补充构造异面直线所成角的几种方法.doc

一. 异面直线所成角的求法
1、正确理解概念
（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线和b所成角的大小，与点O的位置无关。
（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，
2、熟练掌握求法
（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。
（2）求异面直线所成角的步骤：
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
③因为异面直线所成的角的范围是0°＜≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线B1E与GF所成角的余弦是 。

例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，
且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．
求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．

B
M
A
N
C
S
B
M
A
N
C
S
B
M
A
N
C
S

例3长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

例4如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．

练习：
1.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是( )
(第2题)
F1
A
B
C
D1
C1
A1
B1
B1
(第1题)
A1
A
B
C1
D1
C
D
M
N

2.如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D1、F1 分别是A1B1、A1C1的中点若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )

3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与AC
 (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直
4.设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
 ①如果a⊥b、b⊥c，则a∥c；
②如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
③如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线；
④如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面
在上述四个命题中，真命题的个数是( )
 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0
5.如果直线l和n是异面直线，那么和直线l、n都垂直的直线
 (A)不一定存在 (B)总共只有一条
F
A
B
C
E
S
(第6题)
 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条
6.如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB
的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于
(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°

7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，
① BM与ED平行； ②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）
（A）① ② ③ （B）② ④ （C）③ ④ （D）② ③ ④
A
B
C
D
M
(第8题)
N
4
3
8．如图，四面体ABCD中，AC⊥BD,且AC＝4，BD＝3，M、N分别是AB、CD的中点，则求MN和BD所成角的正切值为 。

9．异面直线a、b成60°，过空间一点P的直线c与a、b成角都为60°，则这样的直线c有 条。
10．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为 （ ）
（A）[30°，90°] （B）[60°，90°]
（C）[30°，60°] （D）[60°，120°]
(第11题)

M
A
B
C
N
C1
A1
B1
11.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、N分别是BC和A1C1的中点求MN与AB1所成角的余弦值。

8
A
B
C
D
E
(第12题)
7
8
5
4
4
5
12.如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC＝CD＝DA＝8，AB＝BD＝5，BC＝7，求BE与AC所成角的余弦值。

二.共面、共线、共点问题
共点问题:
证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．
共线问题:
证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．
共面问题:
证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．

1.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为AB中点，F为A1A的中点.
求证：（1）E、C、D1、F四点共面；（2）CE、D1F、DA三线共点。

2.D三点共线。

练习：
1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。
2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有 个。
3. 已知平面，设过A、B、C三点的平面为，则是（ ）
A. 直线AC B. 直线BC C. 直线CR D. 以上全错
4. 已知△ABC三边AB、BC、CA分别交平面于P、Q、R，求证：P、Q、R共线。

5. 如果△ABC和△A1B1C1不在同一平面内，且AA1、BB1、CC1两两相交，求证：三直线AA1、BB1、CC1交于一点。

三.平行问题
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

1、“线线”的证明：
(1)平行四边形法：
如图,在正方体中, 由,
A
B
C
D
P
Q
O

得四边形为平行四边形,于是；

(2)中位线法：如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,
点Q是PC的中点,则由OQ是PAC的中位线,得到OQ//PA；

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
MB
N

(3)“线面”平行法：如图,若平面ABCD,
过的平面交平面ABCD于MN,则MN；

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
MB
N
EB
FEB

(4)“面面”法：如图,若平面平面ABCD,
平面与平面、平面ABCD分别交于EF、MN,
则有EF MN;

(5)“平行线分线段成比例定理的推论”：
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

E
F
G
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），
所得的对应线段成比例。
E
如图，在正方体中，E，F分别为面对角
线D1B1，A1B上的动点，且D1E= A1F，则
A
B
C
D
P
Q
O

，故，所以EF//GB。
2、“线面”的证明：
(1)“线线”法：
如图,Q为PC的中点，则,所以平面PAD；

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
MB
N

(2)“面面”法：
如图,若平面ABCD,直线MN在平面,
则MN平面ABCD；
3、“面面”的证明：
“线面”法：如图,在平面上A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
MB
N

找到两条相交直线
MN、均平行于平面ABCD,则有平面平面ABCD；

例题分析：
1．，则与的位置关系（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．以上情况均有可能

2．，是两条不相交的直线，则过直线且平行于的平面（ ）
A．有且只有一个 B．至少有一个 C．至多有一个 D．以上答案都不对

A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
E
F
A
B
C
D
A`
B`
C`
D`
E
F
3、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。求证：EF∥面AD`C。

4、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，E、F分别是AB, PC的中点 ，

C
B
D
A
P
E
F
C
B
D
A
P
E
F
求证：EF∥平面PAD；

5. 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。
求证：AF∥平面PCE；

A11
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
A11
E
D1
C1
B1
D
C
B
A
6、如图，在正方体中，是的中点，求证：平面。

7. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点． 求证：∥平面．

8．已知正四棱锥P—ABCD，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8，求证：直线MN∥平面PBC；
_
P
_
B
_
A
_
N
_
M
_
E
_
D
_
C
_
P
_
B
_
A
_
N
_
M
_
E
_
D
_
C
_
P
_
B
_
A
_
N
_
M
_
E
_
D
_
C

9、正方体ABCD-A1B1C1D1，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。求证PQ∥平面DD1C1C；；

10．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，D为AC中点。求证：直线AB1∥平面C1DB；
A1
C1
C
B
A
B1
D
A1
C1
C
B
A
B1
D

11．如图:已知A1B1C1－ABC是正三棱柱,D是AC中点.证明:AB1∥平面DBC1;

B
C
A
D
A1
B1
C1
B
C
A
D
A1
B1
C1

12．如图，在斜三棱柱中， E、F分别是棱的中点，证明∥平面

13．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是平行四边形，E是PC的三等分点，F是PB的中点，求证：AF∥面BDE；

14、如图PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。求证：AF//平面PCE；

15.如图，平面分别平行于，分别在上，且，，．（1）求证：是矩形；（2）求当点在什么位置时，的面积最大．

16.如图，在四棱锥中，，，底面
是菱形，且，为的中点．侧棱上是否存在点，
使得平面？并证明你的结论．

17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC，PA=AB =BC=在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由.

18.如图，在长方体中，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）判断并证明，点在棱上什么位置时，平面平面.

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