机器人运动学的旋量表述.pdf

安徽农业科学，J o u r n a lo f A n h u iA 鲥S c i 2 0 1 2，4 0(1 0)：6 3 1 6-6 3 1 8，6 3 4 6责任编辑夏静责任校对李岩机器人运动学的旋量表述葛洪央1，葛新锋2(1 许盲职业技术学院信息丁程系，河南许昌4 6】o o o；2 许昌学院电气信息工程学院，河南许昌4 6 l o o o)摘要应用李群知识和旋量理论描述了串联机器人的刚体运动，建立了机器人运动学关系的算法，并利用软件M a t h e m a t i e a 进行了算法的实现；选取了具有代表性的串联机器人进行了运动学关系的分析，对算法和程序进行了验证；最后将运动学关系式的旋量指数积方法与传统的D-H 参数方法进行了比较分析，从运动学参数的几何描述以及运动学关系式对后期分析的影响2 个方面分别阐述了旋量指数积描述方法的优势。关键词串联机器人；运动学；旋量指数积；D H 参数中图分类号$2 2 0 1文献标识码A文章编号晒1 7 6 6 l l(2 0 1 2)l O 一0 6 3 1 6 0 3S c r e wR e p r e s e n t a t i o no ft h eR o b o t i cM a n i p u l a t o r sK i n e m a t i c sG EH o n g-y a n ge ta l(D e p a r t m e n to fI n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g，X u e h a n gV o c a t i o n a lT e c h n i c a lC o l l e g e，X u e h a n g，H e n a n4 6 1 0 0 0)A b s t r a c tr 1 1 h er o b o t i cm a n i p u l a t o r Sr i 6 db o d ym o t i o n sw e g ed e s c r i b e du s i n gL i eg r o u p sk n o w l e d g ea n ds c r e wt h e o r y e s t a b l i s h e dt h er o b o t i cm a n i p u l a t o r Sk i n e m a t i c sa l g o r i t h m，a n dr e a l i z e dt h ea l g o r i t h mu s i n gM a t h e m a t i c a；t h er e p r e s e n t a t i v er o b o t i cm a n i p u l a t o rw a ss e l e c t e da n di t sk i n e m a t i c sw e r ea n a l y z e d，a n dt h eA l g o r i t h ma n dp r o c e d u r e sw e r ev e r i f i e d F i n a l l y，t h es c r e we x p o n e n t i a lp r o d u c tm e t h o do ft h er o b o t i cm a n i p u 1 a t o r sk i n e m a t i c sa n dt h et r a d i t i o n a lD Hp a r a m e t e r sm e t h o dw e r ec o m p a r e da n da n a l y z e d m o r e o v e r t h ea d v a n t a g e so fs c r e we x p o n e n t i a lp r o d u c tm e t h o do ft h er o b o t i cm a n i p u l a t o r Sk i n e m a t i c sw e r ee l a b o r a t e df r o mt w oa s p e c t s。n a m e l yt h eg e o m e t r i cd e s c r i p t i o no fk i n e m a t i c sp a-r a m e t e r sa n dt h ei m p a c to fk i n e m a t i c sr e l a t i o n so nl a t e t i m ea n a l y s i s K e yw o r d sR o b o t i cm a n i p u l a t o r；K i n e m a t i c s；S c r e we x p o n e n t i a lp r o d u c t；D-Hp a r a m e t e r s机器人运动学分析是研究机器人各连杆之间的位移关系、速度关系和加速度关系，所以机器人的运动学分析在机器人学中占有重要的地位。