相似三角形的应用导学案.doc

27.2.2 相似三角形应用举例
学习目标：能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．
学习重点：相似三角形的实际运用
学习难点：测量无法到达物体的宽度和高度
导学过程：
一、预习检测： 测量旗杆的高度
操作：在旗杆影子的顶部立一根标杆，借助太阳光线构造相似三角形，旗杆AB的影长米，标杆高米，其影长米，求AB：
A
B

E
D
F
分析：∵太阳光线是平行的
∴∠____________＝∠____________
又∵∠____________＝∠____________＝90°
∴△____________∽△____________
∴__________________，即AB=__________
二．合作探究：
探究一：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．

探究二：.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？
D
C
OO
B
A
方案一：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

探究三：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝6cm和CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路 l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？
I
II
I
II
分析：如图，说观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，它交AB、CD于点H、K．视线FA、FG的夹角∠CFK是观察点C时的仰角．由于树的遮挡，区域I和II都在观察者看不到的区域（盲区）之内．

三．达标测评：
1．如图，某测量工作人员与标杆顶端F、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面1.6米，标杆为3.2米，且BC=1米，CD=5米，求电视塔的高ED。

2．图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在D点处的影长DE=3米，沿BD方向行走到达G点，DG=5米，这时小明的影长GH＝5米.如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度(精确到0.1米)．

A
B
D
C
E
3如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点,使得CD∥AB，若测得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m,则A、B两点间的距离为多少？

27.2.3 相似三角形的周长与面积　
学习目标：理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．利用相似三角形及相似多边形的性质解决相关的问题．
学习重点：相似三角形和多边形周长面积性质的理解和运用
学习难点：探索证明相似多边形面积的性质
导学过程：
一、预习检测：
如图，已知 ∽ ，,,,,.
（1）计算出两个三角形的周长以及周长之比。
（2）计算出两个三角形的面积以及面积之比。
（3）两个相似三角形的周长之比、面积之比、相似比之间有怎样的关系？
二．合作探究：
探究1：如图，∽ ，相似比为，它们对应边上的高之比为多少？面积之比为多少？

探究2：如图，四边形与四边形相似，相似比为，它们的面积之比为多少？

归纳 ：相似三角形对应的高的比等于
相似三角形面积的比等于
相似多边形面积的比等于
例1 如图，在和中，AB=2DE,AC=2DF,,的周长为24，面积是，求的面积与周长？

例2 如果两个三角形相似，它们的对应边上的中线之间有什么关系？写出推导过程。

三、达标测评：
1.若,则=_____________.
2.个相似三角形的一组对应边的长分别是15和23,它们周长的差是40,则这两个三角形的周长分别为( )A.75,115 B.60,100 C.85,125 D.45,85
3.一个五边形改成与它相似的五边形,如果面积扩大为原来的9倍,那么周长扩大为原来的( )A.9倍 B.3倍 C.81倍 D.18倍
4.两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．
6.如图，点D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，且DE∥BC，BD＝2AD，那么　　　． .
7.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF,∠A=∠D, △ABC的周长是24,面积是
A
B
C
D
E
F
18,求△DEF的周长和面积.

8.图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,P为AB上一点,Q为BC上一点,且PQ⊥AB,若△BPQ的面积等于四边形APQC面积的,AB=5cm,PB=2cm,求△ABC的面积.

27.3 位似-1
学习目标：了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位
似图形的性质．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形
放大或缩小．
学习重点：位似图形的定义及与相似的关系
学习难点：位似图形的准确作图，动手能力的落实
一、预习检测
图中多边形相似吗？观察下面的四个图，你发现每个图中的两个多边形各对应点的连线有什么特征？

（1）位似图形：如果两个多边形不仅 ，而且对应顶点的连线 ，对应边 或 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，这时的相似比又称为 ．
（2）掌握位似图形概念，需注意：
①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是 图形，而相似图形不一定是 图形；
②两个位似图形的位似中心只有一个；
③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于 ．
（4）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
二．合作探究：
B
C
A
O
E
F
D

探究1：如图，点O是△ABC外的一点，分别在射线OA、OB、OC上取一点D、E、F，使得,连接DE、EF、FD，所得△DEF与△ABC是否相似？证明你的结论。
探究2：把图中的四边形ABCD缩小到原来的．

四、课堂检测（当堂训练）
1、如图，以O为位似中心，将放大为原来的两倍。

.o

2.画出所给图中的位似中心．

三．达标检测：
1、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，位似中心是点O，则它们的对应点的连线一定经过____________。
2、四边形ABCD和四边形A1B1C1D1是位似图形，点O是位似中心。如果OA：OA1=1:3，那么AB：A1B1=____________
3、如果四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，且位似比为,下列说法正确的是________。①△ABC∽△EFG ②③。
4、如果正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB：FG=2：3，则下列结论正确的是( )
A、2DE=3MN B、3DE=2MN C、3∠A=2∠F D、2∠A=3∠F

27.3 位似-2

学习目标：掌握位似图形在直角坐标系下的点的坐标的变化规律，能利用直角坐标系下位似图形对应点坐标变化的规律来解决问题
学习重点：用图形坐标的变化来表示图形的位似变化
学习难点：把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标的变化规律
导学过程：
一、预习检测：
在平面直角坐标系中有两点A（6，3），B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为1:3，把线段AB缩小
方法一： 方法二：
探究：（1）在方法一中，的坐标是 ，的坐标是 ，对应点坐标之比是　　　；（2）在方法二中，的坐标是 ，的坐标是 ，对应点坐标之比是　　　
二、合作探究案：
如图，三个顶点坐标分别为，以点为位似中心，相似比为２，将放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现
位似变换后的对应点坐标为：

归纳：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；
三、达标测评：
1.如图，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1）、A（2，3）、B（4，2）．
（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺TA′∶TA=3∶1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A、B的对应点分别为A′、B′．画出△TA′B′，并写出点A′、B′的坐标；
（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标．

2.如图，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是_______
3.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比．四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？

2题图 3题图 4题图
4.如图表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，求△COD和△AOB的相似比．

5.如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（2，－2），B（4，－5），C（5，－1），以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍．

6.如图，△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（-1，-1）．
(1)把△ABC向左平移5格后得到△A1B1C1，则点B1的坐标为____________
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90o后得到△A2B2C，则点B2的坐标为___________
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，则B3的坐标是_

5题图 6题图
5