中职-《工程数学基础》第1章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 函数、极限与连续性,1.1,函数,1.2,极限,1.3,极限运算法则,1.4,两个重要极限,1.5,无穷小与无穷大,1.6,函数的连续性,1.1,函数,1.1.1,函数的概念,1,函数的定义,定义,1,设,D,是一非空实数集,如果存在一个对应法则,f,，使得对,D,内的每一个值,x,，按法则,f,，都有,y,与之对应，则这个对应法则,f,称为定义在集合,D,上的一个函数，记作,其中,x,称为,自变量,y,称为,因变量,或,函数值,D,称为,定义域,，集合 称为,值域,.,2,几个特殊的函数,(1),分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数。,注意：,分段函数的定义域是各段定义区间的并集。,例如：,(2),隐函数,变量之间的关系是由一个方程来确定的函数。,例如：,由方程 确定的函数,.,(3),参数方程所确定的函数,例如：,由,确定的,y,与,x,之间的函数关系,.,（,t,为参数）,3,函数的定义域,常见解析式的定义域求法有：,(1),分母不能为零；,(2),偶次根号下非负；,(3),对数式中的真数恒为正；,(4),分段函数的定义域应取各分段区间定义域的并集,.,例,1,求下列函数的定义域,（,1,）,（,2,）,（,3,）,解题过程,解题过程,解,(1),要使函数有意义,必须,且 ，解不等式得,.,所以函数的定义域为 且,(2),要使函数有意义,必须 ，即,.,所以函数的定义域为,(3),函数的定义域为,1.1.2,初等函数与点的邻域,1,基本初等函数,常数函数：（,C,为常数）,幂函数：,指数函数：,对数函数：,三角函数：,反三角函数：,以上六类函数统称为,基本初等函数,.,为了方便，我们通常把多项式,也看作基本初等函数,。,2,复合函数,引例：,考查具有同样高度,h,的圆柱体的体,积,V,，显然其体积的不,同取决于它的底面积,S,的大小，即由公式,V=Sh,（,h,为常数）确,定。而底面积,S,的大小又由其半径,r,确定，即公式 。,V,是,S的函数，,S,是,r,的函数，,V,与,r,之间通过,S,建立了函数关系式,。它是由函数 与,复合而成的，简单地说,V,是,r,的复合函数。,复合函数定义,复合函数定义,定义：,设,y,是,u,的函数 ，而,u,又是,x,的函数 ，,且 的值域与 的定义域交非空，那么,y,通过中间变量,u,的联系成为,x,的函数，我们把这个函数称为是由函数,与 复合而成的,复合函数,.,记做：,其中,u,称为,中间变量,.,注意：,并不是任意两个函数都能复合成一个复合函数的,.,如 ，就不能复合成一个函数,.,同时，学习复合函数有两方面要求：一方面，会把有限个作为中间变量的函数复合成一个函数；另一方面，会把一个复合函数分解为有限个较简单的函数,.,例,2,将 ，复合成一个函数,.,例,3,指出下列函数的复合过程,.,解题过程,（,1,）,（,2,）,解题过程,解题过程,例,2,解：,例,3,解：,(1),是由 和 复合而成的,.,(2),是由 ，和 复合而成的,.,如何定义平面上一点,的邻域？,3,初等函数,定义,由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合运,算所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数,.,否则称为,非初等函数,.,4,点的邻域,定义,设 ，集合 ，即数轴上到点 的距离小于 的点的全体，称为点 的 邻域，记为,.,点 ，分别称为该邻域的中心和半径。,集合 称为点 的 空心邻域记,.,思考：,返回,1.2,极限,1,数列的定义,定义,按一定规律排列得到的一串数,就称为数列,记为,其中第,n,项 称为数列的,一般项,或,通,项,.,1.2.1,数列极限,观察以下三个数列：,（可以写出一部分数值）,讨论结论,（,1,）,（,2,）,（,3,）,讨论结论,观察上面三个数列：,(1),当,n,无限增大时，也无限增大；,(2),当,n,无限增大时，无限地趋近于,0,；,(3),当,n,无限增大时，总,在,1,，,-1,两个数值之间跳跃。