它直接关系到机器人运动分析、离线编程、轨迹规划，也是机器人速度、加速度、受力分析、误差分析、工作空间分析、动力分析和机器人综合等的基础。J。在对串联结构机器人进行运动学分析时，需要寻求有效的分析方法来建立操作臂的运动学方程。D e n a v i t 等提出了一种建立连杆坐标系的方法，并利用D H 坐标系建立了机器人的运动学方程。其后国内外很多机器人研究领域的学者都是利用D-H 参数建立了不同机器人的运动学和动力学方程4“1。但是D H 参数法存在一定的缺陷。首先，D H 参数与机器人的构型有关，对于不同结构的机器人，所建立的机器人运动学方程均不同；即使是同一结构类型的机器人，坐标系不同，所对应的D H 参数也不一样，得到的运动学方程也不同。其次，对于D H 参数法建立的机器人运动学，所有的运动参数都是关于菇轴和：轴的，无法表示关于Y 轴的运动。因此有必要利用另外一种方法建立运动学模型。笔者应用李群知识和旋量理论给出了依据旋最指数积公式的运动学模型其核心是指数积公式。他将串联机器人的运动方程表示成运动旋量的指数积，从而提供了机器人运动方程的完整几何表示方法，大大地简化了机器人机构的分析，并提供了串联机器人的机构参数化表示方法。1 指数积公式因各关节的运动由位于关节轴线的运动旋量产生，由此可得运动学的几何描述。如果亭是一个运动旋量，那么与沿此运动旋量轴线转动和移动的刚体可表示为：基金项目作者简介收稿日期国家自然科学基金资助项目(5 1 0 0 5 1 2 2 5 11 7 5 2 6 1)。葛洪央(1 9 6 7 一)，男，河南鄢陵人，副教授，从事计算机技术、机械运动学理论研究，E m a i l：G e x i n f e n g l l 1 2 6 o D m。2 0 1 2-0 I 1 l如(p)=e 卯g 曲(O)如果亭对应一个移动关节，那么0 R 是移动量；反之，0S 是绕轴线的转动角度。设咄F 为运动旋量；。轴线上的单位矢量，q。詹为轴线上任意一点。对于转动关节，直的运动旋量坐标表示形式为：弘【硼j】对于移动关节，q 为移动方向的单位矢量，则亭的运动旋量坐标形式为：扣【翮其中，耽E 砰是指向移动方向的单位矢量。所有矢量和点都是相对于基础坐标系S 描述的。将各关节的运动加以组合，即得运动学正解映射。：Q S E(3)女n 下：。(0)=，l“e e 一1 矾(0)(1)毒必须由基座开始顺序编号，但是乳(0)给出的工具坐标系的位形与转动和移动的实际顺序无关。式(1)称为机器人运动学正解的指数积公式。2 运动学关系的建立算法及M a t h e m a t i c a 实现基于旋量指数积方法的n 关节机器人的运动学方程的建立【7|：(1)建立基坐标系和末端执行器固接的坐标系。(2)X r -z f：每个关节i，构造个运动旋量董，童对应于除第f 个关节外，其他关节，均固定于B=0 位置时的旋量运动。(3)将n 个关节的运动组合可得到运动学正解映射瓯：Q 一舾(3)矾(口)=，一一一2 一(0)万方数据4 0 卷1 0 期葛洪央等机器人运动学的旋量表述6 3 1 7为了计算的通用性和简便，笔者对其中的一些计算利用对于已知旋转轴山及轴上任意一点口，计算运动螺旋：”R e v o l u t e T w i s t q，W g i v e st h e6-v e c t o rc o r r e s p o n d i n gt op o i n tqo n、t h ea x i sa n da8 c r e ww i t ha x i sWf o rar e v o l u t ej o i n t”；(G i v e sX i6v e c t o rg i v e na x i sa n dp o i n to na x i s)R e v o l u t e T w i s t q-，W _ F l a t t e n C r o s s q，W ，W ；(对于转动关节，计算运动旋量坐标)”P r i s m a t i c T w i s t q，W g i v e st h e6-v e c t o rc o r r e s p o n d i n gt oo nt h ea x i sa n das c r e ww i t ha x i sWf o rap f i s m a t i cj o i n t”；(G i v e sX i6v e c t o rg i v e np o i n tO na x i sqa n da x i sW)P r i s m a t i c T w i s t q-，w _ ：=F l a t t e n W，0,0，0 ；正向运动学的指数积计算程序：(C o m p u t et h ef o r w a r dk i n e m a t i cm a pv i at h ep r o d u c to fF o r w a r d K i n e m a t i c s a r g s，g s t 0 一 _M o d u l e g，i，a r g L i s t=a r g s ，(t u r na r g u m e n t si n t oar e a ln=L e n s t h r a g s (+d e c i d eo nt h en u m b e ro fg=T w i s t E x p a r 9 1 A s t 1，1 ，a r g L i s t 1，2 ；(B u i l du pt h eJ a c o b i a nj o i n tb yj o i n t)F o r i=2，i =n，i+，(U p d a t et h et r a n s f o r m a t i o nm a t r i x)g=g T w i s t E x p a r g L i s t i，1 ，a r g L i s t i，2 ；(F i n i s hb ym u l t i p l y i n gb yt h ei n i t i a lt 0 0 1；以6-D O F 的轴机器人(图1)8 1 为例，对算法进行验证和分析，建立基础坐标系和工具坐标系。”9 0)2=0)3=W 4=阻妒；图1峨=!“吣，：a 2+a 3+a 4 g=兰。，9 2=兰。，吼=圣，9 4=兰+码，q，=0：+口，吼=；0 1-J g(p)=【：口0 p】其中R c 口，=兰孽兰，p c 一，=兰万方数据6 3 1 8安徽农业科学2 0 1 2 年4 指数积法与D e n a v i t H a r t e n b e r g 参数法的比较4 1 建模以D H 参数法建立运动学关系时，各个相邻杆件的相对位置方向参数9 1 见图2。图2 机械臂的D-H 爹敛基于D-H 坐标参数的关节链式机器人运动学方程的建立算法程序：给各个连杆建立局部坐标系，并对机器人的基座建立一个固定的全局坐标系。确定各个连杆的运动学参数。利用以上相关公式计算从第1 个连杆到第凡个连杆的变换矩阵，描述当前坐标系跟其前一个坐标系的关系，即求乳。计算末端执行机构对于机器人基座的转换矩阵：鼠(0)=g j (0 1)g t(以)g j。j(以)g l J4 2 误差分析精度是并联机器人非常重要的性能指标之一。直接影响机器人的工作性能，在机器人领域对精度进行研究是一项重要而富有意义的工作0。首先建立运动学模型，对于并联机构的每条支链机械臂，其末端执行器的自由度为6，其位姿可以用向量表示：X=茹l，髫2，r=r x，r，L，毋，0，妒 r利用运动旋量得到具有厅个自由度开链机械臂的运动学正解公式为：棚)=虬训0)R以沁，l#0。o，他吼00n，P，G yp，qP：O1位姿中的欧拉角与旋转之间的转换关系为：r 4,l2 口t a n 2(口，口，)，中2=中t+1 8 0 口=口t a n(锄，+s 勘，【妒=f i t t a n 2(一s q m，+c q m，一s 咖，+c 勃，)运动旋量坐标有6 个参数，将这6 个参数作为结构参数，巩为运动变量。在进行机械臂末端执行器运动误差分析的过程中，要研究各个参数对末端执行器位姿误差的影响。因此要将运动旋量坐标和运动变量0 1 都作为变量对待，而直与C a)；和q。有关。因此将因各种因素所导致的误差用蛾和q；来表示。则第J 个关节存在的结构误差为q b，g b，c，h，h，k。其中f,D E 萨为确定旋转轴方向的单位矢l；q。E 酽为旋转轴上一点。因此机械操作臂末端执行器的位姿误差可近似表示为：r 一砉 蠹 鲍+毫 亳 她+毫 毫 g。+砉(毫+砉 去 龇+砉(老 n，n+主 去 幽。中一砉 筹m+砉(筹-+砉(蓑 g。+砉 慧3 A q a+砉 詈 峨+砉(差 幽岔+砉 署 幽。图3 旋方法的误差示意由图3 可知，机械臂第1 关节与第2 关节处于不同初始位置时的旋量运动状态，图中已假定由于各种误差因素的影响，关节1 的轴线与关节2 的轴线不交于一点。如果应用旋量坐标来建立标定运动学模型，则各个关节的旋转轴即旋量运动的旋转轴，而q 为旋转轴上的一点。因此若各种因素的影响(如装配误差的影响)而导致相邻轴线稍微偏离平行位置，q 在空间中的位置坐标只与其所在的旋转轴相关，而与另一轴无关，因而只要发生微小变化，这种微小变化可通过。E 席，q k E 启的微小变化充分表述出来。而采用如图2 所示的传统的D H 建模方法，假设两关节轴线公称平行，若其中一轴，如轴偏离其原位置a 角，则两轴将在很远的地方相交，Z=q c o t c t，妒加，则f 一，从而导致连杆的偏置d l 变化很大。