第三章-平面任意力系.doc

第三章 平面任意力系
第三章 平面任意力系

[习题3-1] 轴与轴斜交成角，如图3-23所示。设一力系在平面内，对轴和轴上的A、B两点有，，且，。已知，求B点在轴上的位置。
解：
因为，但，即，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向A点简化的结果是：是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心A。
又因为，但，即，根据平面力系简化结果的讨论（2）可知，力系向B点简化的结果是：是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心B。
一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。
因此，合力的作用线同时能过A、B两点。
又因为，所以合力与轴垂直。即AB与垂直。
由直角三角形OAB可知，B点离O点的距离为：

[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy平面内)中的各力在x轴上投影之代数和等于零，对A、B两点的主矩分别为，，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ)。
解：由公式（3-5）可知：

依题意，故有：

故C点的水平坐标为：。
[习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力FP＝250ｋＮ，屋顶传来的力FQ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O简化。图中长度单位是ｍｍ。

解:主矢量: (↓)，作用在O点。
主矩:
[习题3--4] 已知挡土墙自重，土压力，水压力，如图3-26所示。求这些力向底面中心O简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。图中长度单位为m。
解:
(1) 求主矢量

与水平面之间的夹角:

(2) 求主矩
(3)把主矢量与主矩合成一个力

[习题3--5] 某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F1＝1940ｋＮ，F2＝800ｋＮ及制动力FT＝193ｋＮ。桥墩自重W＝5280ｋＮ，风力FP＝140ｋＮ。各力作用线位置如图所示。求将这些力向基底截面中心O简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。
解:
(1) 求主矢量

与水平面之间的夹角:

(2) 求主矩

(3)把主矢量与主矩合成一个力

[习题3--6] 图示一平面力系，已知F1＝200Ｎ，F2＝100Ｎ，Ｍ＝300Ｎ·ｍ。欲使力系的合力通过O点，问水平力之值应为若干?
解:

主矢量:

主矩:

要使合力通过O点,必使:
,即
[习题3--7] 在刚架的A、B两点分别作用、两力，已知＝＝10ｋＮ。欲以过Ｃ点的一个力代替、，求Ｆ的大小、方向及B、C间的距离。
解:

主矢量:

方向(↘)
(设)

主矩:

要使F通过C点, 且与,两力等效,必使:
,即
当时, ,方向与x轴正向成((↘).
[习题3--8] 外伸梁AC受集中力及力偶（F，F′）的作用。已知＝2ｋＮ，力偶矩M＝1.5ｋＮ·ｍ，求支座A、B的反力。

解：
（1）以AC为研究对象，画出其受力图如图所示。
（2）因为AC平衡，所以
①

②

③

[习题3－9] 求图示刚架支座A、B的反力，已知：图（a）中，M＝2.5ｋＮ·ｍ，F＝5ｋＮ；图（ｂ）中，ｑ＝１ｋＮ／ｍ，F＝3ｋＮ。

解：图（a）
（1）以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。

（2）因为AC平衡，所以
①

②

③

解：图（b）
（1）以刚架ABCD为研究对象，画出其受力图如图所示。

（2）因为AC平衡，所以
①

②

③

[习题3－10] 弧形闸门自重W＝150ｋＮ，水压力＝3000ｋＮ，铰Ａ处摩擦力偶的矩M＝60ｋＮ·ｍ。求开始启门时的拉力及铰A的反力。

解：
开始打开闸门时，B与地面脱开，。
因为此时闸门平衡，所以
①

②

③

[习题3－11] 图为一矩形进水闸门的计算简图。设闸门宽（垂直于纸面）１ｍ，AB＝２ｍ，重W＝15ｋＮ，上端用铰A支承。若水面与A齐平后无水，求开启闸门时绳的张力。

解：

开启闸门时，，此时，因为AB平衡，所以

[习题3－12] 拱形桁架的一端A为铰支座，另一端B为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。桁架重量W为100ｋＮ，风压力的合力为20ｋＮ，其方向平行于AB。求支座反力。
解：因为桁架平衡，所以
①

