椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广.docx

椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论
尤溪文公高级中学 郑明淮
圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.
定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设为椭圆弦（不平行轴）的中点，则有：
证明：设，，则有， 两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以，所以

定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以，所以
例1、已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A、 B、 C、 D、
分析：本题中弦的斜率 且，根据定理有，即，解得，所以B答案正确.
例2、过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.
解：设弦所在的直线为，根据椭圆中点弦的斜率公式知，显然，所以，故所求的直线方程为，即.
例3、过椭圆上的一点作直线交椭圆于点，求中点的轨迹方程.
解：设的中点为，则，，由椭圆中点弦的的斜率公式得，即所求的轨迹方程为
例4、已知椭圆，、是椭圆上的两点，线段的垂直平分线与轴交于，求证：.
证明：设的中点为，由题设可知与轴不垂直，，由椭圆的中点弦斜率公式得:
，所以直线的方程为：，令解得，，，即：
例5、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使交双曲线
于、两点且点是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；
若不存在，说明理由.
解：若存在这样的直线的斜率为，则，由双曲线中点弦的斜率公式知：，此时的方程为：，即，将它代入双曲线方程并化简得：，而该方程没有实数根.故这样的直线 不存在.
定理1推论：若、是椭圆上关于中心对称的两点，是椭圆上任一点，当、的斜率和都存在时，有.
证明：如图：连结，取中点，连结，则，所以有，由椭圆中点弦斜率公式得：.所以.
类似地可以证明
定理2推论：若、是双曲线上关于中心对称的两点，是双曲线上的任一点，当、的斜率和都存在时，有.