有限元方法及软件应用有限元平面问题3.doc

Finite Element Method

3．面力的移置
设三角形单元某边界s 上受面力q 作用，分量为，，则

取ds 则

由一般公式：
积分在边界s上
以上三种载荷的等效节点荷载由公式e导出
通常我们称：
为荷载移量的一般公式：
几点说明：
1． 虚功等效静力等效。 唯一性
2． 一般
3． 更多节点的单元公式形式不变，但不同
4． 虽然公式e导出但对于面力和体力的计算都是很麻烦和困难的
N为x,y 的函数，若p, q再为 x, y 的函数则更难，且单移分限不好定。
因此，我们将来还要进一步把这个问题解决好。
四． 三角形单元的面积坐标（自然坐标，局部坐标）
1． 面积坐标的定义：
图示三角形单元 I ,j ,k 中任意一点m ，其位置可由xoy坐标系中两个坐标来确定，即m(x,y)
若我们连接,,,则形成了3 个小三角形ijm, ikm, jkm.
则有：若m(x,y)确定ijm, ikm, jkm.面积确定。
反之，ijm, ikm, jkm.面积确定m(x,y)确定
（用同底等高的概念解释！！）
因此，三角形单元内任一点可以
我们如何用三角形面积来描述m点的位置呢？
定义：节点I对边为底的三角形面积为;
节点j对边为底的三角形面积为;
节点k对边为底的三角形面积为;
设三角形单元的面积为A
令 （2-37）
则三个比值，，称为三角形单元中m点的面积坐标.
2.三角形面积坐标的性质：
1》 面积坐标为三角形单元的局部坐标，与三角形的形状及位置无关。其定义域为 ；
2》 三个面积坐标之和：++=1.即只有两个面积坐标是独立的。（2-38）
证明：++=++=（++）=1 （亦可几何解释）。
3》 三角形单元内与jk边平行的直线上各点相同（轮换）。（同底等高三角形=）
4》 形心处的面积坐标为： ===1/3 （2-39）
5》 三角形单元节点的面积坐标为：
（2-40）
证：节点I: =A. ==0.
3.三角形面积坐标与直角坐标及形函数的关系
下面我们来推导面积坐标与直角坐标的关系：
设m点的坐标为m(x,y),m 为任一点
则：= =（）
=[（）+（）+（）]
显然： ， ，
=（）
（2-41）
与表达式比较可知：三节点三角形单元的面积坐标就是其形函数。（对于一般的情况：面积坐标永远是线性坐标而形函数可以是非线性的，以后我们可以把形函数用面积坐标表示）
即=，， （2-42）
具有的全部性质
式（2-41）还可写成矩阵的形式：
直面 （2-44）
这就是直角坐标与面积坐标的转换关系。
下面的结果留给大家自己证明：
面直 （2-45）
4． 面积坐标函数的运算
我们可以不加证明得地给出面积坐标函数的微积运算结果。（证明复杂麻烦用Г函数等）
1.偏导 设z=f(,,) =g(x,y) (I= I ,j ,k)
则： （2-46）
2． 面积分 （2-47）
其中，，为正整数； 0!1, A: 三角形面积
ex: (I= I ,j ,k)

3.线积分：
（s为直线长） （2-48）
以上公式要会用 注意表示的边
五． 三角形单元的荷载移置
有了面积坐标与形函数的关系，我们即可对荷载移置进行计算了。
1． 集中力的移置
设m点作用有集中力
m点的形函数为：
(I= I ,j ,k)
等效节点荷载为：