②

③

[习题3－13] 悬管刚架受力如图。已知q＝4ｋＮ／ｍ，F2＝5ｋＮ，F1＝4ｋＮ，求固定端A的约束反力。
解：
因为ABC平衡，所以
①

②

③

[习题3－14] 汽车前轮荷载为10ｋＮ，后轮荷载为40ｋＮ，前后轮间的距离为2.5ｍ，行驶在长10ｍ的桥上。试求：（１）当汽车后轮处在桥中点时，支座A、B的反力；（２）当支座A、B的反力相等时，后轮到支座A的距离。

解：因为桥AB平衡，所以
①

②

③

当汽车后轮处在桥中点时，，此时，

当时，后轮的位置：

[习题3－15] 汽车起重机在图示位置保持平衡。已知起重量＝10ｋＮ，起重机自重＝70ｋＮ。求A、B两处地面的反力。起重机在这位置的最大起重量为多少?

解：因为起重机在图示位置时处于平衡，所以
①

②

设最大起重量为，则此时

[习题3－16] 基础梁AB上作用集中力、，已知，。假设梁下的地基反力呈直线变化，试求A、B两端分布力的集度、。图中长度单位为m。

解：因为基础梁AB平衡，所以
①

……………….(1)
②

……………….(2)
(1)-(2)得：

[习题3－17] 将水箱的支承简化如图示。已知水箱与水共重W＝320ｋＮ，侧面的风压力，求三杆对水箱的约束力。
解：因为水箱平衡，所以
①

（压力）
②

（拉力）
③

（压力）
[习题3－18] 图示冲压机构。设曲柄OA长r，连杆AB长l，平衡时OA与铅直线成α角，求冲压力与作用在曲柄上的力偶M之间的关系。
解：
以曲柄OA为研究对象，其受力图如图所示。

因为OA平衡，所以

由滑块B的平衡可知，

[习题3－19] 图中半径为Ｒ的扇形齿轮，可借助于轮上的销钉A而绕转动，从而带动齿条BC在水平槽内运动。已知，。在图示位置水平（铅直）。今在圆轮上作用一力矩M，齿条BC上作用一水平力F，使机构平衡，试求力矩M与水平力F之间的关系。设机构各部件自重不计，摩擦不计。
解：
以轮为研究对象其受力图如图所示。
因为轮平衡，所以

以齿轮和齿条构成的物体系统为研究对象，其受力图如图所示。
因为物体系统平衡，所以

[习题3－20] 图示一台秤。空载时，台秤及其支架的重量与杠杆的重量恰好平衡；当秤台上有重物时，在AO上加一秤锤，设秤锤重量为W，OB＝a，求AO上的刻度与重量之间的关系。

解：以杠杆OA为研究对象，其受力图如图所示。
因为AB平衡，所以

以称台为研究对象，其受力图如图所示。
因为AB平衡，所以

[习题3－21] 三铰拱桥，每一半拱自重P＝40ｋＮ，其重心分别在D和E点，桥上有荷载W＝20ｋＮ，位置如图。求铰A、B、C三处的约束力。图中长度单位为ｍ。

解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。
因为整体平衡，所以

以BC为研究对象，其受力图如图所示。
因为BC平衡，所以

由整体的平衡条件得：

（←）

（↓）
[习题3－22] 三铰拱式组合屋架如图所示，已知，求铰处的约束力及拉杆所受的力。图中长度单位为m。

解：
以整体为研究对象，其受力图如图所示。
因为整体平衡，所以

以右半部分为研究对象，其受力图如图所示。
因为右半部分（局部）平衡，所以

[习题3－23] 剪钢筋用的设备如图所示。欲使钢筋受力12ｋＮ，问加在A点的力应多大?图中长度单位为ｍｍ。

解：
以BCD为研究对象，其受力图如图所示。
因为BCD平衡，所以

以OA为研究对象，其受力图如图所示。
因为OA平衡，所以

[习题3－24] 图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。已知各齿轮半径分别为、、、，绳鼓半径，闸门重W，求最小的启门力M。设整个设备的机械效率为（即M的有效部分与M之比）。

解：以轮为研究对象，其受力图如图所示。图中，为轮对轮的啮合力。为压力角。因为轮平衡，所以

以轮为研究对象，其受力图如图所示。图中，为轮对轮的啮合力。为压力角。因为轮平衡，所以

……(1)
以轮为研究对象，其受力图如图所示。
因为轮平衡，所以

……(2)
由（1）、（2）得：

[习题3－25] 图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞E向上，通过连杆ＢＣ推动曲臂AOB，使其绕O点转动，从而在A点将工件压紧。在图示位置，ａ＝２０°，已知活塞所受总压力F＝３ｋＮ，试求工件受的压力。所有构件的重量和各铰处的摩擦都不计。图中长度单位为ｍｍ。

