线面垂直与面面垂直典型例题.doc

线面垂直与面面垂直
基础要点

线面垂直

面面垂直
线线垂直

、若直线与平面所成的角相等，则平面与的位置关系是（ B ）
A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上结论都不正确
、在斜三棱柱,,又,过作⊥底面ABC，垂足为H ，则H一定在（ B ）
A、直线AC上 B、直线AB上 C、直线BC上 D、△ABC的内部
、如图示，平面⊥平面，与两平面所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为，则（ A ）
A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3

、如图示，直三棱柱中，,
DC上有一动点P，则△周长的最小值是　　　　　
5.已知长方体中，,
若棱AB上存在点P，使得,则棱AD长
的取值范围是 。

题型一：直线、平面垂直的应用
1.（2014，江苏卷）如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知.
求证：(1) ；(2) .
证明： (1) 因为D，E分别为棱PC，AC的中点，
所以DE∥PA.
又因为PA ⊄ 平面DEF，DE Ì平面DEF，
所以直线PA∥平面DEF.
(2) 因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.
又因 DF＝5，故DF2＝DE2＋EF2，
所以∠DEF＝90°，即DE丄EF.
又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.
因为AC∩EF＝E，ACÌ平面ABC，EFÌ平面ABC，所以DE⊥平面ABC.
又DEÌ平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC.
2. (2014,北京卷，文科)如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；（2）求证：平面.
证明：（1）在三棱柱中，

.
(2)取AB的中点G，连接EG，FG
、分别为、的中点, ,
,则四边形为平行四边形，
.
3．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证．

分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以．
说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直．

4.　过点引三条不共面的直线、、，如图，，若截取
(1)求证：平面平面；
(2)求到平面的距离．

分析：要证明平面平面，根据面面垂直的判定定理，须在平面或平面内找到一条与另一个平面垂直的直线．
(1)证明：∵，
又，
∴和都是等边三角形，
∴，
取的中点，连结，∴．
在中，，∴，，
∴，∴．
在中，∴，，，
∴，∴，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
或：∵，∴顶点在平面内的射影为的外心，
又为，∴在斜边上，
又为等腰直角三角形，∴为的中点，
∴平面．∵平面，∴平面平面．
(2)解：由前所证：，，∴平面，
∴的长即为点到平面的距离，，
∴点到平面的距离为．
、如图示，ABCD为长方形，SA垂直于ABCD所在平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G，求证：AE⊥SB,AG⊥SD

6.在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是正三角形，且与底面ABCD垂直，已知底面是面积为的菱形，，M是PB中点。
(1)求证：PACD
(2)求证：平面PAB平面CDM

7.在多面体ABCDE中，AB=BC=AC=AE=1，CD=2，面ABC，AE//CD。
(1)求证：AE//平面BCD；
(2)求证：平面BED平面BCD

题型二、空间角的问题
1.如图示，在正四棱柱中，，E为上使的点，平面交于F，交的延长线于G，求：
（1）异面直线AD与所成的角的大小
（2）二面角的正弦值

2.如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小．

分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解．
解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，．再作，交于，连结，则为在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为二面角的平面角．
设在中，,在△中，
,
是锐角，,即二面角等于．
说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．
3.　正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小．
分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是．再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了．

解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结．
∵面，面，
∴，又，∴面．
又∵，∴，∴为所求二面角的平面角．
∵∽，∴．
而，，，∴．
在中，．∵，∴．
在中，，在中，，
∴．
4.PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、E、N分别是AB、CD和PC的中点，
（１）求证：MN∥平面PAD
（２）若二面角P－DC－A为，求证:平面MND⊥平面PDC
5.已知正方体中，E为棱上的动点，
（1）求证：⊥BD (2) 当E恰为棱的中点时，求证：平面⊥平面
（3）在棱上是否存在一个点E，可以使二面角的大小为？如果存在，试确定E在棱上的位置；如果不存在，请说明理由。

题型三、探索性、开放型问题
1.如图，已知正方形ABCD的边长为2，中心为O。设平面ABCD，EC//PA,且PA=2。问当CE为多少时，PO平面BED。

2.已知△ABC中，,AB⊥平面BCD，,E、F分别是AC、AD上的动点，且
（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC
（2）当为何值时，平面BEF⊥平面ACD?