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线性规划理论在实际问题中的应用

【内容摘要】 根据地区自然、经济特点和国民经济需要来调整农业结构,是充分合理利用资源促进农业生产发展的一个关键问题,也是制定农业区划和农业发展规划的重要内容,而农业结构最优化方案的论证,又是其中的一个核心问题。将线性规划应用于农作物布局中，科学地提高了粮食的总产量，对农作物的统筹安排有明显的借鉴意义。

【关健字】 线性规划、农作物布局、数学模型

导言
无论是哪一流派的经济专家都不能不承认这样一个事实：中国必须依靠仅占世界可耕地7%的土地上的产品养活几乎占全世界四分之一的人口。但总的来说，从发展角度来看，中国农业的发展状况并没有使中国的国民经济的发展建立在更加稳定的基础上。
从历史和比较的角度来看，新中国的农业取得了了不起的成就，但从人均正长的角度来看，中国的农业发展不能算是成功的，但普遍承认的是中国的合作化运动对提高农业生产率具有潜在的积极的作用：集体化为提高积累、动员大量人力在农闲期间参加水利建设，在个体经营的情况下农民不得不在有限的土地上进行多种经营，即使进一步的分工更为经济以便满足家庭的多种需要。中国农业产量的周期性变化于农业政策是密切相连的，但政策本身并不能对农业生产能力的增长做出全面的解释，技术进步、土地资源、其它投入的增长都是至关重要的因素。农业政策在技术和投入的有效利用方面产生了影响，对长期增长也有一些影响，但从长远的观点看，投入和技术将发挥基本的作用。
中国是一个劳动力剩余和土地短缺的社会，耕地面积有限任然是中国农业发展面临的一个主要困难。中国绝大多数可耕地均以长期使用和耕种，现存技术允许的范围的亩产量以接近最高水平。进入新世纪后，中国农业面临如下机遇：1中国经济的持续和健康发展为中国农业发展创造了日益宽松的环境，农业即将进入于工业平等的新阶段。2农产品市场需求日益旺盛，给农业发展带来广阔的发展前景。新的农业科技革命将为农业发展提供强大的技术支撑。但中国农业将面临国外优质廉价农产品的冲击，农业生产和农民收入也将受到一定的影响，耕地和水资源日趋紧缺，承受的压力越来越大；农业经济区域发展不公平，地区差距越来越大；农业生态环境压力加大；农业生产成本不断提高，边际效益不断下降，农民增收压力加大，这对实现农业现代化产生不利影响。
针对农业发展问题，就土地资源稀缺分析如何使资源得到最优配置，应用线性规划建立数学模型使得农作物布局得到合理安排，大幅度提高经济收益，以某乡作物种植计划为例：
某乡共有可耕地2000亩,其中沙质土地400亩,粘质土地600亩,中性土地1000亩,主要种植3类作物: 第1类是以水稻为主的粮食类作物,第2类是蔬菜类,第3类是经济作物,以本地特产茉莉花为代表作物。乡政府希望能制定一个使全乡总收益最大的作物种植计划，据此指导个作业小组和农户安排具体生产计划。
研究所面临的困难是缺乏历史统计资料及定量数据，只能靠实地调研及与有经验的老农交谈而获得。因此建立的模型及计算结果只能作为乡政府做决策的参考，但整个思路和运作过程无疑为科学决策起到了良好的示范作用。
为了简化问题，只考虑水稻、茉莉花作为粮食作物和经济作物的代表，蔬菜则以当地出产的主要品种为基础测算出每亩的收益及成本的平均值。
每亩土地的费用主要统计和测算外购化肥、劳力工时、灌溉用水及用电等可以计算的部分，每亩的收益也是根据可能收集到的数据如交公购粮、收购茉莉花以及在农贸市场上出售蔬菜所得销售收入的平均值，均为近似值。通过以上调研和数据处理得到下表。 

