点线面位置关系典型例题.doc

点线面位置关系典型例题
一，直线与平面平行的判定与性质
典型例题一

例1 简述下列问题的结论，并画图说明：
（1）直线平面，直线，则和的位置关系如何？
（2）直线，直线，则直线和的位置关系如何？
分析：（1）由图（1）可知：或；
（2）由图（2）可知：或．

说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法．
典型例题二

例2 是平行四边形所在平面外一点，是的中点，求证：平面．
分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．
证明：如图所示，连结，交于点，
∵四边形是平行四边形
∴，连结，则在平面内，且是的中位线，
∴．
∵在平面外，
∴平面．
说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？
由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：
过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三

例3 经过两条异面直线，之外的一点，可以作几个平面都与，平行？并证明你的结论．
分析：可考虑点的不同位置分两种情况讨论．
解：（1）当点所在位置使得，（或，）本身确定的平面平行于（或）时，过点再作不出与，都平行的平面；
（2）当点所在位置，（或，）本身确定的平面与（或）不平行时，可过点作，．由于，异面，则，不重合且相交于．由于，，确定的平面，则由线面平行判定定理知：，．可作一个平面都与，平行．
故应作“0个或1个”平面．
说明：本题解答容易忽视对点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．

典型例题四

例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面．
已知：直线，平面，．
求证：．
证明：如图所示，过及平面内一点作平面．
设，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，，
∴．
说明：根据判定定理，只要在内找一条直线，根据条件，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过作平面与相交，我们常把平面称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化．
和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

典型例题五

例5 已知四面体的所有棱长均为．求：
（1）异面直线的公垂线段及的长；
（2）异面直线和所成的角．
分析依异面直线的公垂线的概念求作异面直线的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．
解：（1）如图，分别取的中点，连结．
由已知，得≌．
∴，是的中点，
∴．
同理可证
∴是的公垂线段．
在中，，．
∴
．
（2）取的中点，连结，则．
∴和所成的锐角或直角就是异面直线和所成的角．
连结，在中，，，．
由余弦定理，得
．
∴．
故异面直线和所成的角为．
说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．

典型例题六

例6　如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内．
已知：直线，，，．
求证：．
分析：由于过点与平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面外，不存在过与平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．

证明：如图所示，设，过直线和点作平面，且．
∵，∴．
这样过点就有两条直线和同时平行于直线，与平行公理矛盾．
∴必在内．
说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据．
(2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．
如上图，过直线及点作平面，设．∵，∴．
这样，与都是过点平行于的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条，
∴与重合．∵，∴．

典型例题七

例7 下列命题正确的个数是（　　）．
(1)若直线上有无数个点不在平面内，则；
(2)若直线平行于平面内的无数条直线，则；
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任一直线平行；
(4)若直线在平面外，则．
A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个
分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．
解：(1)直线上有无数个点不在平面内，并没有说明是所在点都不在平面内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线虽与内无数条直线平行，但有可能在平面内，所以直线不一定平行．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当时，若且，则在平面内，除了与平行的直线以外的每一条直线与都是异面直线．(4)直线在平面外，应包括两种情况：和与相交，所以与不一定平行．
故选A．
说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线、都平行于，则与的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线、，则与的位置关系可能是平行，可能是在内．
典型例题八

例8　如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交．
已知：直线，．求证：直线与平面相交．

分析：利用转化为平面问题来解决，由可确定一辅助平面，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用．
解：∵，
∴和可确定平面．
∵，
∴平面和平面相交于过点的直线．
∵在平面内与两条平行直线、中一条直线相交，
∴必定与直线也相交，不妨设，又因为不在平面内（若在平面内，则和都过相交直线和，因此与重合，在内，和已知矛盾）．
所以直线和平面相交．
说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．
典型例题九

例9　如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行．
已知：与是异面直线．求证：过且与平行的平面有且只有一个．