因而在进行微分时不能忽略高阶项，会引起误差的难计算及偏差。5 结论应用李群知识和旋量理论描述了刚体运动，建立了机器人运动学关系建立的算法，并利用软件M a t h e m a t i c a 进行了算法的实现笔者选取了具有代表性的串并联机器人进行了运动学关系的分析，对算法和程序进行了验证；最后将运动学关系式的旋量指数积方法与传统的D H 参数方法进行了分析比较，从运动学参数的几何描述以及运动学关系式对后期分析的影响2 个方面分别阐述了旋量指数积描述方法的优势。参考文献 1 K U C U Ks，B I N G U Lz T h ei n v e r s ek i n e n m i c ss o l u t i o n so fi n d u s t r i a lr o b o tm a n i p u l m o m C f f M e e h a t r o n i c s，2 0 0 4 I C M 0 4 P r o c e e d i n g s0 ft h eI E E EI n t e r n a t i o n a lC f h e r I c e T u r k e y：I S S N 2 0 0 4：2 7 4-2 7 9 2】T C H O NkO ni n v 南ek i n e m a t i c so fs t a t i o n a r ya n dm o b i l e I r I i p t l l a t o r s C 加O lP r o o e e d i n 伊o ft h eS e c o n dI n t e r n a t i o n a lW o r k s h o pO l t lR o b o tM o t i o na n dC o n t r 0 1 I J 0 c a t i o n：B u k o w yD w o m k，P o l a n d，2 0 0 1：3 9 4 4 3】D E N A V I TJ，H A R T E N B E R GRS AK i n m a t i cN o t a t i o nf o rL o w 目-P m rM e c h a n i s m sB a s e dO nM l l t r i c e$J J 删o fA p p l i e dM e c h a n i c s，1 9 9 5，2 1(5)：2 1 5 一笠1(下转第6 3 4 6 页)万方数据6 3 4 6安徽农业科学2 0 1 2 生修筑完竣。通过大规模的兴工治理，上游河道堤工、淀泊出口和堤防已颇有端绪，而下游河淀汇合入海之道是否深畅“此系通省河淀紧要关键”坤1，经过亲自勘验南运、大清、北运3 河交汇之处的水流水势，孙嘉淦发现独流减水闸无需于损毁后重建。因为闸闭后会造成“河不能人海而返灌诸淀”哺1。在直隶淀河问题上。孙嘉淦从实际出发，判断准确，治理方法合理，切中要害。3 河淀通治思想与举措对后世的影响在清代，统治者认为“畿辅之地，乃天下根本，必加意安养，使民生乐业，方能自近及远，渐至太平”“，直隶河道治理之于地方的示范意义非同一般，因此，历任直隶总督“举凡直省水利，亦皆经营不遗余力”“。孙嘉淦督直期间浚治所属河淀“共计工程五百二十三处”0 1，其有效性的重要保障在于责任明确，限时保质，永定河与东西两淀均是如此。孙嘉淦的工作极为细致，为防止“懒于相度无心隐漏者”和“惮于兴作有心隐匿者”，其将“各州县历年被水村庄开单知照各府州县令”旧，然后再令各府州县令勘察每个村庄的积水状况，上报“水从何处来，到何处去，何处可堵，何处需疏，何处当汲引泉流营造水田，何处只能种植芦苇，需要免除钱粮”等各项具体事宜，都要在1 个月内勘察清楚并明白上报，之后，责令秋后涨泄后兴工，在来年春汛前完竣。这种督责作风应为后世每一位为政者所学习弘扬。孙嘉淦从实际出发。躬亲实勘，淀河通治的思想对后世治河者产生了深远影响，其不仅修正了大学士鄂尔泰等筑堤束水、建闸节水，河督顾琮仅用垡船捞泥等治理淀河的主张，而且，此后直隶总督如方观承、高斌、刘长佑和李鸿章等，在经营直隶河道水利时均沿袭了该理念。事实证明，由于当时直隶主要河流经淀达海的径流模式，只有两淀咽喉畅通，尾闾无阻，并有足够的停蓄与沥水能力，才能保证河水顺利达淀人海；而只有相关河道顺畅，永不淤淀，才能保证两淀咽喉与尾闾畅通。二者是互相制约的矛盾统一体，没有全局观念，通盘计算，任何单纯的于淀区引水、疏水以种植水稻，于上游河道修建闸坝、水库以拦洪减泄，或在淀河不断淤抬的情况下一味将堤防增筑高厚的做法，均带来了深刻的教训，淀河通治思想影响至今。