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拉伐尔喷管的设计
摘 要：本文针对拉伐尔喷管的几何条件和力学条件进行了推导。建立了喷管截面积变化与流速、压强、密度、温度等流动性能参数间的关系，分析了喷管出口截面下游的外界反压对拉伐尔喷管工作过程的影响。推导建立了拉伐尔喷管主要性能参数的计算方法。针对实际流动损失的存在，为得到喷管的实际流动性能，对理论性能参数提出了修正方法。本文研究内容为拉伐尔喷管的设计提供依据。
关键词：变截面；力学条件；性能参数；流动损失
1．引言
拉伐尔喷管是火箭发动机和航空发动机最常用的构件，由两个锥形管构成，如图1所示，其中一个为收缩管，另一个为扩张管。拉瓦尔喷管是推力室的重要组成部分。喷管的前半部是由大变小向中间收缩至喷管喉部。喉部之后又由小变大向外扩张。燃烧室中的气体受高压流入喷嘴的前半部，穿过喉部后由后半部逸出。这一架构可使气流的速度因喷截面积的变化而变化，使气流从亚音速到音速，直至加速至超音速。所以，人们把这种喷管叫跨音速喷管。瑞典工程师De Laval在1883年首先将它用于高速汽轮机，现在这种喷管广泛应用于喷气发动机和火箭发动机。

图1 拉伐尔喷管结构图
2．拉伐尔喷管的几何条件
2．1变截面一维定常等熵流动
在变截面一维定常流动中只考虑截面积变化这一种驱动势，忽略摩擦、传热、重力等其他驱动势，因此流动是绝热无摩擦的，即等熵流动，变截面定常等熵流动模型如图2所示。
控制体
p+dp
dx
ρ+dρ
V+dV
T+dT
A+dA
p
ρ
V
T
A
图2 变截面一维定常等熵流动模型

变截面一维定常等熵流动的控制方程组为：
(1)
(2)
(3)
2．2截面积变化对流动特性的影响
管道的形状变化可以用截面积变化dA来表示。
(a) 截面积变化对流速的影响
对连续方程(1)取对数微分，得
(4)
将(2)两边同除以，得
(5)
由声速公式及马赫数定义，得
(6)
这就是截面积变化与流速变化之间的关系。
(b) 截面积变化对压强的影响
将(2)代入(6)，由理想声速公式得到
(7)
(c) 截面积变化对密度、温度、声速、马赫数的影响
联立(4)式与(6)式，消去速度项，得
(8)
联立(2)式与(3)式，并将(7)式代入，得
(9)
将理想气体声速公式求对数微分，并将(9)式代入，得到
(10)
对马赫数定义取对数微分，并将(6)式和(10)式代入，得
(11)
通过分析所得结果，截面积变化对各流动特性的影响可概括为：一维定常等熵流动具有膨胀加速或压缩减速额流动特性。收敛管道中的亚声速流和扩张管道中的超声速流是膨胀加速的，沿管道流速不断增加，而压强、密度和温度不断减小；扩张管道中的亚声速流和收敛管道中的超声速流是压缩减速的，沿流道流速不断降低，而压强、密度和温度却不断增加。
2．3流动极限状态——壅塞状态
收敛管道中的一维定常等熵流动流速只能连续变化到M=1，即达到临界状态，这是它的极限。在此之后，流速既不可能增大，也不可能减小，收敛管道中的这种现象称为流动壅塞。同样，超声速流也不可能通过收敛管道连续减速到亚声速流。
如果在临界截面之后使管道扩张，则当管道出口截面处的下游物理边界条件满足一定要求时，流动能够从声速流变为超声速流。这种先收敛后扩张的管道即为拉伐尔喷管。这种先收敛后扩张的管道形状是从初始亚声速流获得超声速流的必要条件，称为拉伐尔喷管的几何条件。
3．拉伐尔喷管的力学条件
拉伐尔喷管为实现亚声速流向超声速流的连续变化，除几何条件外，必须对喷管出口截面下游的环境压强（外界反压）做出限制，即拉伐尔喷管的力学条件。
为了分析外界反压对拉伐尔喷管流动的影响，假设出口截面外的环境压强保持不变，而喷管进口截面的滞止压强可变。当总压变化时，喷管出口截面上的气体压强随之变化。根据和的相对大小，气体在喷管中的流动状态分为以下三种情况。
(1) 最佳膨胀状态
气体在喷管中得到了完全膨胀，这就是喷管的最佳膨胀状态，又称为设计状态，如图3所示。这种流动的主要特点是：
①喷管喉部达到了临界状态，出口流动为超声速，即Me>1；
②流体流出喷管后，既不膨胀，也不压缩，而是一平行射流；
③由于管内流动为超声速，当外界环境发生微小扰动时，扰动的传播速度（即声速）小于流动速度，扰动不能传进喷管内部，即喷管中的流动觉察不到外界反压的变化。
出口截面
进口截面
pt