分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线存在一个平面，且，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论．
证明：(1)在直线上任取一点，由点和直线可确定平面．
在平面内过点作直线，使，则和为两相交直线，
所以过和可确定一平面．
∵，与为异面直线，
∴．
又∵，，
∴．
故经过存在一个平面与平行．
(2)如果平面也是经过且与平行的另一个平面，
由上面的推导过程可知也是经过相交直线和的．
由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面与重合，
即满足条件的平面是唯一的．
说明：对于两异面直线和，过存在一平面且与平行，同样过也存在一平面且与平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线和的距离，也可转化为直线到平面的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法．
典型例题十

例10　如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
已知：，，，求证：．

分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明与平行．

证明：在平面内取点，使，过和直线作平面交于．
∵，，，
∴．
同理过作平面交于．
∵，，，
∴．
∴．
∵，，
∴．
又∵，，
∴．
又∵，
∴．
另证：如图，在直线上取点，
过点和直线作平面和相交于直线，和相交于直线．

∵，∴，
∵，∴，
但过一点只能作一条直线与另一直线平行．
∴直线和重合．
又∵，，
∴直线、都重合于直线，
∴．
说明：线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要．
典型例题十一

例11　正方形与正方形所在平面相交于，在、上各取一点、，且．求证：面．
分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面中如何找一直线与平行．可考察过的平面与平面的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．
证明一：如图，在平面内过作交于，
在平面内过作交于，连结．

∵，∴．
又∵，
∴，即．
∵正方形与有公共边，
∴．
∵，∴．
∴．
又∵，，
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
又∵面，
∴面．
证明二：如图，连结并延长交于，连结．

∵，∴．
又∵正方形与正方形有公共边，
∴，
∵，∴．
∴．
∴，
又∵面，
∴面．
说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？
典型例题十二

例12　三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点．
已知：，，．
求证：、、互相平行或相交于一点．
分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．
证明：∵，，
∴．
∴与平行或相交．
①若，如图

∵，，∴．
又∵，，∴．
∴．
②若与相交，如图，设，

∴，．
又∵，．
∴，
又∵，∴．
∴直线、、交于同一点．
说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体中，
、分别是、的中点，画出点、、的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？
典型例题十三

例13　已知空间四边形，，是的边上的高，是的边上的中线，求证：和是异面直线．
证法一：（定理法）如图

由题设条件可知点、不重合，设所在平面．
∴和是异面直线．
证法二：（反证法）
若和不是异面直线，则和共面，设过、的平面为．
(1)若、重合，则是的中点，这与题设相矛盾．
(2)若、不重合，
∵，，，∴．
∵，，
∴、、、四点共面，这与题设是空间四边形相矛盾．
综上，假设不成立．
故和是异面直线．
说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用．
首先看一个有趣的实际问题：
“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？”
对于这个问题，同学们可试验做一做．
也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？
用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题．
典型例题十四

例14　已知、、是不在同一平面内的三条线段，、、分别是、、的中点，求证：平面和平行，也和平行．
分析：欲证明平面，根据直线和平面平等的判定定理只须证明平行平面内的一条直线，由图可知，只须证明．

证明：如图，连结、、、．
在中，、分别是、的中点．
∴．于是平面．
同理可证，平面．
说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理．
典型例题十五

例15　已知空间四边形，、分别是和的重心，
求证：．
分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明与平面中的某条直线平行，根据条件，此直线为，如图．

证明：取的中点．
∵是的重心，连结，
则，连结，
∵为的重心，
∴，
∴在中，．
又，，
∴．
说明：(1)本例中构造直线与平行，是充分借助于题目的条件：、分别是和的重心，借助于比例的性质证明，该种方法经常使用，望注意把握．
(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要熟练运用．
典型例题十六

例16　正方体中，、分别是、的中点如下图．
求证：．

分析：要证明，根据线面平等的判定定理，需要在平面内找到与平行的直线，要充分借助于、为中点这一条件．
证明：取的中点，连结、．
∵为的中点，
∴为的中位线，则，且．
∵为的中点，
∴且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，而，，
∴．
典型例题十七

