项目式学习的课程样态与教学策略不谋而合当前“新”课标遇到“旧”教材笔者尝试对现行教材进行整体架构将尺规作图教学与现行教材整合开展以“玩转尺规”为主题的项目式学习分四个课时完成 第一课时在认识线段、射线、直线后学习“认识尺规作等长线段”第二课时在认识三角形后学习“根据给定线段用尺规作三角形”第三课时在理解周长概念后学习“把三角形的三条边画到同一条直线上”体会线段的可加性第四课时学习“用尺规探索三角形的三边关系”尺规作图的学习活动要经历构思与想象、操作与验证、推理与表达、反思与调整的全过程对于发展学生动手操作能力、想象力和推理意识具有重要价值一、问题引领实现方法与经验的迁移义务教育课程方案(年版)指出:“加强知识学习与学生经验、现实生活、社会实践之间的联系注重真实情境的创设增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力”项目式学习是一种建构性的教与学方式是根植于真实情境并以问题为内驱力和创造力的探究性学习倡导学习者自主分析研究真实情境中的问题合作建构解决方案并完成学习任务 在“玩转尺规”这个项目中教师可以将学习任务项目化基于真实情境提出问题让学生从解决真实问题入手利用尺规来解决问题在做中学、创中学积累作图经验发展几何直观比如在“玩转尺规”项目中解决“如何用尺规作等长线段”这一问题时首先可以依托真实情境提出问题 例如以运动会中的铅球比赛场景导入:“如果左下方的黑色线段长度是进入校铅球队的标准这三位同学谁能入选?(如图)”学生通过分析问题明确要想解决“谁能入选”这个问题就要比较从中心点到落地点的 条线段的长度 接着引导学生思考:“如何利用尺规比较线段的长短?”在问题的驱动下借助尺规展开探索 学生操作尺规后汇报汇报分为三个层次:()用无刻度直尺比出校队标准长度再分别和上面的 条线段比较()用圆规比出校队标准长度再分别和上面的 条线段比较()用圆规画一条圆弧再比较三个落地点的长度 这时教师不急于优化方法而是让学生自主寻找方法之间的联系 通过比较三种作图方法之间的共同点学生发现圆规也可以“量”线段即将圆规的两脚分别对准线段的两个端点时可以确定线段的长度 通过画弧就能比较出来而数学教学教学研究且可以找到“无数个标准”依托情境通过交流反馈学生逐渐认识到尺规在比较线段长短中的作用图然后探索如何用尺规做等长线段(如图)教师先鼓励学生构思画法再动手操作最后想办法用关键词概括作图方法并表达作图过程 基于学习经验学生在操作交流后容易总结出用尺规作等长线段的方法图有驱动性的真问题和有效的操作活动能激发学生的内驱力和创造力 本案例中学生在问题的驱动下初体验比较规范的尺规作图 在这个过程中尤其是用“规”来比较和确定长度让学生逐步用数学的思维和语言进行思考和表达加深对数学的理解积累作图经验实现方法和经验的迁移二、应用拓展实现操作与想象的联结义务教育课程方案(年版)要求:“强化学科实践注重做中学引导学生参与学科探究活动经历发现问题、解决问题、建构知识、运用知识的过程体会学科思想方法”尺规作图是让学生借助尺规把头脑里想出来的图直观地表示出来通过画出的形来表示数学问题的抽象模型这种既有挑战性又能激发探索兴趣的作图任务以手脑联动的方式让学生在操作中想象想象中思考思考中表达对学生深入理解数学本质具有促进作用在增强学生动手能力的同时有利于发展学生的几何直观和空间想象能力比如在“玩转尺规”项目中有了之前“作一条线段等于已知线段”的作图经验后可以尝试把作图的操作拓展到根据给定线段作出三角形让学生体会三角形形成的过程加深对三角形特征的理解 可以设计核心问题:“你能用下面的三条线段借助尺规作一个三角形吗?”