数的整除特性练习题.doc

数的整除专题训练
知识梳理：
性质1. 如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。
性质2. 如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。
性质3. 如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。
性质4. 如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。
性质5. 如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。
例题精讲：
1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元？
解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 × 3，则这个五位数是25和3的倍数。
    因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x，
    如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；
    如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725
    所以，满足题意的最大五位数为29775。
    29775÷75=397(元)，
    即每位学生最多可能交397元。
2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗？
解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。

3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。
解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。

4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗？请证明你的判断。
解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。

5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢？
解：75=3 ×5 ×5，
    要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法；
    又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。
    则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可组成6种符合要求的四位数。

专题特训：
1. 能被5、4、3整除的最大四位数是(   )。
2. 在5、46、2、15、18、47、30、210中，
(1)能被2整除的有(   )。
(2)能被3整除的有(   )。
(3)能被5整除的有(   )。
(4)能同时被3、5整除的有(   )。
(5)能同时被2、3、5整除的有(   )。
3. 有一个能同时被2、3、5整除的数，已知这个数的各个数位上的数字加在一起是12，那么，这个数的个位上的数字是(   )。
4. 1~100内，所有不能被3整除的数的和是(   )。
5. 能被3整除的最小三位数是(   )。
6. 在150以内，一个数除以18和12，正好都能整除，这个数最大是(   )。
7. 上课时，小丸子的老师告诉大家：“数字中存在这样一些四位数，将它从中间划分成前后两个两位数时，前面的数能被4整除，后面的数能被5整除。而这个四位数本身还能被7整除。”小丸子通过一系列计算知道了所有这样的四位数中最小的一个，那么它应该是(   )。
8. 一个两位数或三位数，是11的倍数，且它的各位数字和为17，这样的数最大是 (   )。
9. 在1~1040间选出一些数，使任意两数之和是34的整数倍，最多可选(   )个。

答案与解析

1. 解：9960。
    [3,4,5]=60，60×166=9960，没有比9960更大的满足条件的四位数了。
2. 解：能被2整除的有46、2、18、30、210，
    能被3整除的有15、18、30、210，
    能被5整除的有5、15、30、210，
    能同时被3、5整除的有15、30、210，
    能同时被2、3、5整除的有30、210。
3. 解：0。
    能被5整除，个位是5、0；
    又能被2整除，则个位只能是0；
    又因其他位数字的和为12，所以肯定能被3整除。
4. 解：3367。
    1~100内，能被3整除的数之和为：
    3+6+…+99=(3+99)÷2× 33=1683。
    而1+2+…+100=5050，所以不能被3整除的数之和为：5050-1683=3367。
5. 解：能被3整除的三位数要求个位、十位、百位的数字之和能被3整除，这样的数最小是102。
6. 解：最小能同时整除18和12的数是36，只要150之内是36的倍数就符合条件，最大的为144。
7. 解：能被4整除的两位数最小为12，能被5整除的数个位是0或5，因此这样的四位数为12□0或12□5，又能被7整除，估算可知这个数是1225。
8. 解：若是两位数，必为“XX”型，2X=17。则X=8.5，舍去；
    如为三位数“abc”，则a+c-b=11，又a+b+c=17，
    得b=3，a+c=14，
    “最大为9，此时c=5，所以935为所求。
9. 解：
①若每一个数均为34的整数倍，则任意两数之和也为34的整数倍。都选34的倍数，有[1040÷34]=30(个)，

②若每一个数均为17的奇数倍，则任意两数之和必为17的偶数倍，即34的整数倍,选34的整数倍加17，有[(1040-17)÷34]+1=31(个)，
    方法②最多，有31个。