《圆锥曲线解题十招全归纳》.doc

《圆锥曲线解题十招全归纳》
招式一：弦的垂直平分线问题 2
招式二：动弦过定点的问题 4
招式四：共线向量问题 6
招式五：面积问题 13
招式六：弦或弦长为定值、最值问题 16
招式七：直线问题 20
招式八：轨迹问题 24
招式九：对称问题 31
招式十、存在性问题 34

招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线与曲线N ：交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线，，，。
由消y整理，得 ①
由直线和抛物线交于两点，得
即 ②
由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得，则
为正三角形，到直线AB的距离d为。

解得满足②式此时。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．
招式二：动弦过定点的问题
例题2、已知椭圆C：的离心率为，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率，,
则得。从而椭圆的方程为
（II）设，，直线的斜率为,则直线的方程为，由消y整理得是方程的两个根，则，，即点M的坐标为，
同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为
，直线MN的方程为：，
令y=0，得，将点M、N的坐标代入，化简后得：
又，椭圆的焦点为，即
故当时，MN过椭圆的焦点。
招式三：过已知曲线上定点的弦的问题
例题4、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。

解：(I) ，且BC过椭圆的中心O
又点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：
将点C代入方程，得，椭圆E的方程为
(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，
设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：
，即，由消y，整理得：
是方程的一个根，
即同理可得：
＝＝
＝
则直线PQ的斜率为定值。
招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足，求的取值范围.
解：（1）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又∴动点N的轨迹是以点
C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为
焦距2c=2. ∴曲线E的方程为
（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为
得设
，

又当直线GH斜率不存在，方程为
2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线交椭圆C于两点，交轴于点，若， ，求证：.
解：设椭圆C的方程为 （＞＞）抛物线方程化为，其焦点为，
则椭圆C的一个顶点为，即 由，∴，椭圆C的方程为 （2）证明：右焦点，设，显然直线的斜率存在，设直线的方程为 ，代入方程 并整理，得∴， 又，，，，
而 ， ，即，
∴，，所以
3、已知△OFQ的面积S=2, 且。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q， ，当取得最小值时，求此双曲线方程。
解：设双曲线方程为， Q（x0, y0）。
， S△OFQ=，∴。
=c(x0－c)=。

当且仅当，
所以。
类型1——求待定字母的值
例1设双曲线C：与直线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于点P，且PA=，求的值
思路：设A、B两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a的值。
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)
∵PA= ∴x1=.
联立消去y并整理得，(1－a2)x2+2a2x－2a2=0 (*)
∵A、B是不同的两点，∴
∴0λAC，其中。求ΔPOA的重心Q的轨迹。
思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数k的取值范围，从而确定轨迹的形状。
A
B
C
O
P
x
y
解：由得，k2x2+(2k－1)x+4=0.
由
设P(x’,y’)，B(x1，y1)，C(x2,y2)， （图2）
则x1+x2=, x1.x2=.
由=
=
由 =。

消去k得， x’－2 y’－6=0 (*)
设重心Q(x,y)，则，代入(*)式得，3x－6y－4=0。
因为
故点Q的轨迹方程是3x－6y－4=0（），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点的线段AB。
类型3——证明定值问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。设M为椭圆上任意一点，且，其中证明：为定值。
思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。
解：设椭圆方程为 则直线AB的方程为
代入椭圆方程中，化简得，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则
由 与共线，得，
。又

而于是。
因此椭圆方程为
设M(x, y), 由得，，

因M为椭圆上一点，所以
即 ①
又，
则
而
代入①得，=1，为定值。
类型4——探索点、线的存在性
例4在△ABC中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD 设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使成等差数列，为什么？
思路：先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。
解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知
∵H为垂心 ∴AC⊥BH，∴，
整理得，动点H的轨迹方程为 。
， ， 。
假设成等差数列，则
即 ①
∵H在椭圆上 a=2, b=, c=1，P、Q是焦点，
∴，即∴ ②
由①得， ③
联立②、③可得，，
∴显然满足H点的轨迹方程，
故存在点H（0，±），使成等差数列。
类型5——求相关量的取值范围
例5给定抛物线C：，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且，求l在轴上截距的变化范围。
思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由得，，即
由②得，
③ 。 联立①、③得，。
而当直线l垂直于轴时，不符合题意。
因此直线l的方程为或
直线l在轴上的截距为或由知，在上递减的，所以
于是直线l在轴上截距的变化范围是
存在、向量例6、双曲线，若上存在一点。
解：方程为，
即。由，消去y得
，
定值问题例7：是抛物线上的两点，满足（为坐标原点），求证：（1）两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线经过一定点。
分析：（1）设，则
又由
（2）
直线的方程为
，故直线过定点。
招式五：面积问题
例题1、已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值。
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。
（Ⅱ）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。由已知，得。
把代入椭圆方程，整理得，
，。
。
当且仅当，即时等号成立。当时，，
综上所述。
当最大时，面积取最大值。
2、已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为．
（Ⅱ）设，．（1）当轴时，．（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为．由已知，得．
把代入椭圆方程，整理得，
，．
．
当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．
当最大时，面积取最大值．
3、已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；
（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．
解：（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，
所以，．（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．设，，则
，；
因为与相交于点，且的斜率为，所以，．
四边形的面积．
当时，上式取等号．（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．
综上，四边形的面积的最小值为．
招式六：弦或弦长为定值、最值问题
1、已知△的面积为，
（1）设，求正切值的取值范围；
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图）， 当 取得最小值时，求此双曲线的方程。
解析：（1）设