不少学生选择用无刻度直尺来画在画图的过程中先确定其中一条线段为底边尝试从底边的两个端点出发去“凑”第三个顶点 学生不断想象、尝试、调整发现很难让另外两条边相交 这一困惑引发全班学生的深入思考和讨论逐渐聚焦需要解决的问题:“三角形的第三个顶点该怎样确定?”学生围绕这个问题再次探索(如图)继续调整边的位置经过反复尝试从开始的两条边“凑”不上到一次次调整后终于“凑上”最终找到三角形的第三个顶点 教师鼓励学生认真观察“凑”的过程有些学生想到画弧的方法:先以线段 的一个端点为顶点用圆规量出线段 的长度画一条弧再用同样的方法量出线段 的长度然后以线段 的另一个端点为顶点再画一条弧两弧相交得到一个交点这个点就是三角形的第三个顶点图接着引发学生验证猜想:“为什么两弧交点就是三角形的第三个顶点?”引导学生寻找调整边的位置确定顶点和画弧找交点这两种方法之间的联系 学生在比较辨析中感悟两种方法都是寻找两条边交点的过程如果把第一种不断调整两条边位置所形成的零散的点连起来刚好就是第二种方法中两条弧的轨迹(如图)图这样将基于经验用直尺不断“凑”的过程与用圆规画弧找交点的过程建立联系沟通知识之间的实质性联系学生在理解两弧交点的作用中也丰富了对三角形稳定性的认识 同时借助尺规作图实现了有形的实验操作与无形的思维想象的联结在深度思考解决几何问题的过程中发展空间想象力在动手做数学中感悟尺规作图的独特意义和价值三、多元表征实现直观与抽象的转换数学知识的建构要经历感性认识到理性认识的过程多元表征可以让度量概念可量可感让数学思考“听得见”让抽象的数学“看得见”教师要站在儿童的视角用多元表征的方式将抽象的数学知识直观化促进学生对数学本质的理解和数学知识的建构尺规作图这种由学生实际动手操作的学习过程将原本抽象、乏味的数学知识符号转换成直观、学生具身参与的操作系统可以把复杂、抽象的数学问题变得简明形象借助尺规作图通过多元表征可以实现直观与抽象的转换比如在“玩转尺规”项目中学生在操作活动中构建了周长的概念并且知道三角形的周长必须分别量出三条边的长度再相加 教师适时提出问题:“只量一次能得到三角形的周长吗?”基于认识周长的学习经验有学生建议:“用一根棉线把三角形围起来再把棉线拉直用尺量出长度”教师顺势提出:“只有圆规和直尺怎么办?”学生经过讨论操作创造性地借助尺规把三角形的三条边依次拼接成一条线段量出周长学生经过交流反馈以下三种方法(如图):()用作等长线段的方法依次度量三角形的三条边首尾相接画在直线上这样周长就转化成一条线段的长度()在长为 厘米的底边所在的两个顶点处分别作另外两条边的等长线段把三角形的周长拼接成一条线段的长度()用做等长线段的方法先把长为 厘米的边接到长为 厘米的边上再把这两条边的长度一起接到长为 厘米的边上这样把三角形的三条边拼接成一条长长的线段 学生经历用圆规和直尺把三角形的三条边依次拼接成一条线段的过程亲身体验这三条线段是可以一条一条加上去的 这是学生自己在活动中体会到的知识而不是由教师告诉的 借助尺规作图直观呈现三条线段的累加让学生感悟:“一根棉线”与“一条线段”的共同本质是线段长度的可加性图本案例中利用图像表征数形结合形象地呈现不同的操作过程和转化方法利用言语表征有理有据地还原数学思考的过程 在尺规作图的实践活动中结合多元表征不仅使抽象的周长概念得到直观具体的呈现帮助学生理解周长概念的本质感受度量过程体会线段的有限可加性掌握测量图形周长更一般的方法而且积累了用几何直观解决抽象问题的活动经验四、深度交流实现猜想与推理的融合猜想与推理是数学学习中不可或缺的思维方式数学推理是在猜想的基础上随着探究学习的不断深入而发展起来的 