点、直线、平面之间的位置关系.doc

学校：静宁县甘沟中学
年级：高一年级数学备课组
组员：闫小龙、杜强信、牛雨洲、黄春光
内容：数学必修2第二章（点、直线、平面之间的位置关系）

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面
学习目标
1.知道平面的概念，学会平面的画法与表示方法;
2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系;
3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，知道三个公理得地位和作用.
一、设计问题，创设情境
思考: 生活中有许多物体通常呈平 面形，你能列举一些实例吗？

二、自学质疑，合作交流
问题1：将一条线段向两端无限伸展得到的图形是什么？将课桌面、平静的水面、田径场地面向四周无限伸展得到的图形是什么？

问题2：我们不可能把一条直线或一个平面全部画在纸上，在作图时通常用一条线段表示直线，你认为用一个什么图形表示平面比较合适？

问题3：当两个平面相交时，你认为下列哪个图形的立体感强？你能指出其画法要点吗？

问题4：直线和平面都可以看成点的集合.那么“点P在直线l上”,“点A在平面α内”，用集合符号可怎样表示？“点P在直线l外”,“点A在平面α外”用集合符号可怎样表示？图形怎么画？

问题5：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l，否则，就说直线l在平面α外. 那么“直线l在平面α内”，“直线l在平面α外”， 用集合符号可怎样表示？图形如何？

问题6：如果直线l与平面α有一个公共点P，那么直线l是否在平面α内?

问题7：当直线l上两点点A、B落在平面α内时，直线上其余各点与平面α的位置关系如何？由此可得什么结论？画出图形

公理1：__________________________________________________________
符号语言：
作用：

思考：照相机，测量仪等器材的支架为何要做成三脚架？

问题8：经过任意三点都能确定一个平面吗？由此可得什么结论？

公理2：______________________________________________________________
符号语言：
作用：

B

问题9：如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？

公理3：__________________________________________________________________
符号语言：_________________________________________________________________
作用：

B
B1
D1
A1
D
A
C

C₁

O
O1

三、知识迁移，拓展训练
例1: 如图,在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
判断下列命题是否正确，并说明理由.
（1） 直线AC₁在平面A₁B₁C₁D₁内；
（2） 设正方体上、下底面中心分别为 O、O₁，
则平面AA₁C₁C与平面BB₁D₁D的交线为OO₁；
（3） 由点A，O，C可以确定一个平面；
（4） 平面AB₁C₁与平面AC₁D重合.

例2 :如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

四、自学检测，深化提高

2.用符号表示下列语句，并画出相应图形：
（1）点A在平面α内，但点B在平面α外；
（2）直线a经过平面α外的一点M;
（3）直线a既在平面α内，又在平面β内；

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系
学习目标
1.知道空间中两条直线的位置关系;
2.体会异面直线的概念、画法,及异面直线的夹角；
3.异面直线所成角的定义、范围及应用;
4.会求两条异面直线的夹角.
一、设计问题,创设情境
问题1:平面内两条直线的位置关系有哪几种?

问题2:平面内不平行的两直线必相交,问空间内还成立否?

二、自学质疑，合作交流
思考：下图中的两条直线有什么样的位置关系，你能举出一些例子吗？.

问题3：如何对异面直线进行定义？他们有什么特点？

问题4：怎么画两条异面直线？

问题5：什么是两条异面直线的夹角？如何做？怎么求？

①公理___________________________________________________________
作用：
②定理(等角理):_________________________________________________________
作用：

三、知识迁移，训练拓展
例1.如图,已知空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH是什么四边形,并证明你的结论.

例2: 如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?
(2)直线BA'和CC'的夹角是多少? (3)哪些棱所在直线与直线AA'垂直?

四、自学检测，深化提高
1.已知a,b,c是三条直线,且a∥b,a与c的夹角为θ,那么b与c夹角为　　　　. 
2.判断:
(1)两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行.(　　)
(2)两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行.(　　)
(3)两条直线和第三条直线平行,则这两条直线互相平行.(　　)
3、如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=2,AD=2,AE=2.
(1)求BC和EG所成的角.
(2)求AE和BG所成的角.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.1.3　空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4　平面与平面之间的位置关系
学习目标
1.认识空间中直线与平面的位置关系;
2.知道空间中平面与平面的位置关系.
一、设计问题,创设情境
观察长方体,你能发现长方体ABCD-A'B'C'D'中,线段A'B所在的直线与长方体ABCD-A'B'C'D'的六个面所在平面有几种位置关系吗?

二、自学质疑，合作交流
问题1:一条直线与一个平面可能存在几种位置关系？试用现成的线与面来说明.

问题2：直线在平面外包括哪几种情况?用符号语言怎么描写？

问题3:观察长方体,你能发现长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ABCD与A'B'C'D'具有怎样的位置关系吗?平面ABCD与ABB'A'的位置关系呢?