这就是三角形单元内m点作用有的等效节点荷载。只要计算出(I= I ,j ,k)即可。作为特例，考虑三角形单元形心处重力的移置。
形心坐标：

===0 ===-R
故：重力作用于形心时各节点均担。
2. 体积力的移置
设单元作用有体力
则等效节点荷载为：
=

若为x, y的函数，则把用面积坐标表示（转换）
在常体力的作用下有：
===

即：常体力作用下，总体力均分三节点。
2． 面力的移置。
设三角形单元I ,j 边上作用有梯形分布的面力q
由面力移置公式得：（可分别由节点合力表示及用节点分力表示）
== （q为合力，非分力）
则 ==
q为x, y 的函数，把q 表示面积坐标的函数有q= ，在门边上是线性坐标，可利用两点式方程写出。
则：=====
同理：
=
==+
注意到在s上=0
=0
故：==
或：=
此法：1. 避免复杂的分离。 2. 便于编程计算。
特例：若分布荷载为三角形分布。令（或）
则有：= （近端为2 ，远端为1）
说明：用以上积分的方法求等效节点荷载适用于任意节点的三角形单元，形函数也未必是线性的。
六． 三角形单元节点荷载的形成
经过荷载处理后，我们已把非节点的荷载转化为常点荷载。
实际计算的荷载为：
计算荷载=原节点荷载+等效节点荷载
即： （2-49）
等效节点荷载要注意：
1． 同时贡献的问题
2． 用哪个单元计算的问题。
七．计算结果的整理：
有限元计算提供的结果一般为：1。节点位移 2。单元应力
1． 节点位移的处理：
一般把节点位移按比例标出，提供出结构常点位移分布规律
1． 连成折线（线性位移函数）
2． 连成光滑曲线（实际变形）
2． 单元应力的处理：
输出的单元应力一般为，，（形心处）（三节点Ⅱ单元为常应力元，无所谓）
1． 变换为单元的主应力。，, （材力）
2． 变换为节点应力的主应力。 （） （平均法）
Ex. 节点5的应力为：

即：= （x, y, xy ）
(,,)(,)
然后标出应力变化曲线。
计算结果的工作量随结构的单元，节点划分增加面增大。
要关注的是：1）位移的变化规律 2）应力的最大值及发生地点。
小概念：位移最大的地方，应力未必最大。
八：有限元计算小结：
1． 基本原理：
连续法有限个节点连接，有限大小的单元的组合法。
建立的节点位移为未知数，总刚为系的ｎ阶线性代数方程组。
2． 研究方法
（确定）节点位移单元位移单元应变单元应力

单刚总刚计算荷载（等效节点荷载）

约束处理求解方程整理结果
３．解答特点：
１．假定单元内的位移分布规律，近似离散的数值解。
２．误差主要来源于：结构离散（连续离散），假定位移分布。
３．收敛性：单元缩小划分细密收敛于精确解。
Chap3. 平面问题较精密单元的分析（矩形，高阶单元，等参单元）
3-1． 问题的提出
在三角形单元中，我们假定位移函数是线性的。即：单元内的位移按线性规律变化。这是最简单，最基本的一个有限单元。而实际结构中在外载荷的作用下位移分布常非按线性变化。
设单元位移曲线为图示的f(x).显然，用线性插值解的精度较差。提示解的精度的方法：
1． 增加单元，节点数（工作量大，费用高）
2． 提高插值阶数
因此，提出了用高阶插值，高阶单元的问题
我们大家都知道,位移是一个连续函数（连续体），而任意的连续函数都是可以展成幂级数，用幂级数来表示的。
因此，一个单元内的位移分布为f(x)时，我们就可以取级数的前几项来表示它。用二次三次函数来插值，以改善计算结果。
至于等参数单元（等参单元）是一种为清除曲边误差而 出的一种单元。
如果实际结构为曲线边界，则无论怎样提高位移函数（插值）的阶数也不能使解得到多大的改善。有限个直边代替曲边，终究是代替，而不会是相等。为了处理曲边问题，人们提出了等参单元的概念。有平面等参单元，空间等参单元等。我们只向大家介绍平面等参单元，以供了解。
3-2 四节点矩形单元的有限元分析。
矩形单元常用于规则边界的有限元分析，它也是常用的一种有限单元。
一． 单元的位移函数。
设单元e为矩形单元，边长为2a,2b;其节点为I,j,k,m;为研究方便我们取局部坐标系x-y如图（原点在形心）。
1． 单元的自由度及位移函数：
4个节点，每个节点2 个自由度（位移）u,v，则单元的总自由度为8个。为保证单元的收敛性准则，位移函数必须保证有常数项，线性项。
设位移函数为：（对称性与坐标选择无关）
（U 关于坐标对称） （3-1）
其中xy项是根据pascal三角形及xy的对称性选取（选二次项尚有协调问题，选，项不行）
这样，已知（i=1，2，3，4）这八个节点位移（i=1，2…8）
2.形函数的推导：

