1、按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第
2、四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,上页,下页,返回,上页,下页,返回,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,第四章 随机变量的数字特征,4.3,协方差及相关系数,第四章 随机变量的数字特征,内容摘要:,对于二维随机变量(,X,Y,),我们除了讨论,X,与,Y,的数学期望和方差以外,还需研究描述,X,与,Y,之间相互关系的数字特征.,有关
3、这方面的数字特征有协方差、相关系数和各阶矩.,4.3,协方差及相关系数,4.3.1,提出问题,1.,如何分析两个随机变量之间的,相互关系呢,?,2.,如何刻画两个随机变量之间线性相关的程度呢,?,4.3.2,预备知识,1.,数学期望,方差,标准差,;,2.,线性函数,矩阵及对称矩阵,.,定义1,量,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,)称为,随机变量,X,与,Y,的,协方差,.记为Cov(,X,Y,),即,Cov(,X,Y,)=,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,).(,4.,3.1),而,称为随机变量,X,与,Y,的,相关系数,.,注意,:,XY,是一个,无量纲,的
4、量,.,4.3.3,提出概念,证,证明,:(1),X,*,Y,*,=Cov(,X,*,Y,*);(2),X,*,Y,*,=,XY,.,例,4.3.1,设,X,*,Y,*,为,X,与,Y,的标准化,随机变量,即,由对称性得到,E,(,Y,*)=0,D,(,Y,*)=1.,先证,(1),:,再证,(2):,=,E,X,*,-,E,(,X,*),Y,*,-,E,(,Y,*)=,E,(,X,*,Y,*),=,XY,.,4.3.4,分析性质,定理,1,对于任意两个随机变量,X,和,Y,下列等式成立,(,设协方差存在,):,(1)Cov(,X,X,)=,D,(,X,).,(2)Cov(,X,Y,)=Cov
5、Y,X,).,(3),若,X,与,Y,相互独立,则,Cov(,X,Y,)=0.,(4),Cov(,X,a,)=0,a,为常数,.,利用数学期望的性质知,结论(1),(2),(3)和结论(4)成立.,1.,协方差的性质,(8),D,(,X,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,)2Cov(,X,Y,).,(4.3.4),(5),Cov(,X,Y,)=,E,(,X Y,),-,E,(,X,),E,(,Y,).,(4.3.3),(6)Cov(,aX,bY,)=,ab,Cov(,X,Y,),a,b,是常数,.,(7)Cov(,X,+,Y,Z,)=Cov(,X,Z,)+Cov(,Y,Z,).,证,
6、证明,(5):Cov(,X,Y,)=,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,),=,E,XY,-,YE,(,X,),-,XE,(,Y,)+,E,(,X,),E,(,Y,),=,E,(,XY,),-,E,(,X,),E,(,Y,),-,E,(,Y,),E,(,X,)+,E,(,X,),E,(,Y,),=,E,(,XY,),-,E,(,X,),E,(,Y,).,利用协方差和数学期望的性质,易证结论,(6),结论,(7),和结论,(8),成立,.,定理,2,设随机变量,X,与,Y,的相关系数,XY,存在,则有,(1),XY,=,YX,;,(2)|,XY,|1;,(3)|,XY,|=1的充分
7、必要条件是:存在常数,a,(,a,0),b,使,P,Y,=,aX,+,b,=1.,2,.,相关系数的性质及实际意义,讲评,我们常利用结论,(5),计算协方差,.,证,结论,(1),可由协方差的性质,(2),推知,.,现证结论,(2).,设,X,*,Y,*,为,X,与,Y,的,标准化随机变量,由例,4.3.1,和定理,1,中性质,(8),得到,0,D,(,X,*,Y,*)=,D,(,X,*)+,D,(,Y,*)2Cov(,X,*,Y,*),=,D,(,X,*)+,D,(,Y,*)2,X*Y*,=,1+12,XY,=2(1,XY,).,由此可得,由,(2),可知,D,(,X,*,Y,*)=2(1,
8、XY,),可见,XY,=1,的充分必要条件是,取,可知上式又等价于,P,Y,=,aX,+,b,=1.,再由,质,(5),知,上式等价于,及方差的性,再证结论,(3).,(1),从这个证明我们还知道,若,a,0,有,XY,=1,这时称,X,与,Y,正线性相关,;,若,a,0,则称,X,与,Y,正相关,;,若,XY,0,则称,X,与,Y,负相关,.,当,XY,=0,时,我们称,X,与,Y,不相关,.,显然,它,等价于,X,与,Y,的协方差为零,.,讲评,相关系数的实际意义,是,:,|,XY,|的,大小 反映了,X,与,Y,的,线性相关程度,.当,|,XY,|,较大时,则,X,与,Y,的线性相关程度
9、较好;当|,XY,|较小时,则,X,与,Y,的线性相关程度较差.,(2),对于标准化随机变量 和,有,相关系数等于协方差,即,XY,=,X*Y*,=Cov(,X,*,Y,*).,(5),对于正态分布,若,(,X,Y,),服从正态分布,那么,X,和,Y,相互独立的,充要条件,是相关系数,XY,=0.,(4)当,X,与,Y,相互独立时,X,与,Y,不相关.但,是,若,X,与,Y,不相关,X,与,Y,不一定相互独立.,(3)相关系数,XY,刻划的是,X,与,Y,之间的,线性关系的强弱.,例,4.3.2,再继续解读例,3.3.1,和例,4.2.2,:,设二维随机变量,(,X,Y,),的分布律为,X,
