概率论大题.doc

1．一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。
解：设事件表示第次取得合格品（）,按题意，即指第一次取得次品，第二次取得次品，第三次取得合格品，也就是事件，易知
，
由此得到所求的概率

2． 有10个袋子，各袋中装球的情况如下：（1）2个袋子中各装有2个白球与4个黑球；（2）3个袋子中各装有3个白球与3个黑球；（3）5个袋子中各装有4个白球与2个黑球。任选一个袋子并从中任取2个球，求取出的2个球都是白球的概率。
解：设事件A表示取出的2个球都是白球，事件表示所选袋子中装球的情况属于第种（），易知

于是，按全概率公式得所求的概率

3．临床诊断记录表明，利用某种试验检查癌症具有如下效果：对癌症患者进行试验结果呈阳性反应者占95%，对非癌症患者进行试验结果呈阴性反应者占96%，现用这种试验对某市居民进行癌症普查，如果该市癌症患者数约占居民总数的千分之四，求：（1）试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的概率。（2）试验结果呈阴性反应确实未患癌症的概率。解：设事件A是试验结果呈阳性反应，事件B是被检查者患有癌症，则按题意有
.
由此可知

于是，按贝叶斯公式得

这表面试验结果呈阳性反应的被检查者确实患有癌症的可能性并不大，还需要通过进一步检查才能确诊。

这表面试验结果呈阴性反应的被检查者未患有癌症的可能性极大。
4．在桥牌比赛中，把52张牌任意地分发给东、南、西、北四家，求北家的13张牌中：
（1）恰有A、K、Q、J各一张，其余全为小牌的概率。（2）四张牌A全在北家的概率。
解：设事件A表示“北家的13张牌中恰有A、KQ、J各一张，其余为小牌”，事件B表示“四张A全在北家”，则有
基本事件总数
事件A所含的基本事件数为
事件B所含的基本事件数
故所求的概率为

5．在桥牌比赛中，把52张牌任意地分发给东、南、西、北四家，已知定约方共有9张黑桃主牌的条件下，其余4张黑桃在防守方手中各种分配的概率。（1）“2—2”分配的概率。（2）“1—3”或 “3—1” 分配的概率。 （3）“0—4” 或“4—0” 分配的概率。
解：设事件A表示“2—2”分配，B表示“1—3”或“3—1”分配，C表示“4—0”或 “0—4”分配，则

6．某课必须通过上机考试和笔试两种考试才能结业，某生通过上机考试和笔试的概率均为0.8，至少通过一种测试的概率为0.95，问该生该课结业的概率有多大？
解：设，分别表示该生通过上机考试和笔试，B表示该生该课结业，则有
，
故所求的概率为

= 0.8 + 0.8 - 0.95
= 0.65
7．从1~1000这1000个数中随机地取一个数，问：取到的数不能被6或8整除的概率是多少？

解：设A表示“取到的这个数不能被6或8整除”，B表示“取到的这个数能被6整除”，C表示“取到的这个数能被8整除”，则

8．一小餐厅有3张桌子，现有5位客人要就餐，假定客人选哪张桌子是随机的，求每张桌子至少有一位客人的概率。
解：设A表示“每张桌子至少有一位客人”，表示“第张桌子没有客人”，则

9． 甲、乙两人轮流射击，先命中者获胜，已知他们的命中率分别为0.3，0.4，甲先射，求每人获胜的概率。
解：设A表示“甲获胜”， 表示“经过轮射击后甲获胜”， ，则

故

10．甲、乙、丙三机床所生产的螺丝钉分别占总产量的25%，35%，40%，而废品率分别为5%，4%，2%，从生产的全部螺丝钉中任取一个恰是废品，求：它是甲机床生产的概率
解：设分别表示取出的产品是甲、乙、丙机床生产的，B表示取出的产品是废品，则是一完备事件组且

故所求的概率为

11．三个学生证放在一起，现将其任意发给这三名学生，求：没人拿到自己的学生证的概率。
解：设某事件A表示“没人拿到自己的学生证”，则基本事件总数

A所含的基本事件数为
故所求的概率为
12．设10件产品中有4个不合格品，从中取2件产品，求：（1）所取的2件产品中至少有一件不合格品的概率。（2）已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不解：设A表示“所取的2件产品中至少有一件不合格品”，B表示“所取的2件产品中有一件是不合格品的条件下，另一件也是不合格品”，C表示“所取的2件产品都是不合格品”，则
（1）
（2）