孙嘉淦的治理举措直接影响了今天淀河水系河道的一(上接第6 3 1 8 页)4 S A D L E RJP n e m a t i oa n dO y n a m i 0 fM a c N n e r y M N e wY o r k：H a q m r&R o w，1 9 8 3 5 W H I T N E YDE M e c h a n i c a lA s s e m b l i：T h e i rD e s i g nM a n u f a c t u r e a n dR o l ei nP r o d u c tD e v e l o l m,e n t【M1 N e wY o r k：O x f o r dU m v e m i t yP r e s s，2 0 0 4：3 5 5 1 6 赵建文，杜志江，孙立宁7 自由度冗余手臂的自运动流形 J 机械工程学报，2 0 0 7，4 3(9)：1 3 2 1 3 7 7 A S P R A G A T H O SNA，D I M 册0 sJK AC o l l l p s H 出v es t I l d y0 f1 h m些布局。如在赵北口路桥南所疏河道，首次为西淀人工增加出水口，清末清河道叶伯英所开的赵王河，其所走路线由任丘药王行宫之南向东，出张青口以达东淀，正是当年孙嘉淦为增加西淀出水口而开挖的河道旧道。今天的赵王新河则将其裁弯取直，引白洋淀水直流向东，进一步增加了宣泄能力。再如，为使积水入河，河水入淀，两淀畅泄，淀水人海，孙嘉淦尽力使淀河之水分流别脉，而东西两淀的地理位置与当时东淀大于两淀的现实，使其决定疏引淀河悉归东淀。虽然永定河改归故道的主张，早在清初怡亲王兴治直隶水利、营田植稻时期就曾提出和实施过，但孙嘉淦将永定河下口改归故道后，将金门闸之西引河改由东道，使不入中亭河，并于叶淀之东疏引河，由西沽北人海，就从根本上避免了永定河盛涨之水倒灌两淀的威胁，因此被后世治水者沿袭至今。另外，改行中亭入东淀的举措，根本上改变了白沟携沙人大清河的局面，清河门淤堵倒灌两淀的现象得以遏制，并为白沟新渠南行入白洋淀模式提供了思路。永定、子牙与大清河、海河南北别流人海的主张，虽然当时未能实施但东淀惟承西淀及上游诸水的思路是合理的，其可避免东淀被淤为平陆，这恰与今天白洋淀、大清河水系局势相似，只不过已是在东淀被淤平之后。参考文献 1 蔡冠洛清f 匕-I=百名人传 M 台北：文海出版社，1 9 7 1：1 3 5，2 5 5 2 清实录高宗实录 M 北京：中华鸨局，1 9 8 5：2 5 4 3 李洵孙嘉洽与雍乾政治 J 史学集刊，1 9 8 4(I)：3 8 4 4 4 高生记孙嘉缝政冶思想简论 J 山西师大学报：社会科学版，2 0 0 3(3)：1 5 一1 8 5 陈东林徐怀宝乾降朝一起特殊文字狱一“伪孙嘉淦奏稿案”考述 J 故育博物院院刊，1 9 8 4(1)一1 9 9 9(4)6 中国第一历史档案馆编选乾隆年阃伪孙嘉淦奏稿案史料选(1 8)Z 历史档案，1 9 9 8(1)：3 一1 0 7 韩雪松清代谏臣孙嘉淦奏疏述要 J 兰台世界，2 0 1I(4)：6 7 6 8 8 孙嘉渔孙文定公奏疏 M 北京：北京出版社，1 9 9 8：3 0 8 3 1 1，3 2 2，3 1 3，3 1 6 9 王钟翰点校清史列传 M 北京：中华书局，1 9 8 7：1 0 8 8 1 0 潘；易巴畿辅水利_ 案 M 清道光i 年(1 8 2 3 年)刻本 1 1 沈兆淫篷窗随录 M 近代中国史料丛刊第四十辑台北：文海出版社，1 9 6 9：3 1 4-3 1 5，3 1 7 3 1 8，3 2 0【1 2 清高宗御制诗三集【M 景印文渊阁四库全书台北：台湾商务印书馆，1 9 8 6：1 3 0 6 3 1 7 1 3 清世祖章皇帝圣训 M 景印文渊阁四库全书台北：台湾商务印书馆，1 9 8 6：4 1 I 一1 3 7 1 4 赵尔巽等清史稿 M 北京：中华书局，1 9 7 6：3 8 2 3 M e t h o&f o rR o b o tl(i n e m a t i c s fJ 1 I E E ET r a n s a c t i o n sO i lS y s t e mM a n a n dC y b e m e t i，1 9 9 8 2 8(2)：1 3 5 1 4 5 8 L U N G-W E N I S A I R o b o ta n a J y s i s：吐mm e c h a n i c 80 f S e f i a la n dP a r a l l e lr n a n i p u l a t o n M N Y：J o h nw i I e y&s O N S，U m t e dS t a t e s0 fA m e r i c a，1 9 9 9 9 熊有伦机器人技术基础 M 武汉：华中科技大学出版社，2 0 0 2 1 0 赵永杰，赵新华，葛为民位姿变化对6 s p B 机器人精度的影响 J 机械设计。2 0 0 3，2 0(9)：4 2 4 4 万方数据