例17　如果直线，那么直线与平面内的（　　）．
A．一条直线不相交　　　　B．两条相交直线不相交
　　C．无数条直线不相交　　　D．任意一条直线都不相交
解：根据直线和平面平行定义，易知排除A、B．对于C，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C也不正确，应排除C．
与平面内任意一条直线都不相交，才能保证直线与平面平行，∴D正确．
∴应选D．
说明：本题主要考查直线与平面平行的定义．
典型例题十八

例18　分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）．
A．一定平行　　　　　　B．一定相交
C．一定异面　　　　　　D．相交或异面

解：如图中的甲图，分别与异面直线、平行的两条直线、是相交关系；
如图中的乙图，分别与异面直线、平行的两条直线、是相交关系．
综上，可知应选D．
说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力．
典型例题十九

例19　、是两条异面直线，下列结论正确的是（　　）．
　　A．过不在上的任一点，可作一个平面与、平行
B．过不在、上的任一点，可作一个直线与、相交
C．过不在、上的任一点，可作一个直线与、都平行
D．过可以并且只可以作一平面与平行
解：A错，若点与所确定的平面与平行时，就不能使这个平面与平行了．
B错，若点与所确定的平面与平等时，就不能作一条直线与，相交．
C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有，这与，异面矛盾．
D正确，在上任取一点A，过A点做直线，
则与确定一个平面与平行，这个平面是惟一的．
∴应选Ｄ．
说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念．
典型例题二十

例20　(1)直线，，则与平面的位置关系是__．
(2)是两异面直线、外的一点，过最多可作___________个平面同时与、平行．
解：(1)当直线在平面外时，；当直线在平面内时，．
∴应填：或．
(2)因为过点分别作，的平行线只能作一条，
（分别称，）经过，的平面也是惟一的．所以只能作一个平面；
还有不能作的可能，当这个平面经过或时，这个平面就不满足条件了．
∴应填：1．
说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键．
典型例题二十一

例21　如图，，是的另一侧的点，，线段，，交于，，，若，，，则=___________．

解：∵，．
∴，即，
∴．
则．
∴应填：．
说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．

二，面面平行的性质与判定
典型例题一

例1：已知正方体．
求证：平面平面．
证明：∵为正方体，
∴， 
又 平面，
故 平面．
同理 平面．
又 ，
∴ 平面平面．
说明：上述证明是根据判定定理1实现的．本题也可根据判定定理2证明，只需连接即可，此法还可以求出这两个平行平面的距离．
典型例题二

例2：如图，已知，，．
求证：．
证明：过直线作一平面，设，．
∵
∴
又
∴
在同一个平面内过同一点有两条直线与直线平行
∴与重合，即．
说明：本题也可以用反证法进行证明．

典型例题三

例3：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个也相交．
已知：如图，，．
求证：与相交．
证明：在上取一点，过和作平面，由于与α有公共点，与有公共点．
∴与、都相交．
设，．
∵
∴
又、、都在平面内，且和交于．
∵与相交．
所以与相交．

典型例题四

例4：已知平面，，为夹在，间的异面线段，、分别为、的中点．
求证： ，．
证明：连接并延长交于．
∵
∴ ，确定平面，且，．
∵，所以 ，
∴ ，
又 ，，
∴ △≌△．
∴ ．
又 ，
∴ ，．
故 ．
同理
说明：本题还有其它证法，要点是对异面直线的处理．

典型例题六

例6　如图，已知矩形的四个顶点在平面上的射影分别为、、、，且、、、互不重合，也无三点共线．
求证：四边形是平行四边形．
证明：∵，
∴
不妨设和确定平面．
同理 和确定平面．
又，且
∴
同理
又
∴
又，
∴．
同理．
∴四边形是平行四边形．

