1、曲线积分与曲面积分补充题1.设有表示曲面: ,表示曲面. (1) 求及所围立体的体积；（2）求被所截部分的表面积； (3) 求被所截部分的侧面积； (4) 若表示被所截的部分曲面,求 ； (5) 若表示被所截的部分曲面,求 ； (6) 若表示被所截曲面的上侧部分,求 ； (7) 若表示曲面的交线在第一卦限部分曲线,从轴正向往下看是逆时针; 设力,求该力沿曲线从到所做的功.(8) 若其他条件同（6）,力为,此时功为多少? 若点为上任一点，功又为多少？2.(1)设为连续函数,且对任意平面闭曲线都有.试证:.(2)设为连续函数,且对任意空间闭曲面都有.试证:.(3)设有连续偏导数,且对任意封闭曲线,
2、有.试证:.(4)设有连续偏导数,且对任意封闭曲面都有.试证:.3.设为从点到点的有向光滑曲线弧.函数连续.证明:; ; .4.设有向光滑曲线弧在面上的投影曲线为,其正向与的正向相应,且在光滑曲面上,函数连续.证明:(1) (2) 5. 设在内具有连续导数, 求:，其中是从点到点的直线段. 答案:-46. 设函数具有二阶连续导数.曲线积分 其中为平面上任一简单封闭曲线.(1) 求使.（2）计算沿任一条曲线从到的积分. 答案:7. 设有连续导数,对平面上任意一条分段光滑曲线,积分 与路径无关.(1) 当时,求(2) 设是从到的分段光滑曲线,求. 答案:8. 设连续可导,为不含原点的单连通区域.任
3、取,在内曲线积分与路径无关. (1) 求; (2) 求,其中为取正向.答案:.9. 设为连续函数,为平面上分段光滑闭曲线,证明: .10. 设曲线的方向为逆时针,证明: 11. 若对平面上任何简单闭曲线恒有 , 其中在上有连续的一阶导数,且,试求: (1) ; (2) . 答案:.12. 设在圆盘内有二阶连续偏导数,且, 则. (是的外单位法向量). 13. 求 其中是绕原点两周的正向闭曲线. 答案:. 14. 计算.其中是平面 与柱面的交线,从轴正向看是逆时针. 答案:.15. 已知平面区域,为的边界,试证: (1). ; (2). . 16. 确定常数, 使在右半平面上的向量为某二元函数的
4、梯度,并求. 答案:.17. 计算,其中取外侧.答案:.18. 设有连续导数,计算. 其中是所围立体的外侧. 答案: .19. 计算曲面积分. 其中是曲线 绕轴旋转一周而成的曲面,其法向量与轴的正向夹角为锐角. 答案:.20. 求 其中为绕轴旋转所成的曲面下侧. 答案: .21. 设为椭球面的上半部分,点,为在点的切平面,为点到平面的距离.求. 答案: . 22. 设是圆周的正向边界曲线.为大于零的连续函数.证明:.23. 设函数具有一阶连续偏导数,且满足,闭曲线C包围原点, 取正向. 证明:24. 设是球面 (常数).证明: .25.计算, 其中取外侧. 26. 设试计算曲面积分。答案: 5
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