第三节-直线、平面平行的判定与性质.doc

第三节　直线、平面平行的判定与性质

与平行相关命题的判定
考向
聚焦
高考中,主要考查:(1)对线面平行的定义、判定定理、性质定理的理解和掌握;(2)对文字语言、符号语言和图形语言的转化能力.常以选择题、填空题的形式出现,难度不大,所占分值5分

1.(2012年四川卷,理6,5分)下列命题正确的是(　　)
(A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
(B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
(C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
(D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
解析:A中,若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线不一定平行,还有可能相交,也可能异面,故A错.
B中,若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面可能平行,也可能相交,故B错.
D中,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可能平行,也可能垂直.故D错.正确的只有C.
故选C.
答案:C.
2.

(2010年福建卷,理6)如图,若Ω是长方体ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是(　　)
(A)EH∥FG
(B)四边形EFGH是矩形
(C)Ω是棱柱
(D)Ω是棱台
解析:由EH∥A1D1,A1D1∥B1C1可得
B1C1∥平面EFGH,故B1C1∥FG.
∴EH∥FG.∴A正确.
又平面ABB1A1∥平面DCC1D1,
平面EFGH与它们的交线分别为EF,GH,
∴EF∥GH,
∴EFGH为平行四边形,
由EH⊥平面ABB1A1,EF⊂平面ABB1A1,得EH⊥EF.
即四边形EFGH是矩形.
∴B正确.易知Ω为棱柱,
∴C正确.故选D.
答案:D.
线面平行的判定与证明
考向
聚焦
高考重点考查内容,主要考查(1)直线与平面平行的判定与证明;(2)平面与平面平行的判定与证明.大多以解答题形式出现,一般采取分层设问的方式,难度中低档,所占分值4~12分
备考
指津
(1)要正确作图,加强空间想象能力和推理论证能力的培养;(2)在解题过程中要注意线线平行、线面平行、面面平行的相互转化

3.

(2012年辽宁卷,理18,12分)如图,直三棱柱ABCA'B'C',∠BAC=90°,AB=AC=λAA',点M,N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)证明:MN∥平面A'ACC';
(2)若二面角A'MNC为直二面角,求λ的值.

(1)证明:法一:连接AB'、AC',由已知∠BAC=90°,
因为AB=AC,
三棱柱ABCA'B'C'为直三棱柱,
所以M为AB'的中点,
又因为N为B'C'的中点,
所以MN∥AC'.
又MN⊄平面A'ACC',
AC'⊂平面A'ACC',
因此MN∥平面A'ACC'.
法二:取A'B'中点P,连接MP、NP,
而M、N分别为AB'与B'C'的中点,
所以MP∥AA',PN∥A'C',
所以可知MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.
又MP∩NP=P,
因此平面MPN∥平面A'ACC'.
而MN⊂平面MPN,
因此MN∥平面A'ACC'.
(2)解:以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA'为x轴,y轴z轴建立直角坐标系Oxyz,如图所示.
设AA'=1,则AB=AC=λ,
于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),
A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),
所以M(,0,),N(,,1).
设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的法向量,
由
得
可取m=(1,-1,λ),
设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量,
由得
可取n=(-3,-1,λ).
因为A'MNC为直二面角,
所以m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,
解得λ=.

4.(2011年安徽卷,理17)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
(1)证明:直线BC∥EF;
(2)求棱锥FOBED的体积.

(1)证明:法一:(综合法)设G是线段DA延长线与线段EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三角形,所以OBDE,OG=OD=2.
同理,设G'是线段DA延长线与线段FG延长线的交点,

则有OCDF,OG'=OD=2.
又由于G和G'都在线段DA的延长线上,
所以G与G'重合.
在△GED和△GFD中,由OBDE和OCDF,
可知B,C分别是GE和GF的中点,
所以BC是△GEF的中位线.
故BC∥EF.
法二:(向量法)
过点F作FQ⊥AD交AD于点Q,
连接QE,由平面ABED⊥平面ADFC,

知FQ⊥平面ABED,
以Q为坐标原点,为x轴正方向,为y轴正方向,为z轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知E(,0,0),F(0,0,),
B(,-,0),C(0,-,).
则有=(-,0,),=(-,0,).
所以=2,
即得BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,
知S△EOB=.
而△OED是边长为2的正三角形,
故S△OED=.
所以SOBED=S△EOB+S△OED=.
过点F作FQ⊥AD,交AD于点Q,
由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱锥FOBED的高,且FQ=,
所以=FQ·SOBED=.

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