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2017年自招与三位一体专题
第七讲 定积分与微积分应用

在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。
一、知识精讲
一． 定积分：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
。把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为。
二．定积分存在定理：
①当函数在区间上连续时，则在区间上可积；
②设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。
三．定积分的几何意义：
时，，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积；
若，令，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积的负值。
四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式
如果是区间上的连续函数，并且，则。若记
，则。
牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。
五．洛必塔法则：设（1）如果当时，函数都趋于零；（2）在内，都存在，且；（3）极限存在（或为无穷大）；则存在，且。
上述准则称为洛必塔法则。

六．二次曲线在某点处的切线方程：
①设是圆上一点，则过的圆切线方程为；
②设是椭圆上一点，则过点的椭圆切线方程为；
③设是双曲线上一点，则过的双曲线切线方程为；
④设是抛物线上一点，则过的抛物线切线方程为；
七． 函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。

八．函数的极值：
1.定义： 已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有

则称函数在点处取得极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有

则称函数在点处取得极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点
极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。
注意：
（1）.函数的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；
（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。
2. 极值的必要条件：若函数在可导，且在处取得极值，则。

九．两个重要的极限：
1.， 2.

[来源:学&科&网]
三、 典例精讲
例1．（2011复旦）设为正数，，若在区间上大于0，则的取值范围是（ ）。
（A） （B） （C） （D）
►答案：A
►分析与解：，当时，，所以在上单调递减，所以在上大于0，当且仅当，即。

例2．（2011“华约”）已知，过的直线与该函数图像相切，且不是切点，求直线斜率。
►分析与解：显然在的图象上。设切点为，所以。另一方面，
。所以，，而，所以，所以。

例3．（2010南开）求证：。
►分析与解：令，则，
。
由三角不等式，由知单调递增。又，故，从而单调递增。
所以，，即。得证。
►注：在高等数学中的泰勒展开式为：。为其前两项。

例4．（2003复旦）已知过两抛物线的交点的各自的切线互相垂直，求。
►分析与解：联立
得交点坐标为或。
由对称性，不妨设切线在处互相垂直。
对求导，有：；
对求导，有：。
它们切线的斜率分别为、，故。
例5．（2009清华）一元三次函数的三次项系数为，的解集为。
（1） 若有两个相等实根，求的解析式；
（2） 若在上单调递减，求的范围。
►分析与解：设，则，
的解集为，故有，且得。
（1） ，有两个相等实根，
整理得或（舍去），，所以。
（2） ，要使在上单调递减，只需
在上恒成立即可，故只需

解得，所以的范围为。

例6．（2010武大）已知是定义在区间上的可导函数，满足，且。
（1） 讨论函数的单调性；
（2） 设，比较函数与的大小。
►分析与解：（1）由于。所以在上单调递减。
（2） 当时，有。证明如下：
注意到，当时，，故由（1）可得，即。
下证，即证。
为此，考虑函数。
因为，当时，有，
所以在上单调减少，故，即。
于是，即。

例7．（2011“卓越联盟”）（1）设，求；
（2） 设，求常数，使得取得最小值；
（3） 设（2）中的最小值为，证明。
►分析与解：（1）；
（2） 若，则，显然，当取最小；[来源:学&科&网]
若，则，当取最小。
故不妨设。

。
由（1）知，
因，
所以 （*）
记，
令，得。
即时，取最小值。
（3） 将代入（*）式右边，[来源:Z_xx_k.Com]

。
由于，所以。
下面只须证明即可。
。
令，则，
注意到函数是单调递减的，且。
所以，得证。

四、 真题训练
1.（2006武大）如果定义在上的函数的单调递增区间为，那么实数的大小关系是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.（2007武大）在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（ ）。
（A） （B） （C） （D）
3.（2008南大）函数的单调减区间为 。

4.（2008武大）求常数的值，使。

[来源:学。科。网Z。X。X。K]

5.（2000上海交大）若方程有3个不同实根，求实数的取值范围。

6.（2000上海交大）设在处可导，且原点到中直线的距离为，原点到中曲线部分最短距离为3，试求的值（）。

[来源:学§科§网]

7. （2007清华）求的单调区间及极值。[来源:Z,xx,k.Com]

8.（2008武大）已知函数。
（1） 判断函数的奇偶性；
（2） 若在区间上是增函数，求实数的取值范围。

[来源:Zxxk.Com]

9. （2000上海交大）已知函数满足：，又，求函数的解析式。

10.（2012清华保送生），。
（1） 求证：恒成立；
（2） 试求的单调区间；
（3） 求证：为递减数列，且恒成立。
[来源:学科网]

五、 真题训练答案
1.D 。由题意知的两根为-1，1，且注意到在上递增，故。
由韦达定理，。
2.C，故过的切线斜率为，即所有曲线的切线构成的直线系为
。
又，故时斜率最小，此时，切线方程为，即。
3. 。
时，，故；
时，，即，故；
时，。
又函数定义域为，所以单调减区间为。

4.分析与解答：，而，故。
。
5.分析与解答：记有3个根，则应有两根，且设，则（如图所示）。
令。
时，有极大值，故；
时，有极小值，故。

所以。

y

O

x

6.分析与解答：由题意知，在零点连续，且右导数与左导数相等，则

又到直线距离为。
由于在上单调递增，故在曲线上与原点最近的点为。
所以。
7.分析与解答：令或（显然不可能）。
时，单调递增；时，单调递减；时单调递减。[来源:Zxxk.Com]
故极小值为（时取到），在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增。
8.分析与解答：（1）对进行讨论：
为偶函数；
，对不恒成立，故非奇非偶。[来源:学。科。网Z。X。X。K]
（2）由题意，在时，，即的范围是。
9.分析与解答：取，则。
令，有。
从而有

累加得 （*）
由知，对，有

对（*）式令，有，且时。
综上，。
10.分析与解答：（1）令，求导得。当时，；当时，。所以在内为减函数，在内为增函数。所以，即恒成立。
（2） 对求导，得。由（1）知，当时，
，又时，时，，故，所以恒成立。因为的定义域为，所以的单调增区间为。
（3） 用数学归纳法证明：对任意，都有。
①当时，，由于，所以，即。
②假设当（）时结论成立，即。因为在内为增函数，且
（这里用到罗必塔法则，见知识拓展），所以
，即。因此当（）时结论也成立。
由①②可知，对任意都成立。所以数列为递减数列，且恒成立。