第1章教材习题解答.doc

第1章 质点运动学1.1 一质点沿直线运动，运动方程为x(t) = 6t2 - 2t3试求：（1）第2s内的位移和平均速度；（2）1s末及2s末的瞬时速度，第2s内的路程；（3）1s末的瞬时加速度和第2s内的平均加速度解：（1）质点在第1s末的位移大小为x(1) = 612 - 213 = 4(m)在第2s末的位移大小为x(2) = 622 - 223 = 8(m)在第2s内的位移大小为x = x(2) x(1) = 4(m)，经过的时间为t = 1s，所以平均速度大小为=x/t = 4(ms-1)（2）质点的瞬时速度大小为v(t) = dx/dt = 12t - 6t2，因此v(1) = 121 - 612 = 6(ms-1)，v(2) = 122 - 622 = 0，质点在第2s内的路程等于其位移的大小，即s = x = 4m（3）质点的瞬时加速度大小为a(t) = dv/dt = 12 - 12t，因此1s末的瞬时加速度为a(1) = 12 - 121 = 0，第2s内的平均加速度为= v(2) - v(1)/t = 0 6/1 = -6(ms-2)注意第几秒内的平均速度和平均加速度的时间间隔都是1秒1.2 一质点作匀加速直线运动，在t = 10s内走过路程s = 30m，而其速度增为n = 5倍试证加速度为并由上述数据求出量值证：依题意得vt = nvo，根据速度公式vt = vo + at，得a = (n 1)vo/t - (1)根据速度与位移的关系式 vt2 = vo2 + 2as， 得a = (n2 1)vo2/2s - (2)(1平方之后除以 (2)式证得计算得加速度为= 0.4(ms-2)70m22.5图1.31.3 一人乘摩托车跳越一个大矿坑，他以与水平成22.5的夹角的初速度65ms-1从西边起跳，准确地落在坑的东边已知东边比西边低70m，忽略空气阻力，且取g = 10ms-2问：（1）矿坑有多宽？他飞越的时间多长？（2）他在东边落地时的速度？速度与水平面的夹角？解：方法一：分步法（1）夹角用表示，人和车（他）在竖直方向首先做竖直上抛运动，初速度的大小为vy0 = v0sin = 24.87(ms-1)取向上的方向为正，根据匀变速直线运动的速度公式vt - v0 = at，这里的v0就是vy0，a = -g；当他达到最高点时，vt = 0，所以上升到最高点的时间为t1 = vy0/g = 2.49(s)再根据匀变速直线运动的速度和位移的关系式vt2 - v02 = 2as，可得上升的最大高度为h1 = vy02/2g = 30.94(m)他从最高点开始再做自由落体运动，下落的高度为h2 = h1 + h = 100.94(m)根据自由落体运动公式s = gt2/2，得下落的时间为= 4.49(s)因此他飞越的时间为t = t1 + t2 = 6.98(s)他飞越的水平速度为vx0 = v0cos = 60.05(ms-1)，所以矿坑的宽度为x = vx0t = 419.19(m)（2）根据自由落体速度公式可得他落地的竖直速度大小为vy = gt = 69.8(ms-1)，落地速度为v = (vx2 + vy2)1/2 = 92.08(ms-1)，与水平方向的夹角为 = arctan(vy/vx) = 49.30，方向斜向下方法二：一步法取向上的方向为正，他在竖直方向的位移为y = vy0t - gt2/2，移项得时间的一元二次方程，解得 这里y = -70m，根号项就是他落地时在竖直方向的速度大小，由于时间应该取正值，所以公式取正根，计算时间为t = 6.98(s)由此可以求解其他问题1.4 一个正在沿直线行驶的汽船，关闭发动机后，由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度，即dv/dt = -kv2，k为常数（1）试证在关闭发动机后，船在t时刻的速度大小为；（2）试证在时间t内，船行驶的距离为证：（1）分离变量得， 积分 ， 可得 （2）公式可化为，由于v = dx/dt，所以 积分 因此 证毕讨论 当力是速度的函数时，即f = f(v)，根据牛顿第二定律得f = ma由于a = d2x/dt2，而 dx/dt = v，所以 a = dv/dt，分离变量得方程 ，解方程即可求解在本题中，k已经包括了质点的质量如果阻力与速度反向、大小与船速的n次方成正比，则dv/dt = -kvn（1）如果n = 1，则得 ，积分得lnv = -kt + C当t = 0时，v = v0，所以C = lnv0，因此lnv/v0 = -kt，得速度为 v = v0e-kt而dv = v0e-ktdt，积分得当t = 0时，x = 0，所以C = v0/k，因此 （2）如果n1，则得，积分得当t = 0时，v = v0，所以，因此如果n = 2，就是本题的结果如果n2，可得，读者不妨自证1.5 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置（以弧度表示）可用公式表示： = 2 + 4t3求：（1）t = 2s时，它的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，为何值？