合格品的概率。
13．10个考签有4个难签，3人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后，求：（1）丙抽到难签的概率。（2）甲、乙、丙都抽到难签的概率。
解：设A、B 、C分别表示甲、乙、丙抽到难签，则
（1）所求的概率为

（2）所求的概率为

14．甲、乙两人射击，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，两人同时射击，并假定中靶与否是独立的，求：（1）两人都中的概率。（2）至少有一人击中的概率。
解：设A、B分别表示甲、乙击中目标，则P（A）= 0.8， P（B）= 0.7
（1）两人都中的概率为

（2）至少有一人击中的概率为

15．袋中装有3个黑球、5个白球、2个红球，随机地取出一个，将球放回后，再放入一个与取出颜色相同的球，第二次再在袋中任取一球，求：（1）第一次抽得黑球的概率；（2）第二次抽得黑球的概率。
解：设A表示第一次抽到黑球， B表示第二次抽到黑球，则有
（1）所求的概率为

（2）根据条件概率公式及全概率公式可得

16．试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择，其中只有一个是正确的，任一考生如果会解这道题，则一定能选取正确答案；如果他不会解这道题，则不妨任选一个答案。设考生会解这道题的概率为0.8，求：（1）考生选出正确答案的概率；（2）已知某考生所选答案是正确的，则他确实会解这道题的概率。
解：设A表示考生会解这道题， B表示考生选出正确答案，则有
（1）根据全概率公式可得

（2）根据条件概率公式可得

17．在箱中装有10个产品，其中有3个次品，从这箱产品任意抽取5个产品，求下列事件的概率： (1)恰有1件次品； (2)没有次品
解：设A表示抽取5个产品中恰有1件次品， B表示抽取5个产品中没有次品，则有
基本事件总数
事件A所含的基本事件数为
事件B所含的基本事件数为
故所求的概率为

18．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“ ”和信号“”，由于通讯系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台未必收到信号“”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“”和“”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“”和信号“”，求：(1)收报台收到信号“”的概率；(2)当收报台收到信号“”时，发报台是发出信号“”的概率。
解：设A表示发报台发出信号“ ”， B表示收报台收到信号“”，则有

（1）根据全概率公式可得

（2）根据条件概率公式可得

19． 三人独立破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为. 求：（1）三人中至少有一人能将此密码译出的概率；（2）三人都将此密码译出的概率。解：设表示第i人能破译密码（i=1,2,3.）,则有

（1）三人中至少有一人能将此密码译出的概率为
（1）三人中至少有一人能将此密码译出的概率为（法二）

（2）三人都将此密码译出的概率

20. 厂仓库中存放有规格相同的产品，其中甲车间生产的占 70％，乙车间生产的占 30％。甲车间生产的产品的次品率为 1/10 ，乙车间生产的产品的次品率为 2/15 。现从这些产品中任取一件进行检验，求： （ 1 ）取出的这件产品是次品的概率；（ 2 ）若取出的是次品，该次品是甲车间生产的概率。解：设A表示取出的这件产品是甲车间生产， B表示取出的这件产品是次品，则有

（1）根据全概率公式可得

2）根据条件概率公式可得

1．设连续随机变量X的概率密度为，，求：（1）常数A的值；（2）X落在区间[0，1]内的概率；（3）随机变量X的分布函数。
解：（1）由 得

（2）所求的概率为

（3）由 得

2．若随机变量X在区间[0，2]上服从均匀分布，求：（1）X的概率密度；（2）X的分布函数。
解：（1）由题设X的概率密度为

再由 得

（2）根据 得
① 当 时，
② 当时，
③ 当时，有
综上所述，得
3．设随机变量X的概率密度为 ，
求：（1）系数A；（2）X落在区间内的概率；（3）X的分布函数。
解：（1根据得