典型例题七

例7　设直线、，平面下列条件能得出的是（　　）．
A．，，且，　　B．，，且
C．，，且　　　　　　D．，，且
分析：选项A是错误的，因为当时，与可能相交．选项B是错误的，理由同A．选项C是正确的，因为，，所以，又∵，∴．选项D也是错误的，满足条件的可能与相交．
答案：C
说明：此题极易选A，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．
本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．
典型例题八

例8　设平面平面，平面平面，且、分别与相交于、，．求证：平面平面．
分析：要证明两平面平行，只要设法在平面上找到两条相交直线，或作出相交直线，它们分别与平行（如图）．

证明：在平面内作直线直线，在平面内作直线直线．
∵平面平面，
∴平面，平面，
∴．
又∵，，，
∴平面平面．
说明：如果在、内分别作，，这样就走了弯路，还需证明、在、内，如果直接在、内作、的垂线，就可推出．
由面面垂直的性质推出“线面垂直”，进而推出“线线平行”、“线面平行”，最后得到“面面平行”，最后得到“面面平行”．其核心是要形成应用性质定理的意识，在立体几何证明中非常重要．
典型例题九

例9　如图所示，平面平面，点、，点，是、的公垂线，是斜线．若，，、分别是和的中点，
(1)求证：；
(2)求的长．

分析：（1）要证，取的中点，只要证明所在的平面．为此证明，即可．(2)要求之长，在中，、的长度易知，关键在于证明，从而由勾股定理可以求解．
证明：(1)连结，设是的中点，分别连结、．
∵是的中点，∴．
又，∴．
同理∵是的中点，∴．
∵，∴．
∵，，∴平面．
∵平面，∴．
(2)分别连结、．
∵，，
又∵是、的公垂线，∴，
∴≌，∴，
∴是等腰三角形．
又是的中点，∴．
在中，．
说明：(1)证“线面平行”也可以先证“面面平行”，然后利用面面平行的性质，推证“线面平行”，这是一种以退为进的解题策略．
(2)空间线段的长度，一般通过构造三角形、然后利用余弦定理或勾股定理来求解．
(3)面面平行的性质：①面面平行，则线面平行；②面面平行，则被第三个平面所截得的交线平行．

典型例题十

例10 如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．
分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．
解：设、是平面内两条相交直线．
(1)若、都在平面内，、与平面所成的角都为，这时与重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．
(2)若、都与平面相交成等角，且所成角在内；
∵、与有公共点，这时与相交．
若、都与平面成角，则，与已知矛盾．此种情况不可能．
(3)若、都与平面平行，则、与平面所成的角都为，内有两条直线与平面平行，这时．
综上，平面、的位置关系是相交或平行．
典型例题十一

例11　试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．
已知：，
求证：过有且只有一个平面．
分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．
证明：在平面内任作两条相交直线和，则由知，，．
点和直线可确定一个平面，点和直线可确定一个平面．
在平面、内过分别作直线、，
故、是两条相交直线，可确定一个平面．
∵，，，∴．
同理．
又，，，∴．
所以过点有一个平面．

假设过点还有一个平面，
则在平面内取一直线，，点、直线确定一个平面，由公理2知：
，，
∴，，
又，，
这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，
所以平面只有一个．
所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
典型例题十二

例12　已知点是正三角形所在平面外的一点，且，为上的高，、、分别是、、的中点，试判断与平面内的位置关系，并给予证明
分析1：如图，观察图形，即可判定平面，要证明结论成立，只需证明与平面内的一条直线平行．
观察图形可以看出：连结与相交于，连结，就是适合题意的直线．
怎样证明？只需证明是的中点．

证法1：连结交于点，
∵是的中位线，
∴．
在中，是的中点，且，
∴为的中点．

∵是的中位线，∴．
又平面，平面，
∴平面．
分析2：要证明平面，只需证明平面平面，要证明平面平面，只需证明，而，可由题设直接推出．
证法2：∵为的中位线，
∴．
∵平面，平面，
∴平面．
同理：平面，，
∴平面平面，又∵平面，
∴平面．
典型例题十三