（3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？解：（1）角速度为 = d/dt = 12t2 = 48(rads-1)，法向加速度为 an = r2 = 230.4(ms-2)；角加速度为 = d/dt = 24t = 48(rads-2)，切向加速度为 at = r = 4.8(ms-2)（2）总加速度为a = (at2 + an2)1/2，当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，即由此得，即 ， 解得 所以 =3.154(rad)（3）当at = an时，可得r = r2，即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)1.6 一飞机在铅直面内飞行，某时刻飞机的速度为v = 300ms-1，方向与水平线夹角为30而斜向下，此后飞机的加速度为a = 20ms-2，方向与水平前进方向夹角为30而斜向上，问多长时间后，飞机又回到原来的高度？在此期间飞机在水平方向飞行的距离为多少？解：建立水平和垂直坐标系，飞机的初速度的大小为v0x = v0cos，v0y = v0sinyxOv0aaxayv0xv0y加速度的大小为ax = acos，ay = asin 运动方程为，即 ， 令y = 0，解得飞机回到原来高度时的时间为t = 0（舍去）；(s)将t代入x的方程求得x = 9000m注意选择不同的坐标系，例如x方向沿着a的方向或者沿着v0的方向，也能求出相同的结果RA图1.71.7 一个半径为R = 1.0m的轻圆盘，可以绕一水平轴自由转动一根轻绳绕在盘子的边缘，其自由端拴一物体A在重力作用下，物体A从静止开始匀加速地下降，在t = 2.0s内下降的距离h = 0.4m求物体开始下降后3s末，圆盘边缘上任一点的切向加速度与法向加速度解：圆盘边缘的切向加速度大小等于物体A下落加速度由于，所以at = 2h/t2 = 0.2(ms-2)物体下降3s末的速度为v = att = 0.6(ms-1)，这也是边缘的线速度，因此法向加速度为= 0.36(ms-2)1.8 一升降机以加速度1.22ms-2上升，当上升速度为2.44ms-1时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74m计算：（1）螺帽从天花板落到底面所需的时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离解：在螺帽从天花板落到底面时，升降机上升的高度为；螺帽做竖直上抛运动，位移为由题意得h = h1 - h2，所以，解得时间为= 0.705(s)算得h2 = -0.716m，即螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离为0.716m注意以升降机为参考系，钉子下落时相对加速度为a + g，而初速度为零，可列方程h = (a + g)t2/2，由此可计算钉子落下的时间，进而计算下降距离1.9 有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处已知气流相对于地面的速度为u，AB之间的距离为l，飞机相对于空气的速率v保持不变（1）如果u = 0（空气静止），试证来回飞行的时间为；（2）如果气流的速度向东，证明来回飞行的总时间为；（3）如果气流的速度向北，证明来回飞行的总时间为ABABvv + uv - uABvuuvv证：（1）飞机飞行来回的速率为v，路程为2l，所以飞行时间为t0 = 2l/v（2）飞机向东飞行顺风的速率为v + u，向西飞行逆风的速率为v - u，所以飞行时间为 （3）飞机相对地的速度等于相对风的速度加风相对地的速度为了使飞机沿着AB之间的直线飞行，就要使其相对地的速度偏向北方，可作矢量三角形，其中沿AB方向的速度大小为，所以飞行时间为 证毕v1hlv2图1.101.10 如图所示，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为，偏向于汽车前进方向，速度为v2今在车后放一长方形物体，问车速v1为多大时此物体刚好不会被雨水淋湿？解：雨对地的速度等于雨对车的速度加车对地的速度，由此可作矢量三角形根据题意得tan = l/h方法一：利用直角三角形根据直角三角形得v1hlv2v3vv1 = v2sin + v3sin，其中v3 = v/cos，而v = v2cos，因此v1 = v2sin + v2cossin/cos，即 证毕方法二：利用正弦定理根据正弦定理可得，所以，即 方法三：利用位移关系将雨滴的速度分解为竖直和水平两个分量，在t时间内，雨滴的位移为l = (v1 v2sin)t，h = v2cost两式消去时间t即得所求 证毕5