问题4：一个平面可以把空间几部分？两个平面呢？三个平面呢？

三、知识迁移，训练拓展
1.下列命题中正确的个数是(　　)
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A.0 B.1　 C.2 D.3
2、如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论

四、自学检测，深化提高
1、若两条相交直线中的一条在平面内,讨论另一条直线与平面的位置关系.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.2.1　直线与平面平行的判定
学习目标
1.能用三种语言准确描述直线与平面平行的判定定理；
2.能应用直线与平面平行的判定定理判断或证明线面平行；
3.会用直线与平面平行的判定定理解决生活中的实际问题.
一、设计问题,创设情境

观察长方体,你能发现长方体ABCD-A'B'C'D'中,线段A'B所在的直线与长方体ABCD-A'B'C'D'的侧面C'D'DC所在平面的位置关系吗?

二、自学质疑，合作交流
问题1：空间直线和平面有哪些位置关系?

问题2：直线a在平面α外,是不是能够断定呢?

问题3：若平面外一条直线平行于平面内一条直线,那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗?

问题4：如何判定直线和平面平行?

直线与平面平行的判定定理：
1.文字语言：

2.图形语言： 3.符号语言：

三、知识迁移，拓展训练
【例1】 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

【例2】已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点．求证：AC1∥面DBE.

四、自学检测，深化提高
如图，设P,Q是边长为a的正方体AC1的平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：PQ∥平面AA1B1B.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.2.2　平面与平面平行的判定
学习目标
1.能用三种语言准确描述平面与平面平行的判定定理；
2.能应用平面与平面平行的判定定理判断或证明面面平行；
3.会用平面与平面平行的判定定理解决生活中的实际问题.
一、设计问题,创设情境
大家都见过蜻蜓和直升飞机在天空飞翔,蜻蜓的翅膀可以看作两条平行直线,当蜻蜓的翅膀与地面平行时,蜻蜓所在的平面是否与地面平行?直升飞机所有的螺旋桨与地面平行时,能否判定螺旋桨所在的平面与地面平行?由此请大家探究两平面平行的条件.

二、自学质疑，合作交流
问题1：空间两平面的位置关系有哪些？

问题2：欲证线面平行可转化为线线平行,欲判定面面平行可如何转化?

平面与平面平行的判定定理：
1.文字语言

2.图形语言： 3.符号语言：

三、知识迁移，拓展训练

【例1】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证:平面AB1D1∥平面BDC1.

【例2】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MPN∥平面A1BD.

四、自学检测，深化提高
1.如图,在正方体ABCD-EFGH中,M,N,P,Q,R分别是EH,EF,BC,CD,AD的中点,求证:平面MNA∥平面PQG.

2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.求证:平面AMN∥平面EFDB.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.2.3　直线与平面平行的性质
学习目标
1.能用三种语言准确描述直线与平面平行的性质定理；
2.能用直线与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题.
一、设计问题,创设情境

观察长方体,可以发现长方体中,线段所在的直线与长方体的侧面所在平面平行,你能在侧面所在平面内作一条直线与平行吗?

二、自学质疑，合作交流
问题1:若一条直线与一个平面平行,则这条直线与平面内直线的位置关系有哪些?

问题2:怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢?(排除异面的情况)

直线和平面平行的性质定理:
1.文字语言：

2.图形语言： 3.符号语言：

问题4:如何证明直线与平面平行的性质定理?

三、知识迁移，拓展训练

【例1】 如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面.
(1)要经过平面内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

【例2】 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面,求证:另一条也平行于这个平面.

四、自学检测，深化提高
1.如图,E,H分别是空间四边形ABCD的边AB,AD的中点,平面α过EH分别交BC,CD于F,G.求证:EH∥FG.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.2.4　平面与平面平行的性质
学习目标
1.能用三种语言准确描述平面与平面平行的性质定理；
2.会用平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题.
一、设计问题,创设情境
观察长方体知,面与面互相平行,那么在,面内直线与在面内的直线是怎样的位置关系呢?

二、自学质疑，合作交流
问题1:两个平面平行,其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系?

问题2：两个平面平行,两个平面内的直线有什么位置关系?

问题3：当第三个平面和两个平行平面都相交,两条交线有什么关系?为什么?

平面与平面平行的性质定理:
1.文字语言：

2.图形语言： 3.符号语言：

问题4:如何证明直线与平面平行的性质定理?

三、知识迁移，拓展训练
【例1】 求证:夹在两个平行平面间的两条平行线段相等.

【例2】如图2­2­14，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.