同理：
我们不难从前4个方程中解出，，，，具体做法：

①+②： ①+②：v
③+④： ②-①: v
①- ②: v
③-④ v

=
=

u=
令： （3-2）
则：
（3-3）
式（3-2）称为节点矩形单元的形函数；式（3-2）尚可写为：
(I =I, j, k, m) (3-4)
式（3-3）为节点位移表示的单元位移函数。
式（3-3）还可以写成矩阵的形式

= （3-5）
式中：= （3-6）
二. 形函数的性质：
1．形函数（I =I, j, k, m）在节点I 上=1,在其余节点上=0 （轮换）
即在 节点I ：=1
节点j: =0 (j)= =
节点k: =0
节点m: =0
证明： （i=I, j, k, m）
在节点i
x=,y=时：
=1
j, k, m各节点至少有一个节点坐标x=-或y=-故=0 （i=j, k, m）
同理可得到全部结果。
2．4个形函数之和：+++
证明：
写出形函数（，的符号与该点的，相同）

+++=
==1
因此：4个形函数只有3 个是独立的。
在I j边上，，0（节点除外），==0 （轮换）（一条边上的四个）
证明：
在I j边上，y=, (x-)

在I, j 边上，y=
（x-）

I, j边上 y===-
=0
同理：I, j边上：=0。 证毕
4．在4 条边界上的性质（节点除外）
在包含节点I 的边界上，0，否则=0。（轮换）（四条边上的一个）
证明：性质3 的另一种表述

在包含节点 I 的边界上：
X=， 或 y=
显然有： （y）或 （节点j, m除外）
在不包含节点I 的边界上：
X=- 或y=- 显然：=0
得证
由以上的性质，我们可以描述的几何图形。

三． 位移函数的性质
1． 位移函数是双线性的
位移函数：

显然, u, v包含坐标x y的二次项x y，但当x=const 或y=const时
U,V都是一个线性函数。 即：
在单元内任一点，无论沿x方向变化（此时y=const）或沿y 方向变化（x=const） u, v 都是线性的。
2． 位移函数解满足收敛准则：
① 解反映单元的刚体位移。（位移=刚+弹）
位移函数

写成如下的形式：

显然：第一项，与x, y无关。反映了单元内各点沿x, y方向的刚体位移。
若令: w=,则w反映单元内各点绕z轴的刚体转动。
② 解反映单元的常应变
由几何方程：

显然，，分别反映了沿x, y方向的常应变；反映了（）常量的剪切应变。
面和分别反映了线性变化的，，。（，0）

，反映单元的刚体移动。 -——反映单元的刚体转动。
一般：位移函数只要包含++ 选择变量的一次式，则必须保证收敛性。
单元内各应变都不是常量，你如何能解释其收敛？
解释：当单元尺寸逐步缩小时，单元内各点x, y的变化必然很小。
以为例：
单元尺寸逐步缩小单元内逐步缩小
可以保证单元内以为基准，收敛于附近。 （0）
否则：
若=0，则=在y=0处=0y=0处，永远仅发生刚体位移。
同理可知：，的意义。
由于有，0的存在，四边形单元称为非常应变单元。
③ 位移函数在单元内连续，在边界上与相邻单元协调。
证明：u, v是连续的——明显
由于u, v是双线性函数，而单元的每条边界都满足x=const 或y=const.
因此：在每条边界上：
u, v都是一个线性函数。
设，为相邻单元; 的节点为：I, j, k, m，的节点为：I, p, q, j.
则I, j为公共边界。