坐标与约束方程.doc

描述系统位形的坐标阵

图8-1 笛卡尔坐标描述刚体系位形
对于如图8-1所示N个刚体作平面运动的刚体系，首先在系统的运动平面上定义一公共参考基，记为。基点记为O。在刚体Bi(i=1,…,N)上取某一点Ci(不一定是质心)为基点建立一连体基。将该基点相对于公共参考基基点O的矢径记为。它在基的坐标阵为。连体基的基矢量与公共参考基的基矢量正向的夹角为该刚体的姿态角fi(见图8-1)。坐标阵与姿态角fi确定了刚体Bi的位形，它们构成Bi的位形坐标列阵，记为
(i=1,…,N)
(8.1-1)
组集这N 个列阵，构成了描述该刚体系位形的坐标列阵：

(8.1-2)
称其为刚体系的笛卡尔(Cartesian)位形坐标阵。该坐标阵坐标个数为n=3N。

图8-2 笛卡尔坐标描述刚体系位形
以图8-2所示的平面三杆系统为例。如图建立公共基。该系统由三个刚体组成，分别建立连体基、与。系统的位形坐标阵有9个坐标构成，即

(8.1-3)
这9个坐标都是时间的函数。连体基也可以按图8-3所示定义，即刚体B1连体基的基点C1取在转动铰O的铰点处，刚体B2连体基的基点C2取在其与B1的转动铰的铰点处，刚体B3连体基的基点C3取在其与B2的转动铰的铰点处。系统的位形坐标阵的形式仍如同式(8.1-3)。考虑到刚体B1连体基的基点C1与O始终重合，矢径在基上的坐标阵为零阵，故

坐标阵中7个是时变的。可见适当的选取连体基可减少系统位形坐标阵中时变量的个数。

图8-3 连体基的基点在铰点上的情况
对于上述平面三杆系统也可按如下的方式描述其位形。首先如图8-3所示建立各刚体的连体基。刚体 B1的位形坐标为

基点C2的矢径在的坐标阵为(其中l1为B1的杆长)。如果刚体B1的位形已经确定，定义如下的坐标阵同样可确定刚体B2的位形

基点C3的矢径由基点C2指向C3的矢径替代，后者在的坐标阵为(其中l2为B2的杆长)。如果刚体B2的位形已经确定，定义如下的坐标阵同样可确定刚体B3的位形

可见系统的位形将由、与等3个时变的变量确定。系统的位形坐标可定义为

(8.1-4)
读者不难看出，上述定义的位形坐标阵变量个数少，但依赖技巧。而对于任意一个刚体系，利用笛卡尔位形坐标描述位形比较规范，只要设定好公共基与连体基，坐标阵(8.1-2)的定义是统一的。

系统约束方程
对于刚体系，刚体间存在铰(或运动副)。在一个铰的邻接刚体中，一个刚体的运动将部分地牵制了另一刚体的运动。在一般情况下，描述系统位形的坐标并不完全独立，在运动过程中，它们之间存在某些关系。这些关系的解析表达式构成约束方程。
约束方程的建立通常有两种方法。一种是总体方法，另一种为局部方法。下面以上述三杆系统为例，简单说明这两种方法的特点。
约束方程建立的总体方法
总体方法是按其总体的几何关系写出位形坐标的约束方程。对于如图8-3所示的位形描述方法，其位形坐标阵为式(8.1-4)，根据两支座的在 x 与 y两个方向的相对距离保持不变的条件，可列出两个约束方程，即。

(8.1-5)
其中l1、 l2与 l3分别为三杆的杆长。当 f1 给定，由此方程组可解出 f2 与 f3。坐标 f1 将完全确定了系统的位形。
约束方程建立的局部方法

图8-4 局部方法建立约束方程
局部方法是从每个铰所关联的刚体偶对局部出发，根据铰的性质建立邻接刚体的坐标间的约束方程。对于如图8-2所示的位形描述方法，其位形坐标阵为笛卡尔坐标式(8.1-3)。对于转动铰，铰点在运动过程中始终保持重合。这样对于铰 A 与 B 有如下相似的矢量关系(见图8-4)：

其中 (i=1,2,3)为杆 Bi 连体基基点Ci 的矢径， 为杆 Bi 上Ci 指向铰 A 的连体矢径(其他类同)。令与为支座 O与 D 的矢径，对于铰 C 与 D 有类似的矢量关系：

上述每个矢量式在公共基上有两个标量坐标式，它们组成系统的约束方程组，即

(8.1-6a)

(8.1-6b)

(8.1-6c)

