辅助线在平面几何中的应用定稿.doc

邢台学院数学系2009届本科生毕业论文
辅助线在平面几何中的应用

摘要:利用辅助线解题是几何证明中常用方法,也是平面几何教学的重点和难点.通过分析辅助线添加在平面几何中的作用,以三角形,四边形,圆为例研究了添加辅助线的几种常用方法,并指出了如何在教学中提高学生正确添加辅助线的能力.
关键词:辅助线;作用;方法;能力

辅助线是几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.它是在解证明题过程中,为解证明题创造某个条件,构成某种图形而添加的.辅助线是条件和结论间的纽带,而且也是平面几何教学的重点和难点.本文通过引导学生在分析图形特点的同时,让学生掌握恰当的添加辅助线的方法及每一类辅助线的作用,从而培养学生直觉思维能力,类比、归纳探索规律的能力以及运用数学思维法则的能力等,以实现提高学生正确添加辅助线的能力.
1.辅助线的作用
1.1　纽带作用
几何题证明的关键在于寻找已知条件和求证结论的联系,而构作辅助线在解题中起着一条纽带的作用.通过引辅助线,连接已知条件和求证结论的关系或者从结论中的一个几何量或图形过渡到另一个几何量或图形,从而确定证明题方向.
例1.已知和外切于点,经过点作直线和,交于点,交于点,交于点,交于点E.求证:∥.
分析:要证∥,只要证,这是一对内错角.、不在同一个圆中, 可作公切线,利用弦切角与圆周角的关系,容易证明.这里公切线犹如纽带一样连接两圆的关系.
1.2　聚散作用
当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形聚集在一起时,通过引辅助线,把聚集在一起的已知条件或求证结论几何量或图形进行分解;反之,当已知条件或求证结论中的某些几何量或图形比较分散时,通过引辅助线,将分散零乱的已知条件或求证结论的几何量或图形集中于一个几何图形中,使之共同发挥作用,达到解题目的.如平移、对称、旋转都是聚散己知条件或求证结论几何量或图形的常用手段.
例2.已知是的中线,,求证:.
图2
分析:要证,这是一个比较两个角的大小.因此,应设法适当集中.延长到,使,连结(图2),集中条件于中.事实上,,所以,,;又因为,所以,因此,故,这里利用辅助线把分散的条件集中在中,以便证明.
1.3　挖掘作用
在几何题的解题中,有些题目往往条件和结论之间的关系不够明确.为了找到解题的方法,必须揭示条件和结论之间的关系.这时,添加辅助线是一种可行的办法.通过引辅助线,挖掘证明题所需要的几何量或已知图形的性质,发现并使用图形中的隐含条件,为证明题的关键一步——使用定理创造条件.
例3.已知和交于、两点,过点分别交和于、点,且∥,求证:=
图3
分析:要证=,连结、可联想到是的中位线,可证过点、过点,连结(图4).事实上,∥于,过点、过点,又因为,,故=.这里连结公共弦,目的是挖掘两圆相交的性质,即这个隐含条件.
2.添加辅助线的常用方法
辅助线在平面几何证明题中的运用极其重要,若能掌握辅助线的添加方法,那么,解决此类题型就易如反掌了.下面以常用的几种图形为例,介绍几种添加辅助线的常用方法.
2.1　三角形中的常用方法
(1)有关中点问题,即中点为对称中心,常用旋转法添加辅助线.引中位线、中线,延长法,造成全等三角形或相似三角形.(2)有关角平分线问题,由于角是轴对称图形,对称轴就是角平分线,常用对称法添加辅助线.(3)有关高或垂线问题,以高或垂线为轴,作出轴对称图形、直角三角形,引斜边上的高、中线,与勾股定理、射影定理、面积元素联系.下面就以有关角平分线问题为例给予说明
例4:已知:,是角平分线,求证:.
图4
图4
图4

思考1:“直觉”告之,求证似乎显然,却难在如何把、放到一个三角形中去.如果沿角平分线折叠,会叠合到上,点会落到内部点处.使得和关于角平分线对称,再由对称性得,,从而只需证(图4()).
思考2:类似地,将沿折叠必然重合到上,且点将落到的延长线上点处,同样可将“求证”化难为易(图4()).
思考3:同时考虑上述两种折叠法,即只需在上取点,在的延长线上取点,看似作了较多辅助线(图4()),可要求证起来,却非常的简便.
2.2　四边形中常用方法　
连结对角线,化为三角形问题,再用平移法、中连法、割补法.(1)在平行四边形中引高线转化为直角三角形问题,连对角线转化为三角形问题,这就是常用的中连法、平移法.(2)在梯形中连对角线,作高线,延长两腰组成三角形,化为三角形问题,或用平移法将梯形的腰或对角线平移,造成平行四边形和三角形问题,这就是割补法.下面以梯形为例给予说明.
例5.己知四边形为梯形,∥,.求证:

