电动力学 第2章 2-1.pdf

2.1 静电场的标势及其微分方程2.1 静电场的标势及其微分方程1、标势的引入：1、标势的引入：=Drr ,0E在电荷静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分表明在电荷静止情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场部分表明静电场是无旋场静电场是无旋场以及以及自由电荷分布是电位移D的源自由电荷分布是电位移D的源。这两方程连同。这两方程连同介质的电磁性质方程介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。是解决静电问题的基础。一、静电势与电势叠加原理一、静电势与电势叠加原理由静电场的无旋性，可以引入一个由静电场的无旋性，可以引入一个标势标势来描述静电场来描述静电场)(rErr=2、静电势的物理意义：2、静电势的物理意义：图21计算一个单位正电荷从一点P计算一个单位正电荷从一点P0 0 移至另一点P时电场力对它所做 的功。假设引入的这个电荷对原有的电场分布没有影响。显 然，电场力对这单位正电荷所做的功为移至另一点P时电场力对它所做 的功。假设引入的这个电荷对原有的电场分布没有影响。显 然，电场力对这单位正电荷所做的功为)()(0000PPdddPPPPPP=llErrr即电场力对单位正电荷由P即电场力对单位正电荷由P0 0 点移到P点所做的功等于P点移到P点所做的功等于P0 0 点的静电势与P点静电势之差。表明：点的静电势与P点静电势之差。表明：电场力对电荷作做的功与电荷所经过的路径无关，仅由其始点与终点的位置决定电场力对电荷作做的功与电荷所经过的路径无关，仅由其始点与终点的位置决定这正是保守力场所具有的一种特性，因此静电场是保守场。这正是保守力场所具有的一种特性，因此静电场是保守场。另外一种数学表述形式为另外一种数学表述形式为l dEl dEBABArrrr=21需要注意的事项：需要注意的事项：1、上式只能确定两点的电势差，而不能确定电势的绝对值。只有当场中任意一点的电势值确定之后，场中所有点的电势值才能唯一地确定。3、对于电荷分布在有限空间的情况下，一般都选择无穷远的电势值为零，即，因此0=0)(0PdPlE4、用电场强度与静电势描述静电场是完全等效的。但因是标量函数，所以引进静电势对求解静电场更加方便.)(rr2、从势的定义式可以明显看出，电势函数 加上一个任意常数并不改变电场的分布，所以我们可以选择任意一点的电势值作为参考可以选择任意一点的电势值作为参考。)(rr3、电势叠加原理：3、电势叠加原理：在真空中，点电荷q的电场强度为在真空中，点电荷q的电场强度为)(144030rrErrr=rqrq所以点电荷电势所以点电荷电势rq04)(=rr若真空中有一系列点电荷q若真空中有一系列点电荷q1 1，q，q2 2，q，qn n，总电场强度为，总电场强度为)(14)(4030rrrrrrrEirrrrrrrr=iiiiiiqq所以点电荷系的电势所以点电荷系的电势=iiiiiq)(14)(0rrrrrrrr其中 为第i个点电荷单独存在时空间一点的电势其中 为第i个点电荷单独存在时空间一点的电势)(rri表明：表明：点电荷系的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时的电场在该点电势的代数和点电荷系的电场中某点的电势，等于各点电荷单独存在时的电场在该点电势的代数和，这就是，这就是电势叠加原理 电势叠加原理，它是电场叠加原理的直接结果。只要给定电荷分布，原则上可以求得电势分布。但有时电荷分布并非完全已知，因此求解静电势问题还需进一步讨论，它是电场叠加原理的直接结果。只要给定电荷分布，原则上可以求得电势分布。但有时电荷分布并非完全已知，因此求解静电势问题还需进一步讨论注意：注意：上面的推导实际上是选取无穷远处为电位参考点。上面的推导实际上是选取无穷远处为电位参考点。)(41)(0dVV=rrrrrrrr连续的电荷分布总可看成点电荷系，因此连续的电荷分布总可看成点电荷系，因此二、泊松方程和边值关系二、泊松方程和边值关系1、泊松方程：1、泊松方程：静电场可以用一标量函数的梯度来表示，这只反映了它的一部分规律，而它的另一部分规律，则由高斯定理的微分形式决定静电场可以用一标量函数的梯度来表示，这只反映了它的一部分规律，而它的另一部分规律，则由高斯定理的微分形式决定=Dr在均匀各向同性介质中在均匀各向同性介质中EDrr=代入 得到代入 得到)(rE=r=2其中为自由电荷密度。此式称为其中为自由电荷密度。此式称为泊松(Poisson)方程泊松(Poisson)方程。如果在区域中不存在电荷，方程变为如果在区域中不存在电荷，方程变为02=此式称为此式称为拉普拉斯（Laplace）方程拉普拉斯（Laplace）方程。