（2）所求的概率为

（3）根据 得
① 当时，

② 当时，

③ 当时，

综上所述，得
4．设随机变量X的概率密度为，，求：（1）系数A；（2）X落在区间（0，1）内的概率；（3）X的分布函数。
解：（1）根据 得

（2）所求的概率为

（3）根据得
① 当 时

② 当 时

综上所述，得

5．设随机变量X在上服从均匀分布，即概率密度为，
求：（1）随机变函数的概率密度；（2）X的分布函数。
解：对于任意的实数y, 我们有

因为随机变量X的取值区间是[0，]，所以随机变量Y的取值区间是[0，1]，易知：
（1） 当时，
（2） 当时，
（3） 当时，

所以，随机变量Y的分布函数

上式两边对y求导，得Y的概率密度为

6．设随机变量X的概率密度为 ，
求：（1）X的分布函数。（2）的概率密度。
解：（1）根据 得
① 当 时，
② 当时，
③ 当时，
综上所述，得

（2）由于X的可能取值区间为[0，1]，故的可能取值区间为[0，1]， 的分布函数为

① 当时，

② 当时，

③ 当时，
，故
综上所述，得

故的概率密度为

7．设连续随机变量X的分布函数，
求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（-1，1）内的概率；（3）X的概率密度。
解：（1）由

解之得 ，

（2）所求的概率为

（3）
8．设随机变量X的分布函数为
求：（1）系数A及B；（2）X落在区间（0，1）内的概率；（3）X的概率密度。
解：（1）由

解之得

（2）所求的概率为

（3）
9．设随机变量X的分布函数为
求：（1）系数A的值。（2）X的概率密度函数。
解：（1）由的连续性有

得 A = 1

（2）
10．设X在区间[2，6]上服从均匀分布，现对X进行3次独立观测，，用Y表示观测值大于3的次数，求：（1）Y的概率密度分布；（2）。
解：（1）由题设X的概率密度为

从而
由于Y表示观测值大于3的次数，故Y服从参数为 的二项分布，即， Y的概率分布为

（2）故所求的概率为

11．袋中有2个白球与3个黑球，每次从其中任取1个球后不放回，直到取得白球为止，求：（1）取球次数X的概率分布；（2）X的分布函数。
解：（1）设随机变量X是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回去，所以X的可能值是1，2，3，4. 易知

因此，所求的概率分布为：
X
1
2
3
4
P（xi）
0.4
0.3
0.2
0.1

（2根据 得

12．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现有4颗子弹，求命中后尚余子弹数X的概率分布及分布函数。
解：（1）X的可能值是0，1，2，3. 易知

因此，所求的概率分布为
X
0
1
2
3
P（xi）
0.064
0.096
0.24
0.6
（2）根据 得

13．从五个数1，2，3，4，5中任取3个数，求：（1）的概率分布；（2）。
解：（1）X的可能值是3，4，5. 易知

因此，所求的概率分布为
X
3
4
5
P（xi）
0.1
0.3
0.6
（2）故所求的概率为

14．直线上一质点从原点开始作随机游动，每单位时间可以向左或向右移动一步，向左的概率为p，向右的概率为q=1-p，每步保持定长L，求：（1）三步后质点位置X的概率分布；（2）。
解：（1）X的可能值是. 易知

因此，所求的概率分布为
X

2）故所求的概率为

15．对某一目标进行射击，直到击中为止，如果每次射击命中率为p，求：（1）射击次数X的概率分布；（2）X的分布函数。
解：1）X的可能值是. 易知

这就是X的概率函数。
（2）根据 得
① 当 时，
② 当时

综上所述，得

16．设随机变量,即X的概率函数为

求：（1）为何值时，最大；（2）最大值是多少。
解：已知X的概率密度函数为

考虑比值

由此可知
① 当时，上式右端大于1，有

即概率函数单调增加
② 当时，上式右端小于1，有

即概率函数单调下降
所以有
（1） 如果不是整数，设是的整数部分，则为最大值。
（2） 如果是整数，设，则都是最大值。
17．设随机变量，即X的概率函数为

求：（1）为何值时，最大；（2）最大值是多少。
解：已知X的概率密度函数为

考虑比值

由此可知
① 当时，上式右端大于1，有

② 当时，上式右端小于1，有

所以有
（1）如果不是整数，设是的整数部分，则为最大值。
（2）如果是整数，设，则都是最大值。
（3）当时，时取得最大值。

18．设随机变量X的概率分布为
X
-2
-1
0
1
2
3

0.1
0.2
0.25
0.2
0.15
0.1

求：（1）X的分布函数；（2）的概率分布。
解：（1） 根据，可得X的分布函数为

（2）的可能取值为0，1，4，9，相应的概率为

故，的概率分布为
Y
0
1
4
9
P
0.25
0.4
0.25
0.1
19．设随机变量X的概率函数为 ，
求：的概率分布。
解：因为

所以，函数只有三个可能值：-1，0，1；而取得这些值的概率分别是

于是得到Y的概率分布为
Y
-1
0
1
P(y)
2/15
1/3
8/15

20．若随机变量X ~ B（3，0.4），即X的概率分布为
求：（1）X的分布函数；（2）的概率分布。
解：由题设X的概率分布函数为
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064