种植各类作物所需费用及收益表

作物种类
        费     用  （元/亩）
收    益
（元/亩）
砂质土地
 粘质土地
 中性土地
  水    稻
  蔬    菜
  茉 莉 花
    200
    300
    260
   160
   290
   260
   150
   280
   240
300
500
450
为防止作物的单一种植倾向，在保证全乡留有足够口粮的基础上，各种作物种植的协调发展。根据前些年的种植情况及取得的效益，乡政府认为水稻、蔬菜、茉莉花三种作物的播种面积比例大致以2：1：1为宜。按全乡2000亩种植面积计算，可设定三种作物种植面积的最高限额分别为1000、500、500亩。目标函数Z取总收益，要求极大化。试通过建立优化模型给出当前条件下的最优种植方案，进行结果分析及进一步讨论。
（1） 决策变量

本问题决策变量为每种作物所用每种土地的亩数。
设：为作物i所需土地j的亩数（i=F1,F2,F3;j=C1,C2,C3）
(2) 目标函数

本问题的目标是使全乡总收益最大:
MaxZ=300*(XF1-C1+XF1-C2+XF1-C3)+500* (XF2-C1+XF2-C2+XF2-C3)+450*(XF3-C1+XF3-C2+XF3-C3)

(3) 约束条件

每种土地的实际使用亩数≤每种土地亩数最高限额
每种作物的实际使用亩数≤每种作物亩数最高限额
Xi-j≥0 （i=F1,F2,F3;j=C1,C2,C3）

(4)数学模型

MaxZ=300*(XF1-C1+XF1-C2+XF1-C3)+500* (XF2-C1+XF2-C2+XF2-C3)+450*(XF3-C1+XF3-C2+XF3-C3)
XF1-C1+XF2-C1+XF3-C1≤400
XF1-C2+XF2-C2+XF3-C2≤600
XF1-C3+XF2-C3+XF3-C3≤1000
XF1-C1+XF1-C2+XF1-C3≤1000
XF2-C1 +XF2-C2+XF2-C3≤500
XF3-C1+XF3-C2+XF3-C3≤500
Xi-j≥0 （i=F1,F2,F3;j=C1,C2,C3）

建立如下电子表格模型:

利用Excel规划求解

结果为：沙质土地种水稻400亩，粘质土地种水稻600亩，中性土地种蔬菜500亩和茉莉花500亩，全乡最终总收益为775000元

根据规划求解得到敏感性报告，报告表如下：

从敏感性分析报告中可知，第一、二、三个约束条件（沙质土地所用亩数、粘质土地所用亩数、中性土地所用亩数）的影子价格为0，因为这种土地的实际使用亩数等于限制值，所以土地不能再增加，即利润不变。第四个约束条件（水稻所用土地）的影子价格为300，说明在允许的范围【600，999.9999999】内，增加（或减少）一个单位的可用亩数，总收益将增加（或减少）300.同理，第五个约束条件（蔬菜所用土地）的影子价格为500，说明在约束允许的范围【0，500】内，增加（或减少）一个单位的可用亩数，总收益将增加（或减少）500.第六个约束条件（茉莉花所用土地）的影子价格为450，说明在允许的范围【0，500】内，增加（或减少）一个单位的可用亩数，总收益将增加（或减少）450.
从以上案例可以得知：不同土地利用方式经济效益对比表明，土地利用结构不合理，影响土地利用经济效益的发挥，采用线性规划的方法，以最高总收益为目标函数，以土地的总面积为约束条件对农业土地进行了优化配置。

结语：利用运筹学的线性规划这一数学方法，对农业种植结构做出一个合理 的安排。这一规划方案将会在满足国家和地方对农产品需求的前提下，大幅度的提高经济收益，并考虑人、物力的调配及水、土等自然资源的合理利用。该方法是发展大农业远景规划的一种尝试。

参考文献：
《中国农业大学学报》 中国农业大学出版社 1983年
《线性规划在农业中的应用》王宝青 中国人民大民大学出版 2001年
管理决策模型、方法与应用 张照贵主编 西南财经大学出版社，2006.
管理运筹学（第二版） 韩伯堂主编 高等教育出版社，2005.
统计学（第二版） 贾俊平 何晓群 金勇进中国人民大学出版社，2005年7月.

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