尺规作图的实质是用图形来解决和表达几何问题或数量关系问题有利于培养学生的几何直观和推理意识在教学中教师要定位尺规作图的教学目标重视作图中几何推理的重要价值激发学生的认知冲突引发数学猜想通过深度交流让推理在探究活动中自然而然地发生借助尺规作图实现猜想与推理的融合比如在教学“三角形的三边关系”时教师一般都会用学具小棒让学生操作但是小棒的粗细有误差长度也有限制学生不能自主研究更多的情况 如果用尺规则可以画任意长度不拘泥于教师给定学具的长度尺规可以任意调整好操作误差小还可以根据圆规画出的圆弧是否有交点以及交点的位置判断能否围成三角形帮助学生探索三角形的三边关系 在“玩转尺规”项目中解决“怎样的三条线段能围成三角形?”这一问题时教师先出示问题:“根据已知的两条线段再添一条线段围成三角形你打算怎么添?(如图)”启发学生猜想第三条线段的长度并将猜想出的线段进行由短到长排序想象并初步判断哪些线段能与两条已知线段围成三角形哪些不能围成并在学习任务单上记录自己判断的结果图接着借助尺规在验证中初步感悟这些线段能否围成三角形 交流反馈时首先聚焦()这种情况(如图)学生以不同线段为底边进行验证发现两弧都可以相交并且围成的三角形是相同的 学生进一步体会三角形稳定性的实质:当三条边确定时三角形的形状和大小也就不变了图然后交流验证()的情况(如图)学生发现不管以哪条线段为底边另外两条边都不会相交所以不能围成三角形数学教学教学研究图教师追问:“要想围成三角形应该怎么调整线段 的长度呢?”根据学生的猜想教师动画演示延长线段 并用尺规作图验证的过程(如图)全班重点交流两条线段之和等于第三条线段的情况()发现两条圆弧的交点恰好落在底边 上 学生通过交流达成共识:“交点在线上翘起来后就变短了连不上了”“连着就凸不起来了”等 这些儿童化的语言生动地表达当两条线段的和等于第三条线段时不能围成三角形的理由 学生还达成共识:这个交点要在底边外才能围成三角形 教师再次追问:“要使两弧交点在底边外三条边的长度要满足什么关系?”三次作图活动学生经历能围成、围不成再到延长后能围成的过程通过想象和推理进一步感受要想围成三角形两条短边之和要大于第三边 最后让学生回顾对不同长度的线段与已知线段能否围成三角形的判断是否需要调整并说明理由再运用尺规进行验证图本案例中借助尺规“探”三角形三边关系中的一般规律在“画”中育几何直观在“说”中明数学本质学生在图像语言、符号语言、数学语言三重转换的尺规作图中按照先直观后推理的方式从“法”和“理”两个维度以作图为认知载体进行思辨经历直观深入地理解几何推理的过程实现提升数学思维的目的在小学教学中要发挥尺规作图的育人功能让学生学会尺规作图的方法深刻体会尺规作图的优越性实现从直观认识到抽象推理的飞跃形成初步的推理意识 在新课标的引领下教师要认识尺规作图的教学价值尝试结合项目式学习让学生积累丰富的活动经验促进学生核心素养的发展参考文献教育部.义务教育数学课程标准(年版).北京:北京师范大学出版社:.教育部.义务教育课程方案(年版).北京:北京师范大学出版社:.张丹刘延革.发挥直观想象尺规作图成就思维的精彩:“画一个三角形”教学实践与思考.小学教学:数学版():.马云鹏吴正宪.义务教育数学课程标准(年版)案例式解读(小学).上海:华东师范大学出版社:.刘鹏张丹宋云凤.发挥直观想象发展推理意识:尺规作图教学的思考与实践.小学教学(数学版)():.孙晓天张丹.义务教育课程标准(年版)课例式解读 小学数学.北京:教育科学出版社:.史宁中曹一鸣.义务教育数学课程标准(年版)解读.北京:北京师范大学出版社:.(责任编辑:陈志华)