（1） 根据 得

（2）的可能取值为0，1相应的概率为

于是得到Y的概率分布为
Y
0
1
P(y)
0.28
0.72

1．已知10件产品中有3件一等品，5件二等品，2件三等品，从这批产品中任取4件产品，用X及Y分别表示取出的4件产品中一等品及二等品的件数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
解：（1）设X及Y分别是取出的4件产品中一等品及二等品的件数，则我们有联合概率函数为
，
其中 由此得（X ，Y）的二维联合概率分布如下：
X Y
0
1
2
3
4
0
0
0
10/210
20/210
5/210
1
0
15/210
60/210
30/210
0
2
3/210
30/210
30/210
0
0
3
25/210
5/210
0
0
0
（2）根据得X的边缘分布为：
X
0
1
2
3

根据得Y的边缘分布为：
Y
0
1
2
3
4

2．一批产品中共有100件产品，其中5件是次品，现进行不放回抽样，抽取2件产品，用X与Y分别表示第一次与第二次取得的次品数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y的边缘分布。
解：（1）（X ，Y）的可能取值为（0 ，0），（0 ，1），（1 ，0），（1 ，1），相应的概率为

故：（X ，Y）的二维联合概率分布如下：

X Y
0
1
0

1

（2）根据得X的边缘分布为
X
0
1

根据得Y的边缘分布为

Y
0
1

3．把3个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，用X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
1）X的可能取值为0，1，2，3. Y的可能取值为0，1，2，3. （X ，Y）的联合概率函数为

故 （X ，Y）的二维联合概率分布为

X Y
0
1
2
3
0
1/27
3/27
3/27
1/27
1
3/27
6/27
3/27
0
2
3/27
3/27
0
0
3
1/27
0
0
0
（2）根据得X的边缘分布为
X
0
1
2
3

根据得Y的边缘分布为

Y

0
1
2
3

4．一整数X随机地在1、2、3中取一值，另一整数随机地在1到X中取一值，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
解：（1）由于

同理可得

故 （X ，Y）的二维联合概率分布为
X Y
1
2
3
1
1/3
0
0
2
1/6
1/6
0
3
1/9
1/9
1/9
（2）根据得X的边缘分布为
X
1
2
3

根据得Y的边缘分布为

Y
1
2
3

5．一枚均匀硬币连掷两次，用X与Y分别表示第一次及第二次出现正面的次数，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。
解：（1）（X ,Y）的可能取值为（0 ,0），（0 ,1），（1 ,0），（1 ,1）.相应的概率为

故 （X ，Y）的联合概率分布为

X Y
0
1
0
1/4
1/4
1
1/4
1/4
（2）Z = X + Y的可能取值为0，1，2. 相应的概率为

故 Z = X + Y的概率分布为

Y
0
1
2

6．设二维随机变量（X,Y）在矩形域上服从均匀分布，求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）X与Y的边缘分布。
解：（1）由题设（X，Y）的联合概率密度为

（2） 根据有X的边缘概率密度为

（3） 根据有Y的边缘概率密度为

7．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 ，
求：（1）X与Y的边缘概率密度；（2）X与Y是否独立。
解：（1）根据有
① 当 时，
② 当时，
综上所述，得

同理根据有Y的边缘概率密度为

（3） 由于 故X与Y独立。
8．设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

求1）系数A、B及C；（2）（X，Y）的联合概率密度。
解：根据

得 ，故（X，Y）的联合概率分布函数为

（2） （X，Y）的联合概率密度为

9．设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度为 ，
求：（1）系数A；（2）（X，Y）的联合分布函数。
解：（1）根据 得

（2）根据 得
① 当或 时，

② 当且时，

综上所述，得

10．设随机变量X与Y独立，X ~ U（0，2），Y~e (2)，即
， ，
求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）P{X≤Y}
解：（1）根据 得