(8.1-6d)
以上8个约束方程相互独立。由于系统的位形坐标的个数为9，当其中有一个坐标(如f1)给定后，其余8个坐标可由上述方程组解得。因此系统位形完全取决于该位形坐标。
比较这两种建立系统约束方程组的方法可知，局部方法统一由铰的偶对刚体出发，对于同一类铰，约束方程有共性。系统的约束方程是各铰的约束方程的组集。总体方法则缺少这种共性，方程的建立更多的依赖于读者的经验与分析问题的能力。综上所述，采用一般形式的笛卡尔坐标与建立约束方程的局部方法便于计算机建立刚体系统运动学关系。
 自由度数
由以上的分析可知，对于上述三杆系统尽管描述其的位形坐标阵不同，描述系统的最小的坐标数均为1。这个结论具有普遍意义。即描述刚体系的位形坐标选取方法多种多样，但是描述该刚体系位形的最小坐标数是不变的。这个不变数为该系统的自由度数(简称自由度)，记为 d
广义坐标
任意的一个刚体系如果自由度为 d ，则该系统只需 d 个坐标即完全能描述该系统的位形。这 d 个坐标称为该系统的独立坐标或广义坐标，它们构成该系统的一独立坐标阵或广义坐标阵，记为 w 。其余的坐标构成的坐标阵称为非独立坐标阵，记为 u 。对于图8-3描述的三杆系统， w=(f1)， u=(f2 f3)T。经对坐标次序的排列，坐标阵总可表达为

约束的分类定义
系统约束方程组一般可表达为

(8.1-7)
或显含时间 t

(8.1-8)
其中

(8.1-9)
s 为约束方程的个数。这种只含坐标与时间的约束方程描述的约束称为完整约束。通常约束方程为系统坐标的非线性代数方程。对于图8-3描述的三杆系统，s=2，有

(8.1-10)
对于图8-2描述的三杆系统的系统，s=8。
有些约束的约束方程可能还与坐标的一阶导数有关，即

当这些约束方程不可积时，这种约束称为非完整约束。不显含时间的约束方程称为定常的，反之称为非定常的。有时约束方程为一不等式方程，这种约束称为单面约束，故通常约束方程为一等式方程的约束为双面约束。工程中大多数运动副均为完整约束，如不特别指出，本书所提的约束均指完整约束。
对于只含完整约束的刚体系，系统的自由度数等于系统的坐标数减去系统独立的约束方程的个数，如果上述的 s 个约束方程相互独立，系统的坐标数为 n ，即有
d =n－s
(8.1-11)
对于图8-3的系统，系统的坐标数为 n=3，系统的自由度数 d =3-2=1。

雅可比矩阵
将式(8.1-8)对时间求导有

(8.1-12)
或改写为

(8.1-12')
其中

(8.1-13)
而

(8.1-14)
为约束方程(8.1-8)的雅可比(C.G.J. Jacobi)矩阵，或简称约束方程的雅可比。它与 Ft 的元素均为系统坐标与时间的函数。
速度约束方程
位形坐标阵的导数称为系统的位形速度，其中
(i=1,…,N)
(8.1-15)
式中，坐标阵为刚体Bi基点速度矢量的坐标阵，为刚体的角速度。故方程(8.1-12)与(8.1-12')称为系统的速度约束方程，

(8.1-12)

(8.1-12')
它们为系统位形速度的线性代数方程组。对于定常系统，雅可比矩阵不显含时间 t ，有 Ft =0 ，此时该代数方程组为齐次的。
加速度约束方程
将式(8.1-12)对时间求导，可表为

(8.1-16)
或改写为

(8.1-16')
式(8.1-16)与(8.1-16')中，考虑到Ftq=Fqt 有

(8.1-17)
其元素为系统坐标及其导数和时间的函数。位形坐标阵的二阶导数称为系统的位形加速度，其中
(i=1,…,N)
(8.1-18)
式中，坐标阵为刚体Bi基点加速度矢量的坐标阵，为刚体的角加速度。故方程(8.1-16)与(8.1-16')称为系统的加速度约束方程，它们为系统位形加速度的线性代数方程组。

例题8. 1-1
对于图8-2所描述的三杆系统，写出其约束方程的雅可比以及速度与加速度约束方程的右项。
解：该系统的约束方程已由式(8.1-10)给出。由定义式(8.1-14) 、(8.1-13)与(8.1-17)可得到该系统约束方程的雅可比以及速度与加速度约束方程的右项的表达式。比较方便的方法是对约束方程求一、二阶导数，直接由速度与加速度约束方程中提取所需的表达式。
首先对约束方程式(8.1-10)求一阶导数，有

(1)
将此速度约束方程合并为成矩阵形式，有

(2)
将此式与速度约束方程的一般形式(8.1-12')比较可得到约束方程的雅可比与速度约束方程
，
(3)
再对式(1)求时间导数，得

(4)
将此加速度约束方程合并为成矩阵形式，经整理有

(5)
将此式与速度约束方程的一般形式(8.1-16')比较可得到加速度约束方程的右项为

(6)