无限集中的元素个数.doc

《无限集中的元素个数》（教学设计）

【教学目标】
知识与技能
（1）了解有限集与无限集元素个数的区别；
（2）了解数学是无限的科学，将无限的思想渗透到学生思想中去；
（3）渗透无限的思想、数形结合的思想。
过程与方法
（1）让学生参与无限集研究，领悟很多公式、定理、问题在有限的背景与无限的背景下是有区分的；
（2）让学生有目的去尝试了解无限，体验无限在高中数学中的体现；
（3）中学数学教育处于小学数学教育与大学数学教育的中间阶段的地位，决定了其在认识“无限”方面具有承上启下的作用，是形成和发展科学的“无限”观念的奠基时期。
情感态度、价值观
（1）了解无限集中的元素个数的比较，数学是无限的科学；
（2）养成对数学问题不断深入研究的习惯，培养探索未知的精神；
（3）引起学生对数学有关的一些根本性问题的说明和探讨，特别是有关数学基础和数学哲学的问题。
【教学重点】
（1）无限集的元素个数的比较；
（2）有限与无限的区分，渗透“无限”观念。
【教学难点】
（1）无限集和其真子集等势；
（2）了解有限和无限背景下的概率加法公式；
（3）渗透数学是关于无限的科学。
【教学过程】
一、引入问题
同学们：你们来二中已经有一年多了时间了，有没有被分数、排名压得喘不过气？当然，追求考分、脚踏实地固然重要，但是我们也不要只会考试、做井底之蛙，偶尔也要仰望一下星空，去扩大自己的知识面、做些探究、培养自己的探索精神。因为，我觉得拥有这样的能力比多考几分来得更为重要！
我国著名数学家华罗庚大师有句名言：“读书要从薄到厚，再由厚到薄。”
必修1大家都学过吗？但是我们离真正的读懂这本书还有很大的距离！今天我们选的课题就是正好验证了大师的话。
看人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页阅读与思考：
《集合中元素的个数》最后提出了一个思考：“有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，如：A={1,2,3,4,…，n，…｝，B={2，4，6，8，…，2n，…}
我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少。你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”（人教A版《必修1》第14页，2010年6月浙江第1次印刷）
我们在学完“子全交并补”等集合基本知识之后，面对人教版的思考题产生与已知知识体系矛盾的想法！围绕这个思考题，同学们有没有什么疑惑吗？
……
首先请你思考课本提出的问题，然后用你所学的集合知识，想一想，能不能提出一些新的问题呢？
……
将同学们的疑惑我们归纳下，可以提出：
质疑1：上述两集合中元素个数相同吗？
质疑2：集合B是不是集合A的真子集？
质疑3：若B是A真子集，集合B与集合A元素个数又怎么比较？每个集合中元素个数又分别是多少？
质疑4：平时同学们一起讨论时，常常说：“N*是N的真子集，因为N中的元素个数比N*中的元素个数多。”这又怎么解释呢？应该说，学生不能用所学的知识自圆其说，质疑1和质疑2产生矛盾，质疑3、质疑4又如何解释呢？
面对如此多的质疑，我们不妨先看几个高中数学中几个典型的案例，看看在有限背景下、无限背景下，这些定理、公式是否得到的结论是一致的？若不一致，那么到底问题出在哪里呢？是知识层面的？观念层面的？还是其他呢？
二、典型案例
案例1 结合律与分配律的使用
师：大家都知道a+(b+c)=(a+b)+c，这在有限相加的世界里似乎没什么问题。然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错！不妨看下式如何计算：z=1+(-1)+1+(-1)+1+…，
如果你认为数的加法可以任意结合，那么z=1+[(-1)+1]+…=1+0+0+…=1，好像不错吧！注意到还可以这样用结合律：z=[1++(-1)]+[1+(-1)]+…=0+0+…+0=0，没有问题吧！这时推出的结论0=z=1就有大问题了！原因何在呢？
生：解释并不困难，结合律和分配律并不像人们通常认为的那样永远正确，它们在有限数学中的确是正确的，但在无限数学中就不是没有任何条件的正确无误。所以说，有限到无限毕竟是引起了“质变”！“无限”是“有限”的延伸，但是两者又是截然不同的！
师：看来知识层面没有问题，主要还是观念认识上的问题。
案例2 古典概型与几何概型中的概率加法公式
师：大家知道，必修3中的古典概型是一种离散型的等可能性概型，而几何概型是一种连续性的等可能性概型。恰恰因为正是这种“离散”到“连续”，也就是“有限”到“无限”，使得学生学习概率加法公式有很大的难度。概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B) =1