例13　如图，线段分别交两个平行平面、于、两点，线段分别交、于、两点，线段分别交、于、两点，若，，，的面积为72，求的面积．

分析：求的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知的面积，若与的对应边有联系的话，可以利用的面积求出的面积．
解：∵平面，平面，
又∵，∴．
同理可证：，∴与相等或互补，即．
由，得，
∴
由，得：，∴．
又∵的面积为72，即．
∴

．
∴的面积为84平方单位．
说明：应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行，二是可以解决线面平行的问题．注意使用性质定理证明线线平行时，一定第三个平面与两个平行平面相交，其交线互相平行．
典型例题十四

例14 在棱长为的正方体中，求异面直线和之间的距离．
分析：通过前面的学习，我们解决了如下的问题：若和是两条异面直线，则过且平行于的平面必平行于过且平行于的平面．我们知道，空间两条异面直线，总分别存在于两个平行平面内．因此，求两条异面直线的距离，有时可以通过求这两个平行平面之间的距离来解决．
具体解法可按如下几步来求：①分别经过和找到两个互相平等的平面；②作出两个平行平面的公垂线；③计算公垂线夹在两个平等平面间的长度．
解：如图，

根据正方体的性质，易证：

连结，分别交平面和平面于和
因为和分别是平面的垂线和斜线，在平面内，
由三垂线定理：，同理：
∴平面，同理可证：平面
∴平面和平面间的距离为线段长度．
如图所示：

在对角面中，为的中点，为的中点
∴．
∴和的距离等于两平行平面和的距离为．
说明：关于异面直线之间的距离的计算，有两种基本的转移方法：①转化为线面距．设、是两条异面直线，作出经过而和平行的平面，通过计算和的距离，得出和距离，这样又回到点面距离的计算；②转化为面面距，设、是两条异面直线，作出经过而和平行的平面，再作出经过和平行的平面，通过计算、之间的距离得出和之间的距离．
典型例题十五

例15　正方体棱长为，求异面直线与的距离．
解法1：（直接法）如图：

取的中点，连结、分别交、于、两点，
易证：，，．
∴为异面直线与的公垂线段，易证：．
小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解．但通常寻找公垂线段时，难度较大．
解法2：（转化法）如图：

∵平面，
∴与的距离等于与平面的距离，
在中，作斜边上的高，则长为所求距离，
∵，，
∴，∴．
小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离．

解法3：（转化法）如图：

∵平面平面，
∴与的距离等于平面与平面的距离．
∵平面，且被平面和平面三等分；
∴所求距离为．
小结：这种解法是线线距离转化为面面距离．
解法4：（构造函数法）如图：

任取点，作于点，作于点，设，
则，，且
∴．
则
，
故的最小值，即与的距离等于．
小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离．
解法5：（体积桥法）如图：

当求与的距离转化为求与平面的距离后，设点到平面的距离为，
则．
∵，
∴．即与的距离等于．
小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体化为锥体的高，然后用体积公式求之．这种方法在后面将要学到．
说明：求异面直线距离的方法有：
(1)（直接法）当公垂线段能直接作出时，直接求．此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键．
(2)（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线、距离，先作出过且平行于的平面，则与距离就是、距离．（线面转化法）．
也可以转化为过平行的平面和过平行于的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离．（面面转化法）．
(3)（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求．
(4)（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解．
两条异面直线间距离问题，教科书要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其他解法，要适度接触，以开阔思路，供学有余力的同学探求．
典型例题十六

例16　如果，和是夹在平面与之间的两条线段，，且，直线与平面所成的角为，求线段长的取值范围．
解法1：如图所示：

作于，连结、、
∵，，，
∴在中，由余弦定理，得：
．
∵，∴是与所在的角．
又∵，
∴也就等于与所成的角，即．
∵，
∴，，，，
∴，即：．
∴，即长的取值范围为．
解法2：如图：