解：以C铰为研究对象，其受力图如图所示。
因为C铰平衡，所以

以曲臂AOB为研究对象，其受力图如图所示。
因为曲臂AOB平衡，所以

根据作用与反作用公理，工件所受到压力为10.3kN。

[习题3－26] 水平梁由AC、BC二部分组成，A端插入墙内，B端搁在辊轴支座上，Ｃ处
用铰连接，受F、M作用。已知F＝４ｋＮ，M＝６ｋＮ·ｍ，求A、B两处的反力。

解：以BC为研究对象，其受力图如图所示。
因为BC平衡，所以

以AC为研究对象，其受力图如图所示。
因为AC平衡，所以

[习题3－27] 钢架ABC和梁CD，支承与荷载如图所示。已知F＝５ｋＮ，q＝２００Ｎ／ｍ，q0＝３００Ｎ／ｍ，求支座A、B的反力。图中长度单位为m。

解：以CD为研究对象，其受力图如图所示。
因为CD平衡，所以

以刚架ABC为研究对象，其受力图如图所示。
因为ABC平衡，所以

[习题3－28] 组合结构如图所示，已知q＝２ｋＮ／ｍ，求AC、CD、BD三杆的内力。

解：以整个组合结构为研究对象，其受力图如图所示。
因为CD平衡，所以

过C铰和AD杆，把结构截断，取左半部分为研究对象，其受力图如图所示。
因为左半部分平衡，所以

（压力）

根据结构的对称性可知，

以结点D为研究对象，其受力图如图所示。

[习题3－29] 在图示结构计算简图中，已知q＝15ｋＮ／ｍ，求A、B、C处的约束力。
解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。
因为整体平衡，所以

…………(1)

…………(2)

…………(3)

…………(4)
以BC为研究对象，其受力图如图所示。
因为BC平衡，所以

…………(5)，前面已得到（1）
…………(1)
1）+（5）得：

，前面已得到（4）
……………(4)
, 前面已得到（2）
…………(2)

还是因为BC平衡，所以

[习题3－30] 静定刚架如图所示。匀布荷载 ，，求A、B、E三支座处的约束力。图中长度单位为。

解：以DE为研究对象，其受力图如图所示。
因为DE平衡，所以

以刚架ABC为研究对象，其受力图如图所示。
因为刚架ABC平衡，所以

……..(1)
以BC为研究对象，其受力图如图所示。
因为BC平衡,所以

前面已得(1)式
……..(1)

[习题3－31] 一组合结构、尺寸及荷载如图所示，求杆１、２、３所受的力。图中长度单位为m。

解:以整个结构为研究对象,其受力图如图所示.
因为整体平衡,所以

以左半部分为研究对象,其受力图如图所示.
因为左半部分平衡,所以

以结点E为研究对象,其受力图如图所示.
因为结点E平衡,所以

[习题3－32] 图示用三铰拱ABC支承的四跨静定梁，受有匀布荷载q，试用最简便的方法求出A、B的约束力（只需作出必要的示力图，并说明需列哪些平衡方程求解）。

解:
(1)以HI为研究对象，其受力图如图所示。
因为HI平衡,所以

(2)以IJ为研究对象,其受力图如图所示.
因为IJ平衡,所以

(3)以JK为研究对象,其受力图如图所示.
因为JL平衡,所以

(4)以KL为研究对象,其受力图如图所示.
因为KL平衡,所以

(5) 以在铰拱ACB为研究对象,其受力图如图所示.
因为KL平衡,所以

(6)以在铰拱AC为研究对象,由其平衡条件得:

考虑整体平衡有:

[习题3－33] 在图示的结构计算简图中，已知，试求A、B、C三处的约束力（要求方程数目最少而且不需解联立方程）。图中长度单位为m。

解:以CG为研究对象，其受力图如图所示。
因为CG处于力偶系的平衡状态，所以

以AC为研究对象，其受力图如图所示。
因为AC平衡,所以

以BD为研究对象，其受力图如图所示。
因为BD平衡，所以

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宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。