10、Y,0,1,p.,j,1,2,p,i,.,1,(1),计算,X,与,Y,的协方差以及相关系数;,(2),问随机变量,X,与,Y,是否独立,,是否不相关呢?,(1),已知,X,的数学期望为,解,而,于是,随机变量,X,与,Y,的协方差为,随机变量,X,与,Y,的相关系数为,(2),由例,3.3.1,知,随机变量,X,与,Y,相互独立,.,随机变量,X,与,Y,的相关系数,XY,=,0,即随机变量,X,与,Y,不相关,.,应注意:随机变量,X,与,Y“,不相关,”,与,“,独立,”,并,不等价,.,参见下例,.,由例,4.1.2,知,随机变量,X,和,Y,的数学期望,E,(,X,)=0,和,E,(
11、Y,)=0.,例,4.3.3,再继续解读例,3.3.2,和例,4.1.2:,设二维随机变量,(,X,Y,),的概率密度为,解,已知随机变量,X,与,Y,不相互独立,再问连续型随机变量,X,与,Y,是否不相关,?,从而得到,Cov(,X,Y,)=0,即有,=,0,.,这表明随机变量,X,和,Y,是,不相关,的,虽然随机变量,X,与,Y,不相互独立,.,分析上述例题,得到如下的两个问题,:,问题,1,是,为什么随机变量,X,与,Y,不相互独立呢?,感性上可以这样来理解,:,随机点,(,X,Y,),落入单位圆,x,2,+,y,2,1,内,X,与,Y,之间存在着制约关系,X,2,+,Y,2,1.,因
12、此随机变量,X,与,Y,不相互独立,.,问题,2,是,既然随机变量,X,与,Y,不相互独立,也就是存在着制约关系,为什么它们又不相关呢,?,要注意,现在的制约关系是,X,2,+,Y,2,1,而不是说,“,存在线性关系,”,.,X,和,Y,不相关只是说明二者之间,没有线性关系,是否有其他,(,如平方关系,),关系并没有回答,.,例,4.3.4,设二维随机变量,(,X,Y,),服从,二维正态分布,即,(,X,Y,),N,(,1,2,1,2,2,2,).,试分析各个参数的意义,.,结果是,:,E,(,X,)=,1,E(Y)=,2,D,(,X,)=,1,2,D,(,Y,)=,2,2,XY,=,.,定理
13、3,若,(,X,Y,),服从二维正态分布,那么,X,与,Y,相互独立的充要条件是,X,与,Y,不相关,.,4.3.3,矩的概念,这里再介绍随机变量的另外的几个,数字特征,它们在后面的数理统计学习中,经常用到,.,定义,2,设,X,和,Y,是随机变量,若,E,(,X,k,)(,k,=1,2,),存在,称它为,X,的,k,阶原点矩,简称,k,阶矩,.,若,E,X,-,E,(,X,),k,(,k,=2,3,),存在,称它为,X,的,k,阶中心矩,.,若,E,(,X,k,Y,l,),(,k,l,=1,2,),存在,称它为,X,和,Y,的,k+l,阶混合矩,.,若,E,X,-,E,(,X,),k,Y,
14、E,(,Y,),l,(,k,l,=1,2,),存在,称它为,X,和,Y,的,k,+,l,阶混合中心矩,.,显然,X,的数学期望,E,(,X,)是,X,的一阶原点,矩,方差,D,(,X,)是,X,的二阶中心矩,协方差Cov,(,X,Y,)是,X,和,Y,的二阶混合中心矩.,下面介绍,n,维随机变量的,协方差矩阵,.,c,ij,=Cov(,X,i,X,j,),=,E,X,i,-,E,(,X,i,),X,j,-,E,(,X,j,),i,j,=1,2,n,都存在,则称矩阵,为,n,维随机变量,(,X,1,X,2,X,n,),的,协方差矩阵,.,由于,c,ij,=,c,ji,(,i,j,i,j,=1
15、2,n,),因而上述矩阵,是一个,对称矩阵,.,讲评,一般情况下,n,维随机变量的,分布是不知道的,或者是太复杂,以致在数,学上不容易处理,因此在实际应用中协方差,矩阵就显得重要了,.,4.3.6,内容小结,方差,D,(,X,)=,E,X,-,E,(,X,),2,描述随机变量,X,与它的数学期望,E,(,X,)的偏离程度,我们常用公式,D,(,X,)=,E,(,X,2,),-,E,(,X,),2,计算方差,注意,E,(,X,2,)和,E,(,X,),2,的区别.计算协方差常用公式,Cov(,X,Y,)=,E,(,XY,),-,E,(,X,),E,(,Y,).,思考题:,(1),当,X,与,Y
16、相互独立时,X,与,Y,是否,不相关?,若,X,与,Y,不相关,X,与,Y,是否一定相互独立,?,(2),对于正态分布,若,(,X,Y,),服从正态分布,那么,X,和,Y,相互独立的充要条件是,X,与,Y,不相关吗,?,4.3.7,作业布置,习题,4.3 2,、,5,、,6,、,10,.,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社,,2015,年,8,月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社,,2015,年,8,月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,概率论与数理统计教,案 作业与试卷,.,大连理工大学出版社,,2015,年,8,月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社,,2007,年,7,月,.,联系方式,:,zhengone,