∵
∴必在过点且与直线垂直的平面内
设，则在内，当时，的长最短，且此时

而在内，点在上移动，远离垂足时，的长将变大，
从而，
即长的取值范围是．
说明：(1)本题考查直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，对于运算能力和空间想象能力有较高的要求，供学有余力的同学学习．
(2)解法1利用余弦定理，采用放缩的方法构造出关于长的不等式，再通过解不等式得到长的范围，此方法以运算为主．
(3)解法2从几何性质角度加以解释说明，避免了繁杂的运算推导，但对空间想象能力要求很高，根据此解法可知线段是连结异面直线和上两点间的线段，所以是与的公垂线段时，其长最短．
典型例题十七

例17　如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
已知：，，求证：．
分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．
证明一：如图，

假设、不平行，则和相交．
∴和至少有一个公共点，即，．
∵，，
∴．
于是，过平面外一点有两个平面、都和平面平行，
这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。
∴．
证明二：如图，在平面内任取一点，过点作直线与相交．

∵，∴与也相交．
∵，∴与也相交．
过作两相交平面分别与交于直线、，且与、，交于直线、．
∵，∴．
∵，∴．
∴．
∵，，
∴．
同理．
又∵，、，
∴．
证明三：如图，任作直线，

∵，∴．
∵，∴．
∴．
说明：证明两个平面平行，可根据定义、应用判定定理来证明．

典型例题十八

例18　如图，已知、是异面直线，求证：过和分别存在平面和，使．

分析：本题考查面面平行及线面垂直的判定和综合推理能力．根据前面学过的知识，过异面直线中的一条有且仅有一个平面与另一条平行．这样过和分别有平面与另一条线平行．那么这两个平面是不是互相平行呢？这两个平面是不是就是我们所要找的和？
证明：在直线上任取一点，过点作直线．
故过和可确定一平面记为，
在直线上任取一点．
过点作直线．
同理过和可确定一平面，记为．
∵，，
∴．同理．
∵，，．
∴．
说明：由此题结论可知，两异面直线必定存在于两个互相平行的平面中．所以两异面直线间的距离就可转化为两平行平面间的距离（本题易证和的公垂线段垂直于两平行平面）

三，直线与平面垂直的判定
典型例题一

例1下列图形中，满足唯一性的是（ ）．
A．过直线外一点作与该直线垂直的直线
B．过直线外一点与该直线平行的平面
C．过平面外一点与平面平行的直线
D．过一点作已知平面的垂线
分析：本题考查的是空间线线关系和线面关系，对定义的准确理解是解本题的关键．要注意空间垂直并非一定相关．
解：A．过直线外一点作与这条直线垂直的直线，由于并没有强调相交，所以这样的垂线可以作无数条．事实上这无数条直线还在同一个平面内，这个平面为该直线的一个垂面．
B．过直线外一点可以作一条而且仅能作一条直线与该直线平行，但可以作无数个平面和该直线平行．
C．过此点作平面内任一直线的平行线，这条平行线都平行于平面．所以过平面外一点与平面平行的直线应有无数条．
D．过一点作已知平面的垂线是有且仅有一条．假设空间点、平面，过点有两条直线、都垂直于，由于、为相交直线，不妨设、所确定的平面为，与的交线为，则必有，，又由于、、都在平面内，这样在内经过点就有两条直线和直线垂直，与平面几何中经过一点有县仅有一条直线与已知直线垂直相矛盾．
故选D．
说明：有关“唯一性”结论的问题，常用反证法，或者借助于其它已证明过的唯一性命题来证明．在本书中，过一点作已知平面的垂线有且仅有一条，同时，过一点作已知直线的垂面也是有且仅有一个．它们都是“唯一性”命题，在空间作图题中常常用到．