Pe=pa

pe
pe
pe>pa
Mae>1
pt
pa
进口截面
出口截面

图3 喷管最佳膨胀时的流动 图4 欠膨胀状态时的喷管流动
(2) 欠膨胀状态
如果在最佳膨胀状态下提高喷管进口总压，则出口同时增大，有。气体没有得到完全膨胀，其能量未充分发挥，即气体热能没有最大限度地转变成定向流动动能。这种流动称为欠膨胀状态或膨胀不足状态，如图4所示。欠膨胀状态流动主要特点是：
①喷管喉部达到了临界状态，出口仍为超声速M>1；
②气体在喷管外继续膨胀，直到压强等于时为止，因此喷管出口处有一系列膨胀波；
③喷管外的压强扰动也不能逆向传入喷管。
(3) 过膨胀状态
如果在最佳膨胀状态下减小喷管进口总压，则喷管出口的气体压强也将减小，即。气体在喷管中作了过分的膨胀。这种流动称过膨胀状态。根据小于的程度大小，气体在喷管中的流动状态又可分为下述四种情况。
①稍小于
喷管出口的气体流动为超声速。在喷管外气体由于受到反压的突然压缩而产生不连续的压强增加，形成激波。因为稍小于，激波是附着在扩张段出口截面上的激波，如图5所示。气体经过斜激波后，压强升高到。
②比小于一定值
随着压强差的增大，喷管外的斜激波逐渐向喷管口收拢，并最终在小于一定值时演变成覆盖在喷管出口截面上的正激波，如图6所示。气体压强经过正激波压缩后升高到，这时的外界反压称为第二临界反压。
③进一步减小
当比小很多时，正激波从喷管出口截面向喷管内部移动，喷管扩张段内的流动以正激波为分界线。激波后的流动就是扩张管道中的亚声速流动，流动的马赫数将逐渐减小，压强逐渐升高，并在喷管出口截面升高到。
④
如果，则正激波最终移动到喉部。此时正激波消失，流动不再壅塞，全部喷管内的流动均为亚声速流，气体的压强、流速和质量流率都为外界反压所控制。这种流动状态称为亚临界流动状态，喷管喉部达不到临界状态。
pepa

M>1
斜激波
pt
进口截面
出口截面
进口截面
出口截面
正激波
pe1
pt
pe2=pa
Me2<1
pe2=pa

图5 过膨胀状态的喷管流动 图6 正激波位于喷管出口截面时的流动
综上所述，若要在拉伐尔喷管出口截面获得超声速气流，喷管出口截面的气体压强必须达到或超过反压值，这一条件称为力学条件。
由此可知，拉伐尔喷管中的流动受几何条件和力学条件两方面的影响，在拉伐尔喷管的设计过程中必须同时考虑。
4．拉伐尔喷管的性能参数计算
拉伐尔喷管的性能参数主要包括喷管出口速度(排气速度)、质量流率、推力等。
(1) 流速和排气速度
根据式(3)可求出喷管内任一截面流速，即
(12)
将气体动力学函数代入(12)式，得到
(13)
令流速函数为 (14)
得到流速： (15)
排气速度： (16)
排气速度衡量火箭发动机性能高低的一个重要参数。火箭是利用燃气的高速喷出获得推动力的，所以排气速度越高，获得的推力就越大。
(2) 质量流率
当喷管的喉部截面达到临界状态时，临界截面积就是喉部截面积At。
质量流率为： (17)
(3) 推力F
对于给定的固体火箭推进剂，和RT均为常数，当喷管进口总压和喷管喉部面积一定时，质量流率是确定的，火箭发动机的推力仅是扩张比的函数。对于一定值的环境压强，由于喷管处于最佳膨胀状态所具有的最大推力为最佳推力，用表示，即
(18)
(4) 推力系数
推力系数定义为
(19)
5．拉伐尔喷管中的流动损失
上述对拉伐尔喷管流动的讨论基于一维定常等熵流动假设，实际流动过程与这种理想情况存在一定差别，如喷管热损失、摩擦损失、非理想气体效应等。在拉伐尔喷管设计中，为得到喷管的实际性能，必须对理论性能参数进行修正。
通常需要考虑的流动损失主要包括：两相流损失、流量损失、边界层损失和喷管扩张损失等，这些流动损失一般用修正系数来表示，定义为

(1) 两相流损失
在理想性能参数计算中，假设燃气为理想气体，实际上，应当考虑凝聚相影响。计算两相流损失的修正系数用如下经验公式
(20)
式中－凝聚相微粒浓度；
－凝聚相微粒直径；
－燃烧室压强；
－喷喉直径；
－面积扩张比。
(2) 流量损失
燃气从喷管收敛段流到喷管喉部时，由于气流的惯性作用，流线不能完全适应流道截面变化，使实际喷喉直径减小，使流量下降。流量损失系数为
(21)
式中－喷喉面积；
－挡药板通气面积，无挡药板时可使用燃烧室末端面积；
－喷管的收敛半角。
(3) 边界层损失
边界层损失是指喷管壁面摩擦及散热所造成的损失，修正系数为
(22)
式中t－发动机工作时间；
c1、c2－与喷管有关的常数，一般取c1=0.2357，c2=0.0605。
(4) 喷管扩张损失
在理想喷管流动中，一维流动的方向平行于轴线，流动参数在垂直于轴线截面上均匀一致。实际上，燃气沿锥形向外扩张流动，这种流动更接近源流，即所有流线从源点出发向外扩张流动。
火箭喷管流动计算主要关心出口截面即排气面上的流动参数。采用源流假设时，排气参数只有在球面上才是均匀一致的，分别为压强、密度、速度等，而喷管出口截面上的参数仍用、、等表示。
r
Ae
As
dF
O
a
ac
b

图5 喷管源流示意图
考虑喷管扩张损失，推力公式可改写成
(23)
修正系数 (24)
6．结束语
本文从原理上对拉伐尔喷管设计中的几何条件以及力学条件分别进行了推导与分析。在火箭发动机拉伐尔喷管的设计过程中，必须同时满足先收敛后扩张的几何条件以及喷管出口截面的气体压强必须达到或超过反压值的力学条件。列举了拉伐尔喷管各性能参数的计算方法。由于实际运用中拉伐尔喷管存在流动损失，本文最后引入针对各流动损失的修正方法。

参考文献：
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