圆周运动中的临界问题.doc

圆周运动中的临界问题
一、水平面内圆周运动的临界问题
关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。

图1
1、与绳的拉力有关的临界问题
例1 如图1示，两绳系一质量为的小球，
上面绳长，两端都拉直时与轴的夹角分别为
与，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，
当角速度为时，上、下两绳拉力分别为多大？

2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题

图2
例2 如图2所示，细绳一端系着质量为
的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着
质量为的物体，的中心与圆孔距离为，
并知与水平面间的最大静摩擦力为，现让此平面
绕中心轴匀速转动，问转动的角速度满足什么条件
可让处于静止状态。（）

3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题

二、竖直平面内圆周运动的临界问题
对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点
如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为，此时绳子的拉力（轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即，，式中的是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
（1） （刚好到最高点，轻绳无拉力）
（2） （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）
（3） （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）

例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为的小球，
绳的长度， 轻绳能够承受的最大拉力为，
现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端为
圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整
的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（）

2、轻杆模型过最高点
如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
临界条件：由分析可知，小球在最高点的向心力是由重力和轻杆（管壁）的作用力的合力提供的，如果在最高点轻杆（管壁）对小球的作用力与重力刚好平衡，那么此时外界提供的向心力为零，即小球过最高点的瞬时速度可以为零，所以小球过最高点的临界速度为。
（1），轻杆（管壁）对小球有向上的支持力，且
（2），轻杆（管壁）对小球有向上的支持力，由，可得，随的增大而减小，
（3），重力单独提供向心力，轻杆（管壁）对小球没有力的作用
（4），轻杆（管壁）对小球施加向下的拉力（压力），由，可得，且随着的增大而增大

图5
例5、如图5所示，半径为，内径很小的光滑半圆管竖直放
置，段平直，质量为的小球以水平初速度射入圆管。
（1）若要小球能从端出来，初速度多大？
（2）在小球从端出来瞬间，对管壁的压力有哪几种典型情况，初速度各应满足什么条件？

3、汽车过拱桥
如图所示，汽车过拱形桥顶时，由汽车的重力和桥面对汽车的支持力的合力提供其最高点的向心力，由，可得，由此可见，桥面对汽车的支持力随着汽车速度的增大而减小，如果速度增大到某一个值，会出现桥面对汽车的支持力为零，即是汽车安全过拱桥顶的临界速度。
（1），汽车不会脱离拱形桥且能过最高点
（2），因桥面对汽车的支持力为零，此时汽车刚好脱离桥面做平抛运动
（3），汽车将脱离桥面，非常危险

例6、如图6所示，汽车质量为，以不变的
速率通过凸形路面，路面半径为，若要让汽车安全
行驶，则汽车在最高点的临界速度是多少?如果汽车通过最
高点的速度刚好为临界速度，那么接下来汽车做什么运动，
水平运动的位移是多少？（）

例题1．
解析：（1）当角速度很小时，和与轴的夹角都很小，并不张紧。当逐渐增大到时，才被拉直（这是一个临界状态），但绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为，
则有：
将已知条件代入上式解得　
（2）当角速度继续增大时减小，增大。设角速度达到时，（这又是一个临界状态），
则有：
将已知条件代入上式解得　
所以当满足 ，两绳始终张紧。
本题所给条件，说明此时两绳拉力都存在。
则有：
将数据代入上面两式解得　，　
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果时，，与轴的夹角小于。
如果时，，与轴的夹角大于。
例题2
解析：由分析可知，如果平面不转动，会被拉向圆孔，即不能处于静止状态。当平面转动的角速度较小时，与水平面保持相对静止但有着向圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向背向圆心，根据牛顿第二定律，
对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐减小，当静摩擦力增大到最大值时，角速度减小到最小，即当静摩擦力背向圆心且最大，此时的角速度是最小的临界角速度，；
当平面转动的角速度较大时，与水平面保持相对静止但有着远离圆心运动的趋势，此时水平面对的静摩擦力方向指向圆心，根据牛顿第二定律，
对于有：，可见随着静摩擦力的增大，角速度逐渐增大，当静摩擦力增大到最大值时，角速度增大到最大，即当静摩擦力指向圆心且最大，此时的角速度是最大的临界角速度，。
故要让保持静止状态，平面转动的角速度满足：
例题3
解析：物体在光滑锥面上绕轴线做匀速圆周运动，通常情况下受重力、绳的拉力和锥面的支持力，正交分解各个力。
水平方向： ①
竖直方向： ②
由①②得 ③
由③式可以看出，当一定时，越大，越小，当线速度增大到某一个值时，能使，此时物体与锥面接触又恰好没有相互作用，那么就是锥面对物体有无支持力的临界速度，令③式等于零，得
（1）因为，物体在锥面上且锥面对物体有支持力，联立①②两式得

（2）因为，物体已离开锥面，但仍绕轴线做水平面内的匀速圆周运动，设此时绳与轴线间的夹角为，物体仅受重力和拉力的作用，这时有
④ ⑤
由④⑤两式得，
解析：题目中给出了两个条件，首先要让小球能够做完整的圆周运动，这个条件的实质是要求小球能够过最高点，这是无支撑的类型，小球过最高点的临界条件是重力提供向心力，此时绳子没有拉力的作用，即，，再从最高点到最低点列动能定理方程，则有
， 得，此即小球在最低点的初速度的最小值。
第二个条件是绳子不断，通过分析很容易知道，绳子在最低点最容易断，只要最低点不断，其它点都不会断。所以在最低点有
得
所以小球的初速度满足的条件是
例题5
解析：（1）小球恰好能达到最高点的条件是，此时需要的初速度为满足的条件是，由机械能守恒定律得 ：，得,
因此要使小球能从端出来需，故入射速度。
（2）小球从出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：
①刚好对管壁无压力，此时重力恰好提供向心力，由圆周运动知识由机械能守恒定律： 联立解得
②对下管壁有压力，此时应有，相应的入射速度应满足
③对上管壁有压力，此时应有，相应的入射速度应满足
例题6
解析：此题实际上属于轻杆模型，即轨道只能沿某一方向对物体施加作用力，临界条件为汽车在最高点时对轨道的压力为零，汽车不脱离轨道的临界速度为，则有，可得，此即汽车在最高点的最大速度，超过了这个速度汽车将飞离桥面，出现危险。
当时，汽车在轨道最高点只受重力，且速度沿水平方向，所以接下来汽车将做平抛运动，则有 ， 可得
7 / 7