四、自学检测，深化提高
如图2­2­12，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.
(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.3.1　直线与平面垂直的判定
学习目标
1.探究直线与平面垂直的判定定理,培养学生的空间想象能力;
2会应用直线与平面垂直的判定定理解决相关问题,培养学生分析问题、解决问题的能力;
3.明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.
一、设计问题,创设情境
在日常生活中,我们对直线与平面的垂直关系有很多感性认识,比如：

（旗杆与地面） （大桥的桥柱与水面）

二、自学质疑，合作交流
问题1:如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直? 试举例说明。

问题2:借助生活中垂直的含义,能不能说出直线与平面垂直的定义?
直线与平面垂直的定义（辩证思维） .记作 : ；其中，直线叫做平面的 ；平面叫做直线的 ；公共点叫做 。应用（简述为）： .
问题3:如何画直线与平面垂直?

问题4:如图,请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起做一个试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得折痕AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
(1)折痕AD与桌面垂直吗?
(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直?

结论：（直线和平面垂直的判定定理）(文字语言)：

图形语言：

符号语言：
应用（可简述为）：
问题5:什么是斜线在平面上的射影?

问题6:怎样定义直线与平面所成的角呢？它的范围是什么？

三、知识迁移，训练拓展
【例1】如图已知且。求证

【例2】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

四、自学检测，深化提高
1. 如图，已知点为平面外一点，,,求证：.

2.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,
AB∥DC.
(1)求证:D1C⊥AC1;
(2)设E是DC上一点,试确定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并说明理由.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.3.2　平面与平面垂直的判定
学习目标
1.探究平面与平面垂直的判定定理,二面角的定义及应用,培养学生的归纳能力.
2. 会应用平面与平面垂直的判定定理解决相关问题,培养学生的空间想象能力.
3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.
一、设计问题,创设情境
为了解决实际问题,人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时,为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度;发射人造地球卫星时,使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此,我们需引入二面角的概念,研究两个平面所成的角.
二、自学质疑，合作交流
问题1:在门和墙所在平面的关系的讨论中,随着门绕门轴的转动,其所在平面与墙所在平面的相交程度在变,怎样描述这种变化呢?
问题2:什么是平面与平面的角呢?
二面角的概念及相关概念：
二面角的画法：
表示方法：
问题3: 两个相交平面有几个二面角？

问题4：什么是二面角的平面角?

问题5：在具体的几何模型中如何找出（作出）二面角的平面角?并归纳歩骤。

问题6:类比直线与平面的垂直,如何判定两个平面垂直呢?

三、知识迁移，训练拓展
【例1】 如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C为圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.

【例2如图,已知直四棱柱的底面是菱形,且,,F为棱的中点,M为线段的中点.，求平面与平面ABCD所成二面角的大小.

四、自学检测，深化提高
1．平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线与平面α的关系是（ ）
A．平行 B.垂直 C.在α内 D.不确定
2. 如图,ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°.
(1)求证:平面PBD⊥平面PAC;
(2)求二面角APBD的余弦值.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.3.3　直线与平面垂直的性质
学习目标
1.探究直线与平面垂直的性质定理,培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.
2.会利用直线与平面垂直的性质定理解决相关问题，提高逻辑推理的能力.
一、设计问题,创设情境
如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB',CC',DD'所在直线都垂直所在的平面ABCD,它们之间具有什么位置关系?

二、自学质疑，合作交流

问题1:空间两直线的位置关系有哪些？

问题2:垂直于同一条直线的两条直线有怎样的位置关系?

问题3: 垂直于同一个平面的两条直线有怎样的位置关系?

问题4: 试用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.

问题5:直线与平面垂直的性质定理的作用是什么?

三、知识迁移，训练拓展
【例1】证明垂直于同一个平面的两条直线平行.

【例2】如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.

四、自学检测，深化提高

1. 已知直线a，b和平面α，且a⊥b ,b⊥α，则a与平面α的位置关系是——

2. 如图,已知直线a⊥b ,b⊥α,a ⊄α. 求证:a∥α.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）

2.3.4　平面与平面垂直的性质
学习目标
1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.
2. 会利用面面垂直的性质定理解决相关问题,培养学生的推理能力.
3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生的转化思想.
一、设计问题,创设情境

思考1.黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？

思考2.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面A'ADD'与平面ABCD垂直,直线A'A垂直于其交线AD.平面A'ADD'内的直线A'A与平面ABCD垂直吗?

二、自学质疑，合作交流
问题1:如图,若α⊥β,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,AB∩CD=B.讨论直线AB与平面β的位置关系.

问题2:能不能用三种语言描述平面与平面垂直的性质定理,并给出证明.

问题3:平面与平面垂直的性质定理的特点有哪些?

三、知识迁移，训练拓展
【例1】 如图,已知平面α,β,α⊥β,直线a满足a⊥β, a⊄α,试判断直线a与平面α的位置关系.

【例2】 如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC.

(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;
(2)求二面角CBDA的余弦值.

四、自学检测，深化提高
1.如图,边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面,BC=2,M为BC的中点.
(1)证明:AM⊥PM;
(2)求二面角PAMD的大小.

五、学习札记（请同学们回想一下,本节课我们学了哪些内容、数学思想方法?）