（2）设所求的双曲线方程为
∴，∴
又∵，∴

当且仅当时，最小，此时的坐标是或
，所求方程为
2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；Ⅲ）求△PAB面积的最大值.
解：（Ⅰ）由题可得，，设则，，∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.
（Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，则BP的直线方程为：.由得 ，设，则，同理可得，则，.所以：AB的斜率为定值.
（Ⅲ）设AB的直线方程：.由，得，
由，得P到AB的距离为，
则。
当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。
3、已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线上。 设则圆半径 由得解得所求圆的方程为
（II）设直线AB的方程为代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为
令得点G横坐标的取值范围为
4、已知点的坐标分别是，，直线相交于点M，且它们的斜率之积为．（1）求点M轨迹的方程；（2）若过点的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）．
解：（1）设点的坐标为，∵，∴． 整理，得（），
（2）如图，由题意知直线的斜率存在，设的方程为将①代入，
整理，得，由，解得．
设，，则令，且．

．∵且，，
解得且． ，且．
故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．
5、已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
解析：（I）由题意得所求的椭圆方程为，
（II）不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则， 设线段PA的中点的横坐标是，则，由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为1．
招式七：直线问题
例题1、设椭圆过点，且着焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上
解 (1)由题意：
，解得，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零，记,则且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是 ，
，
从而
，（1） ，（2）
又点A、B在椭圆C上，即

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点总在定直线上
方法二
设点，由题设，均不为零。
且
又 四点共线，可设,于是
（1）
（2）
由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得
（3）
(4)
(4)－(3) 　　　得

即点总在定直线上
2、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4．（1）求曲线的方程；（2）设过的直线与曲线交于、两点，且（为坐标原点），求直线的方程．
解：（1）根据椭圆的定义，可知动点的轨迹为椭圆， 其中，，则．
所以动点M的轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，∵，∴．∵，，∴①∴ ．由方程组得．则，，代入①，得．即，解得，或．
所以，直线的方程是或．
3、设、分别是椭圆的左、右焦点。
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。
解：（Ⅰ）解法一：易知 所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则

（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又 ∴
又
∵，即 ∴
故由①、②得或
招式八：轨迹问题
轨迹法：1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；
例1、已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为，动点M到圆C的切线长与的比等于常数，求动点M的轨迹。

【解析】设MN切圆C于N，则。设,则
化简得
（1） 当时，方程为，表示一条直线。
（2） 当时，方程化为表示一个圆。
◎◎如图，圆与圆的半径都是1，. 过动点分别作圆、圆的切线（分别为切点），使得. 试建立适当的坐标系，并求动点的轨迹方程.
【解析】以的中点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则
，.
由已知，得.
因为两圆半径均为1，所以
.
设，则
，
即.(或)
评析：
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2．定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点，且与直线相切，其中.
求动圆圆心的轨迹的方程；
【解析】如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为；
◎◎ 已知圆O的方程为 x2+y2=100,点A的坐标为（-6，0），M为圆O上任一点，AM的垂直平分线交OM于点P，求点P的方程。
【解析】由中垂线知，故，即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆，中心为（-3，0），
故P点的方程为
◎◎已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程.
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，
点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，
可求得动点P的轨迹方程为：l

O

'

P
E

D

C

B

A

评析：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
三、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。
例3、如图，从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N求线段QN的中点P的轨迹方程。
【解析】设动点P的坐标为（x,y）,点Q的坐标为（x1,y1）
则N（ 2x-x1,2y-y1）代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①
又PQ垂直于直线x+y=2，故，即x-y+y1-x1=0②
由①②解方程组得, 代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足
求点T的轨迹C的方程；
【解析】
解法一：（相关点法）
设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为（），则
因此 ①
由得 ②
将①代入②，可得
综上所述，点T的轨迹C的方程是
解法二：（几何法）
设点T的坐标为
当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.
当|时，由，得.
又，所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中，，所以有
综上所述，点T的轨迹C的方程是
评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。
四、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
例4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

【解析】
解法一：以OA的斜率k为参数由解得A（k，k2）
∵OA⊥OB，∴OB：由解得B
设△AOB的重心G（x，y），则
消去参数k得重心G的轨迹方程为
解法二：设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为。
◎◎如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.

