6.第六节-二阶常系数非齐次线性微分方程.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,六,节 二阶常系数非齐次线性,微分方程,第,八,章 微分方程,一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。,本节主要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程,(1,),的解法，其中,为常数，,是连续函数.它所对应的齐次方程为,(2),定理1,设,是二阶非齐次线性方程,的一个特解。,是与,(1,)对应的齐次方程,(2,)的通解，那么,(3,),是二阶非齐次线性微分方程,(1,)的通解。,一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。,由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法在第四节中已得到解决,，在这里只要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程特解 的求法。在这里主要讨论,取两种常见形式时,，求,的待定系数法。,1,.,情形,二,、,二阶常系数非齐次线性微分方程的求解,考察二阶常系数非齐次线性方程,(4),其中,是常数，是 的一个,m,次多项式,，,要使方程,(4),的左端等于多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，,因此我们推测 ，,其中 是某个多项式,。,将 ，,，,，,代入方程,(4),并消去 ，得,可以分下列三种情况讨论,：,(1)不是特征方程 的根,，,即,，由于 是一个,m,次多项式，要使,(4),式两端相等，则可设,为另一个,m,次多项式,，,其中 为待定系数。,代入,(4),式可确定这些系数，从而得到特解,要使,(4),式两端相等，则 必须为,m,次多项式,，可设,(2)是特征方程,的单根，即 ，但,。,用同样的方法可确定这些系数，,从而得到特解,(3)是特征方程 的两重根,，即,，,且,。,要使,(4),式两端相等，那么,必须为,m,次多项式，,可设,用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解,综上所述，我们可得到如下结论,：,如果,，,则二阶常系数非齐次线性方程,(4),具有形如,的特解,，其中,是与,同次的多项式，,k,是特征方程,中根 的重数,，按 不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的重根，依次取为,。,例1,求微分方程,的通解。,由于,是特征方程的单根，,设特解为,解,对应齐次方程为,它的特征方程为,特征根为,故对应齐次方程通解为,代入原方程式,，,得,所给微分方程的通解为,得到原方程的一个特解,比较两端 的同次幂的系数得,，即 ，,例2,求微分方程,的通解,。,由于 是特征方程的两重根，,设特解为,对应齐次方程为,解,它的特征方程为,特征根为,故对应齐次方程通解为,代入原方程式,，得,所给方程的通解为,得到原方程的一个特解,比较两端 的同次幂的系数，得,即,的解，则,，,分别是微分方程,定理2,设,是微分方程,(5),的解，其中 为常数，,都是实值函数,2.(,或,)（,其中,是实数,，,是,m,次多项式,）,和,(6),(7),由,，可得,，,即 分别为方程(6)与(7)的解，证毕。,由它们的实部、虚部分别相等，得,即,把它们代入方程(4),得,证,的特解 ，,由定理可知，分别取 的实部(或虚部)，即是微分方程,(8),的特解：,这样，欲求微分方程,或,对 (或 )，利用欧拉公式,(或,),的特解,，,只要,求微分方程,(8),(或 )。,对于微分方程,(8,)的特解求法，与前面部分相同，即有结论：,，,其中，若 不是特征方程的根，取 ；,若 是特征方程的根，取 。,下面求微分方程 的特解,例3,求微分方程,的通解,。,对应的齐次方程为,解,对应齐次方程的通解为,特征根为,它的特征方程为,由于,不是特征方程的根,，所以设特解,，代入所给方程,，,原方程的通解,原方程的特解,所以,故,得,下面求微分方程,的特解,例4,求微分方程,的通解,。,代入方程,解,由于 是特征方程的根，所以设特解,对应的齐次方程的通解为,得 ，,令它们的实部、虚部分别相等，得,，即,原方程的通解为,原方程的特解为,则,在以上的运算中较多的用到复数的运算，如果要避免复数的运算，我们也可直接把 设作三角函数的形式,。,其中 、是,m,次多项式，,k,是特征方程 含有复根 的重数.不是特征方程的根，,k,取0.是特征方程的根，,k,取1。,如果,，则二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解可设为,代入原方程得 ，,即,我们再看例3，求微分方程 的特解,.,解 令 ，,，,，,得 ，即,则,原方程的通解为,。,我们再来看例4，求微分方程,的特解,。,解 由于,i,是特征方程的根，设特解,代入原方程,，得,比较系数,，得,所以,。,原方程的通解为,。,