（2）所求的概率为

11．设随机变量（X，Y）的联合概率分布为
求：（1）X与Y的边缘分布；（2）的概率密度。
解：（1）根据 有X的边缘概率密度为

同理根据有Y的边缘概率密度为

（2） 的分布函数为

① 当时，
② 当时，
③ 当时，有

综上所述，得 的分布函数为

从而 的概率密度函数为

12．设随机变量（X、Y）的联合概率分布为
Y
X
-1
1
2
-1

2

求：（1）X与Y的边缘分布；（2）Z = X+Y的概率分布。
解：（1）根据得X的边缘分布为
X
-1
2

根据得Y的边缘分布为

Y
-1
1
2

（2）Z=X+Y的可能值是 -2，0，1，3，4. 相应的概率为

故Z=X+Y的概率分布为
Z
-2
0
1
3
4

13．设随机变量X与Y相互独立，且X与Y的概率分布为

X
-3
-2
-1

Y
1
2
3

求：（1）（X，Y）的联合概率分布；（2）Z = X+Y的概率分布。
解：（1）由于X与Y独立，根据 得（X ，Y）的二维联合概率分布如下：
X Y
1
2
3
-3
2/20
1/20
2/20
-2
2/20
1/20
2/20
-1
4/20
2/20
4/20

（2）Z=X+Y的可能值是 -2，-1，0，1，2. 相应的概率为
故Z=X+Y的概率分布为
Z
-2
-1
0
1
2

14．设随机变量X与Y独立，且都服从二项分布：

求：Z = X+Y的概率分布。
解：由题设我们有
Y
0
1
2

X
0
1
2

Z=X+Y的可能值是 0，1，2，3，4. 由于X与Y 相互独立，故相应的概率为

故Z=X+Y的概率分布为
Z
0
1
2
3
4

15．设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，
求：（1）（X，Y）的联合概率密度；（2）Z = X+Y的概率分布。
解：（1）由题设有

根据 有

（2）由于X与Y独立，根据 有

令得到

① 当时，
② 当时，
③ 当时，
④ 当时，
综上所述，得 Z = X + Y的概率密度为

16．已知随机变量（X，Y）的联合概率密度为
，
求：（1）联合分布函数；2）X与Y的边缘概率密度。
解：（1）根据有
① 当或时，有
② 当且时，有
③ 当且时，有
④ 当且时，有
⑤ 当且时，有
综上所述，得

（2）根据 有X的边缘概率密度为

根据 有Y的边缘概率密度为

17．设U与V独立同分布，且
又设，
求：（X，Y）的联合概率分布。
解：由题设，X的可能取值为1，2，3. Y的可能取值为1，2，3. 又U与V独立，故有

综上所述，得到 （X ，Y）的联合概率分布为
X Y
1
2
3
1
1/9
0
0
2
2/9
1/9
0
3
2/9
2/9
1/9

18．已知
令
求：（X、Y）的联合概率分布。
解：由题设

（X ，Y）的可能取值为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）相应的概率为

故（X ，Y）的联合概率分布为

X Y
0
1
0
2/3
1/12
1
1/6
1/12

19．已知随机变量X与Y的概率分布为
X
-1
0
1

Y
0
1

且P{XY = 0}=1，求：（1）（X，Y）的联合概率分布。（2）X与Y是否独立。
解：（1）由题设知
从而

故

从而（X ，Y）的联合概率分布为

X Y
0
1
-1
1/4
0
0
0
1/2
1
1/4
0
（2）由于 故X与Y不独立.

20．设随机变量U在[-2，2 ]上服从均匀分布，令
，
求：（X，Y）的联合概率分布。
解：由于U在[-2，2 ]上服从均匀分布，故有

又由题设，（X ，Y）的可能取值为（-1，-1），（-1，1），（1，-1）及（1，1）.相应的概率为

故（X ，Y）的联合概率分布为

X Y
-1
1
-1
1/4
0
1
2/4
1/4

1．设随机变量X服从参数为p的0—1分布，即

求：数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

2．设随机变量X服从参数为n、p的二项分布，即

求：数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

故

3．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，即

求：数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

4．设随机变量X服从参数为p的几何分布，即

求：数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

5．设随机变量X在[a,b]上服从均匀分布，即

求随机变量X的数学期望与方差。
解：由题设可得

6．设随机变量X服从参数为λ的指数分布即

求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

7．设随机变量X服从参数为的正态分布，即

求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

令 则有

令 则有

8．设随机变量X的概率密度为

求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

9．设随机变量X的概率密度为

求随机变量X的数学期望EX与方差DX。
解：由题设可得

10．设随机变量X服从参数为1的指数分布，即

求
解：由题设可得

11．设随机