图5
图5

分析:要证,只需证明、为边的三角形和全等,因对角线、都在梯形内.因此,可分别过点、作、,垂足为点、(图5()),容易证得.或过点作∥交的延长线于(图5()).容易证得.这里利用辅助线作高线或平移,将梯形转化为三角形问题,不难证得本题的结论.
2.３　圆中常用方法　
圆是轴对称图形,所以常用对称法来解决有关圆的数学问题.(1)有关弦的问题,常作弦心距,有时也作出相应的半径、直径,再用垂径定理解决.(2)有关直径问题,由于直径所在的直线是圆的对称轴,所以用对称法,构作有用的辅助线,也常作直径上的圆周角.(3)有关直线与圆相切问题,常连结过切点的半径,得垂直,引过切点的弦,得弦切角,用弦切角定理.(4)有关两圆相交问题,连心线是对称轴,常用对称法,引公共弦、连心线.用两圆相交定量揭示隐含条件.(5)有关两圆相切问题,引过切点的公切线、连心线过切点的弦,用垂直、弦切角定理可连通两圆关系.下面以有关直线和圆相切为例给予说明.
例6.已知:与相切于点,垂直直径于点,求证
图6
图6
图6
图6

C
分析一:要证,只要证.由己知是直径.所以可连结(图6),则.已知=故;或利用、、、四点共圆证.
分析二:要证,只要证.由已知与相切于点,所以可连结(图6()).则,由,又因为,所以.因此.
分析三:要证,只要证.由已知与相切于点,所以可连结.是弦,可过点作于点(图6()),利用圆心角及垂径定理容易证得,,再由分析一即可证得.
分析四:要证,只要证.由已知是直径且是的切线,所以可过点作的切线(联系弦切角)得(图6()),,又因为.所以∥,因此,故.
2.4　直线形比例线段中常用方法
在直线形比例线段中,引过所证比的分点或终点作平行线,引过已知比的分点或终点作平行线,或常用中间比.
例7:已知中点是上任一点,延长至点,使,连接交于点,求证:::.
图7
图7

思考:欲得“求证”,关键是正确添加辅助线,直观构成能用平行截割定理或相似形性质.经类比、归纳,可由如下两方面的分析得:
分析一:过作,使∥(图7),则有:
::
:: :: 已知
::
分析二:过作, 使∥(图7), 有:
::
:: ::已知
::
最后，需要强调的,常用的一些添加辅助线的方法,如线段的平移,中位线、公切线的应用等都是基本的,理当熟悉,而且应该首先考虑使用. 当基本方法难于作出起到“桥梁”作用的辅助线时,最主要还是应靠学生自己在学习中不断摸索，积累,以致形成经验.另外,应注意添加辅助线时,往往不是一下子可以作出来的，应根据分析逐步完成，举一反三.总之,学会了辅助线的添加,利用一题多解添加辅助线，能提高学生分析,解决问题的能力,开阔学生的视野,启发学生多方面,多层次地思考问题.

参考文献
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致 谢

本论文的研究工作是在冯娟老师的悉心指导下完成的,在我的整个论文写作期间,冯娟老师始终给予了我悉心的指导和帮助,在论文的写作过程中冯老师一直给予我极大的关注,对论文的选题、写作和修改都提出了很多建设性的意见。冯老师高尚的品德、严谨的治学作风、渊博的知识和平易近人的待人态度对我的学习、做人都有很大的启示和帮助,她的教诲将使我终身受益。衷心感谢冯老师给我提供了许多学习的机会和条件。同时,感谢多年来老师的悉心教导以及朋友们诚挚的关怀,正因为有老师以往的教育,才有今天掌握知识的我。在论文完成期间,朋友们营造了温馨的生活氛围,使我无后顾之忧,从而专注于论文编写。
最后,感谢养育我的父母
Auxiliary line in the application of plane geometry

Abstract: It is not only a common method in geometry problem solving to prove with the auxiliary lines, but also the focus and difficulty of teaching of plane geometry. This paper analyzes the role of the auxiliary line in plane geometry and gives several methods of adding auxiliary lines, taking the triangle, square, round and symmetrical as examples. And also pointed out that how to improve the student’ ability of adding auxiliary lines in teaching to meet the purposes of improving the quality of teaching
Key words: auxiliary line; role; method; capacity
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