1、函数值域的求法及应用
高考要求
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题
重难点归纳
(1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法 配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分
2、析能力和数学建模能力
典例讲解
例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
技巧与方法 本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决
解 设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,
则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,
将x=代入上式得 S=5000+4
3、4 (8+),
当8=,即λ=<1)时S取得最小值
此时高 x==88 cm, 宽 λx=×88=55 cm
如果λ∈［］，可设≤λ1<λ2≤,
则由S的表达式得
又≥,故8－>0,
∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增
从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值
答 画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小 如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小
例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞
(1)当a=时，求函数f(x)的最小值
(2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求
4、实数a的取值范围
技巧与方法 解法一运用转化思想把f(x)>0转化为关于x的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得
(1)解 当a=时，f(x)=x++2
∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，
∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)=
(2)解法一 在区间［1，+∞上，
f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立
设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞
∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，
∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，
故a>－3
解法二 f(x)=x++2
5、x∈［1,+∞
当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；
当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,
当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3
例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)
(1)证明 当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值
(3)求证 对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1
(1)证明 先将f(x)变形 f(x)=log3［(x－2m)2
6、m+］,
当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，
故f(x)的定义域为R
反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M
(2)解析 设u=x2－4mx+4m2+m+,
∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小
而u=(x－2m)2+m+,
显然，当x=m时，u取最小值为m+,
此时f(2m)=log3(m+)为最小值
(3)证明 当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,
当且仅当m=2时等号成立
∴log3(m+)≥lo
7、g33=1
巩固练习
1 函数y=x2+ (x≤－)的值域是( )
A(－∞,－ B［－,+∞ C［,+∞ D(－∞,－］
2 函数y=x+的值域是( )
A (－∞,1 B (－∞,－1 C R D ［1,+∞
3 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于()2千米 ，那么这批物资全部运到B市，最快需要_________小时(不计货车的车身长)
4 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x－x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位 百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？
(3)年产量多少时，企业才不亏本？
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