1、算术-几何平均值不等式
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在数学中，算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式，表现了两类平均数：算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 个正实数，它们的算术平均数是，它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明，对任意的正实数，总有：
等号成立当且仅当 。
算术-几何平均值不等式仅适用于正实数，是对数函数之凹性的体现，在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。
算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式（或均值不等式），尽管后者是一组包括它的不等式的合称。
例子
在 的情况，设: ， 那么
.可见。
2、
历史上的证明
历史上，算术-几何平均值不等式拥有众多证明。的情况很早就为人所知，但对于一般的 ，不等式并不容易证明。1729年，英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明，用的是调整法，然而这个证明并不严谨，是错误的。
柯西的证明
1821年，法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明[1]：
命题：对任意的 个正实数，
当 时，显然成立。假设 成立，那么 成立。证明：对于 个正实数，
假设成立，那么成立。证明：对于 个正实数，设，，那么由于成立， 。
但是 ， ，因此上式正好变成
也就是说
综上可以得到结论：对任意的自然
3、数 ，命题 都成立。这是因为由前两条可以得到：对任意的自然数 ，命题 都成立。因此对任意的 ，可以先找 使得 ，再结合第三条就可以得到命题 成立了。
归纳法的证明
使用常规数学归纳法的证明则有乔治·克里斯托（George Chrystal）在其著作《代数论》（algebra）的第二卷中给出的[2]：
由对称性不妨设 是 中最大的，由于 ，设 ，则 ，并且有 。
根据二项式定理，
于是完成了从 到 的证明。
此外还有更简洁的归纳法证明[3]：
在 的情况下有不等式 和 成立，于是：
所以 ，从而有。
基于琴生不等式的证明
注意到几何平均数
4、实际上等于 ，因此算术-几何平均不等式等价于：
。
由于对数函数是一个凹函数，由琴生不等式可知上式成立。
基于排序不等式的证明
令 ，于是有 ，再作代换 ，运用排序不等式得到：
，
于是得到 ，即原不等式成立。
此外还有基于伯努利不等式或借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。
推广
算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。
加权算术-几何平均不等式
不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式，加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 和 为正实数，并且 ，那么：
。
加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。
矩阵形式
算术-几何平均
5、不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵，一样有类似的不等式： 对于系数都是正实数的矩阵
设 ，，那么有：
也就是说：对 个纵列取算术平均数，它们的几何平均小于等于对 个横行取的 个几何平均数的算术平均。
极限形式
也称为积分形式：对任意在区间上可积的正值函数 ，都有
这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后，将两边的黎曼和中的 趋于无穷大后得到的形式。
参考来源
1. ^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, premier
6、partie, Analyse algébrique, Paris, 1821. p457.
2. ^ George Chrystal, Algebra:An Elementary Text-Book, Part II, Chapter XXIV.p46.
3. ^ P. H. Diananda , A Simple Proof of the Arithmetic Mean Geometric Mean Inequality ,The American Mathematical Monthly, Vol. 67, No. 10 (Dec., 1960), pp. 1007
· 匡继昌，《常用不等式》，山东科技出版社。
· 李胜宏，《平均不等式与柯西不等式》，华东师大出版社。
· 莫里斯·克莱因（Morris Kline），张理京 张锦炎 江泽涵 译，《古今数学思想》，上海科学技术出版社。
· 李兴怀，《学科奥林匹克丛书·高中数学》，广东教育出版社。
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