【解析】设切点A、B坐标分别为，
∴切线AP的方程为：
切线BP的方程为：
解得P点的坐标为：
所以△APB的重心G的坐标为 ，

所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：

五、交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
例5 、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
解1（交轨法）：点A、B在抛物线上，设A（，B（所以kOA= kOB=,由OA垂直OB得kOA kOB = -1，得yAyB= -16p2 ,又AB方程可求得，即（yA+yB）y--4px--yAyB=0,把 yAyB= -16p2代入得AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 ① 又OM的方程为 ②
由①②消去得yA+yB即得， 即得。
所以点M的轨迹方程为，其轨迹是以为圆心，半径为的圆,除去点（0，0）。
评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到交点的两个坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y--4px+16p2 =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所以由圆的几法性质可知：M点的轨迹是以为圆心，半径为的圆。所以方程为，除去点（0，0）。
1、已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且（1）动点N的轨迹方程；（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.
（1）设动点N的坐标为（x,y），则
，因此，动点的轨迹方程为
（2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，
则由， 不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由由点A，B在抛物线又y2=4x, y=kx+b得ky2－4y+4b=0,所以因为
解得直线l的斜率的取值范围是.
招式九：对称问题
1、例：若椭圆上存在两点A,B 关于：对称，求的取值范围
解法（1）设直线AB的方程为
由消去得
由题意知该方程有两个不等式跟 故即
设A,B则
设AB中点M则，
又点M在直线上
即解得
解法（2）：设A,B，AB中点M

又A,B在椭圆上，两式相减得
即
也即

中点M在上
由求得又必在椭圆内部
即解得
2、已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线是双曲线S的一条渐近线，而且原点O，点A（a，0）和点B（0，-b）使等式·成立.
（I）求双曲线S的方程；
（II）若双曲线S上存在两个点关于直线对称，求实数k的取值范围.
解：（I）根据题意设双曲线S的方程为
且
解方程组得
所求双曲线的方程为
解法一（设而不求法）：（II）当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线
当时，设又曲线S上的两点M、N关于直线对称，由
直线MN的方程为
则M、N两点的坐标满足方程组
消去y得
显然
即
设线段MN中点为
则
在直线
即

即
的取值范围是
解法二（点差法）：当k=0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线
当时，设
两式相减整理得

的取值范围是
招式十：存在性问题
1、设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.
因为,
所以,

,
①当时
因为所以,所以,
所以当且仅当时取”=”.
② 当时,.
③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或所以此时,
综上, |AB |的取值范围为即:
2、在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．（I）求的取值范围；（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，代入椭圆方程得．
整理得①直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，由方程①，．　　　②
又．③而．所以与共线等价于，将②③代入上式，解得．由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数．
3、设、分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.
解：易知，设P（x，y），
则， ，
，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值3；
当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大值4
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l易知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，直线l的方程为
由方程组
依题意 当时，设交点C，CD的中点为R，则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2－4，而20k2=20k2－4不成立， 所以不存在直线，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|
4、椭圆G：的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．
解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F1F2与线段B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心 故该椭圆中即椭圆方程可为，H（x,y）为椭圆上一点，则
，，则有最大值，（舍去），，∴所求椭圆方程为
（2）设，则由 两式相减得……③
又直线PQ⊥直线m ∴直线PQ方程为将点Q（）代入上式得，④
由③④得Q（），Q点必在椭圆内部，
由此得故当时，E、F两点关于点P、Q的直线对称
5、已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为
，故 ， ，
由 ，得 ，=
（Ⅱ）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。
由 （Ⅰ）知椭圆C的方程为+=6. 设
(ⅰ)
　假设上存在点P，且有成立，则，
，整理得

故 ①
将
②
于是 , =, ，
代入①解得，，此时
于是=， 即
因此， 当时，， ；
当时，， 。
（ⅱ）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。
综上，C上存在点使成立，此时的方程为.
6、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点。
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由
（I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为
故椭圆的方程为
（Ⅱ）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而
由得0
设则得，从而 即
又，由得 故
又 ，当且仅当，即时等号成立
时，线段的长度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当取最小值时，
此时的方程为
要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。
设直线，则由解得或
7、已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．
（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；
（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由条件知，，设，．
解法一：（I）设，则，，
，由得
即
于是的中点坐标为．
当不与轴垂直时，，即．
又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得
，即．
将代入上式，化简得．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
所以点的轨迹方程是．
（II）假设在轴上存在定点，使为常数．
当不与轴垂直时，设直线的方程是．
代入有．
则是上述方程的两个实根，所以，，
于是

．
因为是与无关的常数，所以，即，此时=．
当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，
此时．
故在轴上存在定点，使为常数．
8、在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．
(1)求圆的方程；
(2)试探究圆上是否存在异于原点的点，使到椭圆右焦点的距离等于线段的长．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m<0，n>0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
=2 即=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m2+n2=8 ②
联立方程①和②组成方程组解得， 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8
(2)=5，∴a2=25，则椭圆的方程为
其焦距c==4，右焦点为(4，0)，那么=4。
要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于的长度4，我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆(x─4)2+y2=8与(1)所求的圆的交点数。
通过联立两圆的方程解得x=，y=
即存在异于原点的点Q(，)，使得该点到右焦点F的距离等于的长。
9、设椭圆E: （a，b>0）过M（2，） ，N(，1)两点，O为坐标原点，
（I）求椭圆E的方程；
（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a，b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,
所以解得所以椭圆E的方程为
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,
则△=,即
,
要使,需使,即,所以,
所以又,
所以,所以,
即或,
因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，，，
所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

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