因此，引入静电势后，就把求解静电场的问题归结为求解静电势所满足的偏微分方程问题。因此，引入静电势后，就把求解静电场的问题归结为求解静电势所满足的偏微分方程问题。/2=2、电势的边值关系：2、电势的边值关系：由场的边值关系 及 和由场的边值关系 及 和所满足的边值关系之一所满足的边值关系之一=)(12DDnED=E=nn1122的另一边值关系可直接由 得到的另一边值关系可直接由 得到)()(00PPdPP=lE21=这是因为分界面上E有限，而且分界面两边的l和2两点又无限接近，所以式 的积分趋于零。说明，电势在分界面处是连续的这是因为分界面上E有限，而且分界面两边的l和2两点又无限接近，所以式 的积分趋于零。说明，电势在分界面处是连续的21PPdlE=nn1122212求得后，再利用，求得电场E，从而决定了整个电 场的分布用这种方法求解电场分布的简单之处是求得后，再利用，求得电场E，从而决定了整个电 场的分布用这种方法求解电场分布的简单之处是只有一个分量，而不像E有三个分量，因此只需解所适合的一个微分方程只有一个分量，而不像E有三个分量因此只需解所适合的一个微分方程=E引进电势引进电势之后，我们就由下列方程组及边值关系决定之后，我们就由下列方程组及边值关系决定但是需要进一步讨论的是，这种方法决定的电场但是需要进一步讨论的是，这种方法决定的电场是不是唯一的是不是唯一的？3、导体表面上的边值关系3、导体表面上的边值关系在静电问题中，常常有一些导体存在，由于导体的特殊性质，在导体表面上的边值关系有它自己的特点在静电问题中，常常有一些导体存在，由于导体的特殊性质，在导体表面上的边值关系有它自己的特点导体的静止条件归结为：导体的静止条件归结为：(1)导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；(2)导体内部电场为零；(3)导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体为等势体(1)导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上；(2)导体内部电场为零；(3)导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面，整个导体为等势体常数=n设导体表面所带电荷面密度为，它外面的介质电容率为设导体表面所带电荷面密度为，它外面的介质电容率为，在导体静电条件下得导体表面的边界条件，在导体静电条件下得导体表面的边界条件三、静电场能量三、静电场能量在线性介质中静电场的总能量为在线性介质中静电场的总能量为=dVWDE21在静电倩形下，W可以用电势和电荷分布表出利用和得到在静电倩形下，W可以用电势和电荷分布表出利用和得到=Er=Dr因此有因此有右边第二项是散度的体积分，可以化为面积分右边第二项是散度的体积分，可以化为面积分面积分遍及无穷远界面，而1/r，D1/r面积分遍及无穷远界面，而1/r，D1/r2 2，而面积r，而面积r2 2,所以当r时面积分趋近于零，因此,所以当r时面积分趋近于零，因此这公式是通过电荷分布和电势表示出来的静电场总能量这公式是通过电荷分布和电势表示出来的静电场总能量需要注意的是需要注意的是：这个公式只有作为：这个公式只有作为静电场总能量静电场总能量才有意义，不能把/2看作是能量密度，这是由于能量是分布于电场内，而不仅仅是在电荷分布区域内。上式中的是由电荷分布激发的电势若全空间充满均匀介质，介电常数为，可以得到电荷分布所激发的电场总能量为才有意义，不能把/2看作是能量密度，这是由于能量是分布于电场内，而不仅仅是在电荷分布区域内。上式中的是由电荷分布激发的电势若全空间充满均匀介质，介电常数为，可以得到电荷分布所激发的电场总能量为式中r为x与x点的距离式中r为x与x点的距离|xxrrr=需要说明的是：需要说明的是：对于静电场，上面计算能量的公式成立，因为在这种情况下，电荷分布完全决定场分布。而对于一般的情况，例如时变场，电磁场可以相互激发，场不完全由电荷分布确定，因此只能用场强的表达形式计算，而不能用电荷分布计算。对于静电场，上面计算能量的公式成立，因为在这种情况下，电荷分布完全决定场分布。而对于一般的情况，例如时变场，电磁场可以相互激发，场不完全由电荷分布确定，因此只能用场强的表达形式计算，而不能用电荷分布计算。例1 求均匀电场E例1 求均匀电场E0 0 中的电势大小分布。中的电势大小分布。例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势。例2 均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为，求电势。例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。例3 求带电量Q、半径为a的导体球的静电场总能量。