典型例题二

例2 已知下列命题：
（1）若一直线垂直于一个平面的一条斜线，则该直线必垂直于斜线在这个平面内的射影；
（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线互相平行；
（3若平面外的两条直线，在这个平面上的射影互相垂直，则这两条直线互相垂直；
（4）若两条直线互相垂直，且其中的一条平行一个平面，另一条是这个平面的斜线，则这两条直线在这个平面上的射影互相垂直．
上述命题正确的是（ ）．
A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（3）、（4） D．（2）、（4）
分析：本题考查的三垂线定理及其逆定理的简单应用．应用这两个定理时要特别注意“平面内”这一条件，同时要注意各种不同位置的两定理的基本图形及其变式图形．
解：（1）已知直线不一定在平面内，所以不能用三垂线逆定理来判断垂直关系；
（2）平面内与这个平面的一条斜线垂直的直线必定与斜线在平面内的射影垂直，所以它们之间也平行；
（3）根据三垂线定理可证明直线与另一直线的射影垂直，但不能进一步说明直线和直线垂直；
（4）根据三垂线定理的逆定理和空间两直线所成角的概念，不难证明此命题的正确性．
故选D．
说明：（3）中若一直线与另一直线的射影垂直，则有另一直线必与这一直线的射影垂直．如在正方体中，分别为棱和上的点，为棱上的点，且，，求．
典型例题三

例3 如图，在正方体中，是的中点，是底面正方形的中心，求证：平面．
分析：本题考查的是线面垂直的判定方法．根据线面垂直的判定方法，要证明平面，只要在平面内找两条相交直线与垂直．
证明：连结、、，在△中，
∵分别是和的中点，
∴．
∵面，
∴为在面内的射影．
又∵，
∴．
同理可证，．
又∵，、面，
∴平面．
∵，
∴平面．
另证：连结，，设正方体的棱长为，易证．
又∵，
∴．
在正方体中易求出：
，
，
．
∵，
∴．
∵，、平面，
∴平面．
说明：要证线面垂直可找线线垂直，这是立体几何证明线面垂直时常用的转化方法．在证明线线垂直时既要注意三垂线定理及其逆定理的应用，也要注意有时是从数量关系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的应用．

典型例题四

例4 如图，在△中，，平面，点在和上的射影分别为，求证：．
分析：本题考查的仍是线面垂直的判定和性质定理，以及线线垂直和线面垂直相互转化思想．欲证，可证面，为此须证，进而可转化为证明平面，而已知，所以只要证即可．由于图中线线垂直、线面垂直关系较多，所以本题也可以利用三垂线定理和逆定理来证线线垂直．
证明：∵面，平面，
∴．
∵，即，，
∴平面．
∵平面．
∴．
又∵，，
∴平面．
∵平面，
∴，
又∵，，
∴平面．
∵平面．
∴．
另证：由上面可证平面．
∴为在平面内的射影．
∵，
∴．
说明：在上面的证题过程中我们可以看出，证明线线垂直常转化为证明线面垂直，而证明线面垂直又转化为证明线线垂直．立体几何中的证明常常是在这种相互转化的过程中实现的．本题若改为下题，想想如何证：已知⊙所在平面，为⊙的直径，为⊙上任意一点（与不重合）．过点作的垂面交、于点，求证：．

典型例题五

例5 如图，为平面的斜线，为斜足，垂直平面于点，为平面内的直线，，，，求证：．
分析：本题考查的是线面角的定义和计算．要证明三个角余弦值之间关系，可考虑构造直角三角形，在直角三角形中求出三个角的余弦值，再代入验证证明，其中构造直角三角形则需要用三垂线定理或逆定理．
证明：过点作垂直于点，连．
∵，
∴在平面内射影为．
∵，，
∴．
在△中有： ①
在△中有： ②
在△中有： ③
由①、②、③可得：．
说明：由此题结论易知：斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．若平面的斜线与平面所成角为，则斜线与平面内其它直线所成角的范围为．

典型例题六

例6 如图，已知正方形边长为4，平面，，分别是中点，求点到平面的距离．
分析：此题是1991年高考题，考查了直线与直线、直线与平面等位置关系以及逻辑推理和空间想像能力．本题是求平面外一点到平面的距离，可用转移法将该点到平面的距离转化为求另一点到该平面的距离．为此要寻找过点与平面平行的直线，因为与平面平行的直线