师：如图1，古典概型中，概率加法公式体现事件A、B必定是一对互斥事件，这是离散、有限决定的，也是学生易理解的；如图2，我们也可以看到其实概率加法公式体现的事件A、B就不一定是互斥事件，这是连续、无限所凸显的。如图5所示，譬如：在区间[0,2]内投点，记落在区间[0,1]内为事件A，落在区间 [1,2]内为事件B，显然概率论加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B) =1在几何概型中也是成立的，事件A、B不互斥！
案例3 球体积公式、表面积的推导

师：如图3所示，

师：如图4所示，将球分割成份四棱锥，其体积

，

由上述球的体积公式，得：

刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形开始割圆，依次得到内接正十二边形、正二十四边形……，“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。这种处理是比较符合直观的。从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合。刘徽的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁。
三、解决问题
师：要回答无限集中元素个数比较的问题，一定程度上超出了《大纲》的要求。集论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题，称之为集的势论。关于事物的多或少是很普通的概念。
师：等势的定义：设A，B为两个集合，若在A，B之间存在着一一对应的关系：Y：A→B（即集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应），则称A与B是对等的，记作：A～B，也称集合A，B等势(Equipotent)。康托尔也提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数，把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，即称为等势。
生：有点像函数中的一一对应！
师：那么由“等势”的概念，可以回答质疑1了，集合A={1,2,3,4,…，n，…｝与集合B={2，4，6，8，…，2n，…}
是可以找到一个一一对应的，集合A中的每一个元素都有集合B中惟一的一个元素与之对应，集合B中的每一个元素都有集合A中的惟一的一个元素与之对应，所以两个集合中的元素个数是相同的，即等势。
生：由子集的定义可知，集合B是集合A的真子集，质疑2解决了。
生：那我有点想不明白，既然集合B是集合A的真子集，那么它们的元素个数怎么会是相同的呢？
师：问得好！如我们所知，任何一个有限集都不能与它的一个真子集建立一一对应的关系，对于无穷集这—点就不成立了。从而表面上看，有限集和无限集只是数量上的差别，但是却从“量变”引起了“质变”。 因此，一个无穷集可以定义为能够与它的一个真子集一一对应的集。无限集合有许多有限集合所没有的特征，而有限集合的一些特征也不能任意推广到无限集合中去，即使有的能推广，也要做某些意义上的修改。
师：对于质疑3呢，B是A真子集，集合B与集合A元素个数相同。至于这两个集合中的元素个数究竟有多少个？是不是无数个？
生：是无数个！
师：当然是无数多个，这个回答是正确的，但是是不确切的。准确地说，集合A和集合B的元素个数都是“可列”多个的(也叫“可数”，即就是这些数能按数列那样，一个一个往下列下去)。显然整数偶数自然数这些都可以，更深入地说，有理数也可以，但是列的规则就比较难找。但实数集是不可列的，实数集不可能像整数那样一个个往下列，因为你永远不知道下一个该列的是什么，不管你的下一个数字和现在这个数字差的再小，这之间仍然有无穷多个点没被列出来。康托尔把实数集的势称之为“阿列夫零”个（计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数，更高一级是阿列夫1，依次类推）。
生：那我知道了，质疑4所提到的：“N*是N的真子集，因为N中的元素个数比N*中的元素个数多。”这句话前半部分是正确的，学习了“势”、“可列”等概念后，可以知道后半句话是不确切的。因此，教师也不能用有限集的语言或理论来描述无限集这一特性。故集合N*和集合N是等势的，即一样多，因此不存在哪个集合元素多的问题。
四、课题小结
师：我们得到以下定理：
（1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数；
（2）有限集合不和其任何真子集等势；
（3）可列（可数）集合可以和其可列的真子集等势。
五、课后思考
在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识。美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学。”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的知识使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考。有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸。
“有限”正因其富于无限之中而表现出更加实在的含义。比如：数列极限表达了无限过程的有限结果；数学归纳法展示了无限步骤的有限推理；统计样本系无限总体的有限个体；这种无限中的有限，恰是数学科学的精华所在。
正如法国数学家、天文学家拉普拉斯（Laplace, 1749-1827）说的：“What we know is not much. What we do not know is immense.”（我们知道的是很少的，我们不知道的是无限的。）