高考数学单元练习及解析-简单的三角恒等变换.doc

简单的三角恒等变换

题组一
三角函数求值
1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝ (　　)
A. B．－ C. D．－
解析：∵sinα＝，＜α＜π，∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α＋)＝sin(α＋)＝
cosα＝－.
答案：D
2．(2010·平顶山模拟)在△ABC中，sin2A＋cos2B＝1，则cosA＋cosB＋cosC的最大值为(　　)
A. B. C．1 D.
解析：由sin2A＋cos2B＝1，得sin2A＝sin2B，
∴A＝B，故cosA＋cosB＋cosC＝2cosA－cos2A
＝－cos2A＋2cosA＋1.
又0＜A＜，0＜cosA＜1.
∴cosA＝时，有最大值.
答案：D
3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为________．
解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA
＝(cosA－sinA)＝，
∴cosA－sinA＝＞0. ①
∴0＜A＜，∴0＜2A＜
①2得1－sin2A＝，∴sin2A＝.
∴cos2A＝＝.
答案：
4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x.
(1)求f()的值；
(2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值．
解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x，
∴f()＝sin＋cos＝1.
(2)∵f()＝sinα＋cosα＝.
∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±.
sinα＝sin(α＋－)
＝×－(±)×＝.
∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝.

题组二
三角函数式的化简与证明
5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是 (　　)
A．(－，) B．(0，) C．(，) D．(，π)
解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)．
答案：D
6．化简等于 (　　)
A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα
解析：原式＝
＝＝＝1.
答案：A
7．(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)的值是 (　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
解析：∵1＝tan45°＝tan(21°＋24°)＝，
∴1－tan21°tan24°＝tan21°＋tan24°，
即tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1，
∴(1＋tan21°)(1＋tan24°)
＝tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＋1＝2，
同理(1＋tan20°)(1＋tan25°)＝2，
∴(1＋tan21°)(1＋tan20°)(1＋tan25°)(1＋tan24°)＝2×2＝4.
答案：B
8．求证：tan2x＋＝.
证明：左边＝＋
＝
＝
＝＝
＝＝
＝＝
＝右边．
∴tan2x＋＝.

题组三
三角恒等变换的综合应用
9.(2010·大连模拟)若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是 (　　)
A．(，) B．(，π) C．(，) D．(，)

解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0，即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π，故－≤α－≤.
综上，0＜α－＜π，即＜α＜.
答案：C
10．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是________．
解析：法一：设x＝cosαsinβ，
则sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝＋x，
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝－x.
∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴∴
∴－≤x≤.
法二：设x＝cosαsinβ，sinαcosβcosαsinβ＝x.
即sin2αsin2β＝2x.
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.
答案：
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)
一个周期的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的表达式；
(2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值．
解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1.
函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π.
而T＝，则ω＝2.又x＝－时，y＝0，
∴sin＝0.
而－＜φ＜，则φ＝，
∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)．
(2)由f(α)＋f(α－)＝，得
sin(2α＋)＋sin(2α－)＝，
即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝.
∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝.
∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角，
∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0.∴sinα＋cosα＝.
用心 爱心 专心