菱形矩形正方形复习课.doc

九上第一章《菱形、矩形、正方形复习课》教学设计 设计教师：李美英 - 7 -
课题
第一章 特殊平行四边形
菱形、矩形、正方形复习课
课型
复习课
教法
讲练结合
教学目标
1. 掌握菱形、矩形、正方形的概念，了解它们之间的关系；
2. 掌握菱形、矩形、正方形的有关性质和常用的判定方法；
3. 进一步掌握综合法的证明方法，能够证明与菱形、矩形、正方形等有关的性质定理及判定定理，并能用性质定理及判定定理证明一些重要结论；
4.能够灵活运用菱形、矩形、正方形的有关性质和常用的判定方法解决相关证明及相关计算；
5.体会在证明过程中，所运用的归纳、转化等数学思想方法．
教学重点
菱形、矩形、正方形的概念及其性质及性质的应用
教学难点
数学思想方法的体会及其运用
教学过程
学习目标:
1. 掌握菱形、矩形、正方形的概念，了解它们之间的关系；
2. 掌握菱形、矩形、正方形的有关性质和常用的判定方法；
3. 进一步掌握综合法的证明方法，能够证明与菱形、矩形、正方形等有关的性质定理及判定定理，并能用性质定理及判定定理证明一些重要结论；
4.能够灵活运用菱形、矩形、正方形的有关性质和常用的判定方法解决相关证明及相关计算；
5.体会在证明过程中，所运用的归纳、转化等数学思想方法．
重点:菱形、矩形、正方形的概念及其性质及性质的应用
难点:数学思想方法的体会及其运用
知识结构：

包含关系：

一.【知识梳理】
1.菱形：
（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
（2）性质：①菱形的四条边都相等．
②菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角．
③菱形是轴对称图形，有两条对称轴。菱形也是中心对称图形.
（3）判定：①一组邻边相等的平行四边形是菱形．
②四条边都相等的四边形是菱形．
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(或对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)
菱形性质及简单应用举例：如图1,在菱形ABCD中, ①AB= = = ; AC⊥ ;
图1
②S= AC × =2S△ADC = 4×
S△ADC= = =
③若∠ABC=60°,AB=a则AC= ;BD= ;S△ABC = ; S菱形ABCD = ;
2.矩形：
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
（2）性质:①矩形的四个角都是直角．
②矩形的对角线相等且互相平分．由此得到的重要定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
③矩形是轴对称图形,有两条对称轴,矩形是中心对称图形.
（3）判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．
②有三个角是直角的四边形是矩形．
图2-1
③对角线相等的平行四边形是矩形．(或对角线相等且互相平分的四边形是矩形)
矩形性质及简单应用举例：如图2-1, 在矩形ABCD中, ①∠A=∠B= = =90°
图2-2
②AC= ；OA=OB=OC=OD； ③在RT△ABC中,OB =AC;
在RT△ADC中,OD= ; 在RT△BAD中,OA= ;
④若∠AOB=60°，AB=a，则∠ACB = ；
AC= ；S矩形ABCD = ;
⑤如图2-2,过点A作AH⊥BD, 垂足为H,若AB=3,AD=4,则AH = .
3.正方形：
（1）定义:有一个角是直角的菱形是正方形;有一组邻边相等的矩形是正方形;
（2）性质: ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角.
②正方形的两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角．
③正方形是轴对称图形,有四条对称轴.也是中心对称图形.
（3）判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形．
②有一个角是直角的菱形是正方形．
③对角线相等的菱形是正方形．
④对角线互相垂直的矩形是正方形．
⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
正方形性质及简单应用举例：
如图3, ①若AB=a则AC=BD= ; S正方形ABCD = ; S△ABC = ; S△AOD = .
②在AB上任取一点P,过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,则PE+PF的值为 .
图3
4.判定举例：中点四边形问题
(1)顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是 ;
(2)顺次连接平行四边形各边中点所得到的四边形一定是 ;
(3)顺次连接菱形各边中点所得到的四边形一定是 ;
(4)顺次连接矩形各边中点所得到的四边形一定是 ;
(5)顺次连接正方形各边中点所得到的四边形一定是 ;
规律:顺次连接各类特殊四边形各边中点所得到的四边形的形状主要取决于两条对角线的关系.
巩固练习：①在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是四边形、平行四边形、菱形、矩形、正方形各边的中点，则下列各图中四边形EFGH的形状依次分别是 ； ； ； ；
②若所得四边形EFGH为矩形，则AC⊥BD； 若所得四边形EFGH为菱形，则 ；
规律:顺次连接各类特殊四边形各边中点所得到的四边形的形状主要取决于 .

二 .【常见模型及综合应用举例】
1．如图(1)，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点D作DP∥OC，且 DP=OC，连结CP.
(1)试判断四边形CODP的形状;
(2)如果题目中的矩形ABCD变为菱形(图（2）)，(1)中结论是否还成立？请说明理由;
图(1)
图(2)
图(3)
(3)如果题目中的矩形变为正方形(图（3）)呢?请说明理由.

学生板演示范(1) (2)
引导学生进行规律小结：
2．（备用）如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.
(1)试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论。
(2)当AB绕点B旋转到何种位置时(与MN的夹角是多少时),四边形将变为正方形?请说明理由.
解:(1) 四边形ACBD的形状是矩形.理由如下:
∵CD∥MN
∴∠OCB=∠CBM
∵BC平分角∠ABM
∴∠OBC=∠CBM
∴∠OCB=∠OBC
∴OC=OB
同理可证：OB=OD ∴OA=OB=OC=OD ∴AB=CD
∴四边形ACBD是矩形（对角线相等的四边形是矩形）
(2) 当AB绕点B旋转到AB⊥MN时四边形将变为正方形.理由如下:
∵CD∥MN AB⊥MN ∴AB⊥CD
由(1)得OA=OB=OC=OD AB=CD
∴此时四边形ADBC是正方形.
小结::因为已知条件有点O是AB的中点,又有角做条件去证明O也是CD的中点,故得对角线互相平分,再通过一个直角即可证得.第二问是开放题,我们的目标是要得到对角线互相垂直,所以需要具备AB⊥MN这个条件.
三 .【巩固练习】
1.下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形; B．菱形的一条对角线平分一组对角
C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形; D．矩形的两条对角线相等
第2题图书1
2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED’=60°，则∠AED的大小是（ ）
A．60° B．50° C．75° D．55°
3.正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ）
第4题图书1
A． B. C. D.
4. 如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A′B′C′O与正
方形ABCD的边长相等..那么正方形A′B′C′O绕点O在旋转的过程
中，两个正方形重叠部分的面积有什么关系?请证明你的结论.

5.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动,
动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动,点P和点Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts,则当t为何值时,四边形APQD是矩形?

四.【中考链接】
(2016德州第23题)我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PAPB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）

引导学生进行规律小结。
五.【课堂检测】
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
2.一个菱形的两条对角线的长分别是4cm和8cm,它的边长是（ ）
A．5 B． C．20 D． 2
3. 如果菱形的边长是a，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A． a B．a C．a D．a
4. 一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠。（1）重合部分是什么图形？试说明理由。
（2）若AB=3，BC=4，求AF的长。

六.【拓展延伸】
如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论： ①四边形CFHE是菱形；
②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；
④当点H与点A重合时，EF=． 以上结论中，你认为正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
七．【课后小结】
1. 基本知识点的回顾；
2. 常见模型及综合应用举例；
3. 考点训练及方法规律小结；
4．中考链接与拓展延伸.
课后作业:分层做章节复习题.