立体几何典型题答案卷.doc

立体几何
1.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B.64π C.144π D.256π
【答案】C
【考点定位】外接球表面积和椎体的体积．

2、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？
若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【解】⑴∵面面
面面
∵，面
∴面
∵面
∴

又
∴面
⑵取中点为，连结，
∵ ∴
∵ ∴
以为原点，如图建系
易知，，，，
则，，，
设为面的法向量，令
，则与面夹角有

⑶假设存在点使得面,，
由（2）知，，，，
有,
∵面，为的法向量
∴ 即
∴∴综上，存在点，即当时，点即为所求.
3. 【2014全国2第18题】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，
求三棱锥E-ACD的体积.
【答案】
试题解析：（Ⅰ）证明：设O为AC与BD交点，连结OE，则由矩形ABCD知：O为BD的中点，因为E是BD的中点，所以OE∥PB，因为OE面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。
（Ⅱ）以A为原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=m，则
是平面AED的一个法向量，设是平面AEC的法向量，则

4.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，
∴，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. ……6分

（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F（－1,0，），C（0，，0），
∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分[来源:学&科&网
]故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. ……12分
5.【2015南理】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且
底面，点，分别在棱，BC上.
（1）若P是的中点，证明：；
（2）若平面，二面角的余弦值为，
求四面体的体积.
【解析】
试题解析：解法一 由题设知，，，两两垂直，
以为坐标原点，，，所在直∴，而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍去），此时，
设，而，由此得点，
，∵平面，且平面的一个法向量是，
∴，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.
6．如图，已知长方形中，，，为的中点.将沿折起，使得平面平面.

（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为.
试题分析：对问题（1）要证线线垂直，可以先证明线面垂直，进而可得线线垂直；对问题（2），可以通过建立空间直角坐标系，用向量的方法确定点位置.
试题解析：（1）证明：∵长方形中，，，为的中点，∴，∴.
∵平面平面，交线为，且平面，所以平面，
∵平面，∴；
（2）建立如图所示的直角坐标系：

设，则平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，
，取，得，，所以，因为，求得，所以为的中点.
7.在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，
点分别在线段
上，且.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
解：
1）取线段中点，连接．
在正方形中，，
在和中，，
又，所以，
∴，
从而，
所以，即 2分
又，
所以面．
面，
∴ 4分
在等腰三角形中，，又与相交，知
∴面，
面，∴面面 6分

（2）
在等腰三角形中，由知，且，
记线段中点为，连接，由（1）知，两两互相垂直，
以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则
8分
设平面的法向量为，则，即
，
取，则，从而得到平面的一个法向量 10分
，记直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为 12分
8．在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，面，，，，，且是的中点.
（1）求证: 平面；
（2）求二面角的大小.
试题解析：
因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得,
（1）,
设平面的一个法向量是，
由，得，
令，则.
又因为
所以，又平面，所以平面.
（2）由（1）可知平面的一个法向量是，
因为平面，所以，又因为，所以平面.
故是平面的一个法向量.
所以，又二面角为锐角，
故二面角的大小为.