第22章作业分析2008.doc

第二十二章量子力学基础作业分析2008/12/26/
22.1电子显微镜中电子从静止通过电势差为的电场得到加速，电子的德布罗意波长0.04mm，问是多少？
解： 根据，有
这样的电压不高，电子速度不会很大，可以用非相对论公式。
22.2在电子显微镜中，以电子束代替光束，以电聚焦场和磁聚焦场代替折射透镜。显微镜在最佳情况下，能分辨的最小距离(显微镜的分辨本领)大致等于显微镜所用的电子波长。一般的电子显微镜可采用电势差为50kV的电场加速电子，试计算这种显微镜能够分辨的最小距离。
解： 由例题22.1可以看到，当加速电压小于105V时，计算电子波长时相对论效应是可以忽略不计的，可以直接应用（22-3）式
故这种电子显微镜可以分辩的最小距离约为。
22.3 动能为104eV的电子，其德布罗意波长是多少？如果电子通过直径0.1mm的圆孔，电子表现出粒子性还是波动性？
解：动能的电子，相当于电子经过的电场加速后的情况，其德布罗意波长为：

由于电子的波长远小于圆孔直径（0.1mm），电子通过圆孔时将表现出粒子性。
22.4为了探测质子的内部结构，曾在斯坦福直线加速器中用能量为22GeV的电子做探测粒子轰击质子。这样的电子的德布罗意波长是多少？已知质子的线度为10–15m，这样的电子能用来探测质子内部的情况吗？
解： 电子动能已达到22 GeV，必须考虑相对论效应，根据相对论动量与动能的关系，电子的德布罗意波长为
这样的电子可以用来探测质子内部的情况。
22.5试证：在均匀磁场中运动的带电粒子，其波长与它在这磁场中轨迹的曲率半径成反比。

证：设磁感应强度为B，带电粒子电量为q，质量为m，在磁场中作圆周运动的半径为R，电子运动的向心力由洛仑兹力提供 则 电子的动量
电子的德布罗意波长 即电子的德布罗意波长与曲率半径R成正比。
22.6室温(300K)下的中子称热中子，求热中子的德布罗意波长。
解： 室温下的中心处于热平衡状态时，其平均速率
中子的德布罗意波长为
22.7 具有能量15eV的光子被氢原子中处于第一波尔轨道的电子吸收而形成一光电子，此光电子远离质子时的速度为多少？其德布罗意波长为多少？
解：光子被氢原子中的电子吸收，电子脱离氢原子核（质子），这实际上是一个光电效应过程，电子的结合能就是其电离能，根据光电效应方程，光电子的动能
上式中，因为该电子是氢原子的基态电子。脱离原子核后的电子其动能是很小的，故不必考虑相对论效应，电子的速度：
电子的德布罗意波长为：
22.8 证明氢原子圆形玻尔轨道周长是电子德布罗意波长的整数倍。这是一种物质波驻波。
证：根据玻尔角动量量子化假设，，以及德布罗意关系式，则圆形玻尔轨道的周长

22.9 铀核的线度为7.2´10–15m，求其中一个质子的动量和速度的不确定量。(不确定关系式为)。
质子在铀核中运动，可以取铀核的线度为质子位置的不确定量，，根据不确定关系，质子动量的不确定量
解：
质子速度的不确定量
22.10试证：在确定一个运动粒子位置时其不确定量若等于其德布罗意波长，则同时确定该粒子的速度的不确定量约等于此粒子的速度(不确定关系式)。
解：根据题意，粒子位置的不确定量等于其波长，有
由不确定关系式，有 取等号，则
22.11电视机显象管中电子的加速电压为9kV，电子枪枪口直径取0.50mm，枪口离荧光屏距离为0.30m，求荧光屏上一个电子形成的亮斑直径。这样大小的亮斑影响电视图象的清晰度吗？
解： 电子在电子枪中经电场加速，获得动能，其纵向速度（取为y方向，且不需考虑相对论效应）
电子出枪口时，由于波动性，在垂直枪管方向上将有一横向速度，可以用不确定关系估算（不确定关系）,
可以取枪口直径,
这样的横向速度，并不影响电子的运动。
电子脱离电子枪口后，不论是纵向还是横向都作匀速直线运动，电子从枪口到荧光屏所需的时间为
故屏上的亮斑直径
这样大小的亮斑不影响电视图像的清晰度。
22.12 测出密度为1.2g·cm–3的球形病毒的直径为5.0nm，试用不确定关系估算病毒的最小速率。
解：病毒位置的不确定量可以取病毒的线度作为估算，即，病毒的质量
式中 根据不确定关系式:

病毒的速度一定大于速度的不确定量，即，故最小速度
22.13波长的光沿x轴正向传播，若光的波长的不确定量，则利用不确定关系式，可得光子的x坐标的不确定量至少为多少？
解： 光谱线的自然宽度可以作为波长的不确定量，与动量的不确定量的关系为
这样，由不确定关系，可以得位置的不确定量与波长的不确定量的关系：
即
位置的最小不确定量应对上式取等号:
22.14如果一个电子处于原子某能态的时间为10-8s，该原子的这个能态的最小不确定量是多少？(不确定关系式。)
解：设电子从上述能态跃迁到基态，对应的能量为3.39eV，试确定所辐射光子的波长及这波长的最小不确定量
根据不确定关系式，该能态的最小不确定量

电子从该能态跃迁到基态，对应的能量，辐射光子的频率为，波长,即

对两边求不确定量（微分）:
可得: =
22.15 一个宽度为a的一维无限深方势阱，试用不确定性关系估算其中质量为m的粒子的零点能。(不确定关系式
解：取势阱宽度a为粒子位置的不确定量，，粒子的动量最小应等于其不确定量，即，由不确定关系式
势阱中势能为零，粒子的能量
最低能量即零点能为
2216 在一维无限深方势阱中，当粒子处于n=3时，求发现粒子概率最大的位置及发现粒子概率最小的位置。
解：一维无限深势阱中粒子波函数 ，
当粒子处于n=3的量子态时，波函数
概率密度函数
发现粒子概率最大的点可令得到，即
； ； ； ，x已超越阱外，不可取。
发现粒子概率最小的点可令得到，即
；；；；，x已超越阱外，不可取。
22.17 已知粒子波函数，试求发现该粒子的概率密度函数。
解：概率密度函数，将波函数代入，

22.18一维运动的粒子，处于如下波函数所描述的状态：
式中。试求(1) 波函数的归一化常数A；(2) 粒子的概率密度函数；(3) 在何处发现粒子的概率最大。解：（1）归一化常数由归一化条件计算。将波函数代入

（2）粒子的概率密度函数
（3）发现粒子的概率最大处，可令计算
可得
显然，在x=0和处，为极小值，所以在处发现粒子的概率最大。
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