,2,数列极限的定义,定义,对于数列,如果当项数,n,无限增大时,数列的一般项,无限地趋近于某一确定的常数,A,那么称常数,A,是数列 的,极限,记为 ，或者记为 （读作：当,n,趋向于无穷大时，的极限等于,A,）,.,若数列存在极限，称数列是,收敛,的；若数列没有极限，则,称数列是,发散,的,1.2.2,函数极限,1,当 ，函数 的极限,定义,如果当 无限增大（即 ）时，函数 无限地趋,近于某一确定的常数,A,，那么称常数,A,是函数 当 时,的极限，记为,或,解题过程,解题过程,结论,结论,由例,2,我们可以得出下面的结论：,例题与注意点,例题,注意点,分别作函数图像讨论下列极限,例,6,的结论,结论,思考题,返回,1.3,极限运算法则,说明：,法则（,1,）（,2,）可推广到有限个函数的情况。,推论,例题,例题,解题过程解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,说明：,以上两个均为“”型极限，可通过因式分解、根式有理化消去,分母上的零因子,解题过程,说明,：这是“”型极限，通过通分转化,思考题,（,1,）,（,2,）,解题过程,解题过程,解思考题（,1,）,解思考题（,2,）,其他结论,注：以下结论在极限的反问题中常用,返回,1.4,两个重要极限,首先介绍一个极限存在准则：,1.4.1,极限：,x(,弧度,),0.50,0.10,0.05,0.04,0.03,0.02,0.9585,0.9983,0.9996,0.9997,0.9998,0.9999,从上表可以看出：,例题,例,1,求,例2,求,例,4,求,例,3,求,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解例,1,解例,2,解例,3,解例,4,设,返回例题,1.4.2,极限：,2,10,1000,10000,100000,2.25,2.594,2.717,2.7181,2.7182,-10,-100,-1000,-10000,-100000,2.88,2.732,2.720,2.7183,2.71828,从上表可以得出：,说明,说明,例,5,求,例,6,求,例,7,求,例,8,求,例题,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解例,5,解例,6,解例,7,解例,8,返回,返回例题,1.5,无穷小与无穷大,1.5.1,无穷小,1,无穷小的定义,注意,2,无穷小的性质,在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下性质：,性质,1,有限个无穷小的代数和仍为无穷小；,性质,2,有限个无穷小的乘积仍为无穷小；,性质,3,有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小；,推论,常数与无穷小的乘积仍为无穷小。,例,1,求,思考题,3,无穷小与函数极限的关系,证明略,1.5.2,无穷大,注意点,注意：,1.5.3,无穷大与无穷小的关系,说明,说明,例,3,求,例,4,求,例,5,求,解题过程,解题过程,解题过程,解题过程,解例,3,解例,4,解例,5,因为,所以,结论,返回,结论,分析例,3,例,5,的特点和结果，我们可得当自变量趋向于无穷大时有理分式的极限的法则：,1.5.4,无穷小的比较,已知两个无穷小的和与积仍为无穷小，但两个无穷小的商却会出现不同的结果。,例子,例子,例子,例子,例,10,求,例,11,求,例,12,求,思考题,解题过程,解题过程,解题过程,如何求,返回,解题过程,解题过程,返回,解题过程,返回例题,1.6,函数的连续性,1.6.1,函数在一点处连续,1,变量的增量,2,连续的定义,所谓“函数连续变化”，在直观上来看，就是它的图象是连,续不断的,.,一点处连续的定义,例子,例子,另有函数在一点处连续的等价形式和左右连续的定义,例子,例子,1.6.2,连续函数及其运算,1,连续函数,2,连续函数的运算,注意,和、差、积的情况可以推广到有限个函数的情形。,3,复合函数的连续性,例如求,4,初等函数的连续性,根据初等函数的定义,由基本初等函数的连续性以及本节有,关定理可得下列,重要结论,：一切初等函数在其定义区间内都是,连续的。所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间。,例子,例子,1.6.3,函数的间断点,1,间断点的概念,2,间断点的分类,在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点称为,跳跃间断点,；如果左、右极限存在且相等,(,即极限存在,),，这类间断点称为,可去间断点,.,例子,解题过程,解题过程,解题过程,返回例题,解题过程,返回例题,1.6.4,闭区间上连续函数的性质,注意,如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值。,返回,