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第五章 二元一次方程组

3. 应用二元一次方程组——鸡兔同笼

作者：大店中学赵艳

一、 学生起点分析：

学生已了解方程的基本概念和性质，并能熟练解二元一次方程，也 能整体系统地审清题意，能从具体问题的数量关系中找出等量关系并列出二元一次方程组;学生也基本能够运用方程的思想解决实际问题。初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.

二、 教学任务分析：

基于以上对学生情况的分析，特制定以下教学任务：

1在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；

2、使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;

3、进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.

4、通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中 的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心.

教学重点

根据等量关系列二元一次方程组解应用题.

教学难点

1、读懂古算题;

2、根据题意找出等量关系，列出方程.

三、教学过程设计

本节课设计了五个教学环节：第一环节： 引入课题；第二环节：典型例题；第三环节：闯关练习；第四环节：反馈练习；第五环节：感悟和收获；第六环节：作业布置.

第一环节：引入课题

活动内容1：例1 今有雉（兔 ）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？

（2）你能解决这个有趣的问题吗？

（说明：多媒体展示"鸡兔同笼"问题后，说明该问题是古代著名的"难题"，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题后，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路,

写出解题过程，让学生讨论对不对，有没有不同的思路和观点；最后在学生充分讨论的基础上，老师用多媒体课件，给出正确的答案.）

1.用一元一次方程求解

解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只,得

所以有鸡23只，兔12只.

小结：一元一次方程解法优点： 思维便捷些.

一元一次方程解法不足：计算较复杂.

2.用二元一次方程求解：

解：设有鸡x只，兔y只，则

x+y=35, ①

2x+4y=94. ② 

① ×2,得 2x+2y=70 , ③ 

②－③,得 2y=24,

y=12, 

把 y=12 代入①，得x=23.

所以有鸡23只，兔12只.

小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单.

用二元一次方程组解答不足：计算复杂些.

活动目的：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性.

活动实际效果：这样，一方面在列方程组的建模过程中，强 化了方程的模型思想，并通过比较，感受了列二元一次方程组的优越性，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力；另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.

活动内容2：随堂练习1

列方程解古算题："今有牛五、羊二 ，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？

（在引例及例题的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两"金"，2头牛、5只羊共价值8两"金"，每头牛、每只羊各价值多少"金"？在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）

解：设每头牛值"金" x 两，设每只羊值"金" y 两,则有方程： 

5x+2y=10 , ①

2x+5y=8. ② 

①×2,得 10x+4y=20 , ③

② ×5, 得 10x+25y=40 , ④

④-③, 得 21y=20,

解得 y= , 把 y= 代入②得：x= .

所以，每头牛值"金" 两，设每只羊值"金" 两.

活动意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能。

活动实际效果：学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题.

第二环节：典型例题

活动内容1： 例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？

提问：1."将绳三折测之，绳多五尺"，什么意思？

2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？可以让学生演示.

（此时课堂讨论可能很热烈，要注意引导，在充分讨论的基础上，显示完整的解题过程.）

解：设绳长x尺，井深y尺， 则　　

-y=5 , ①

-y=1. ② 联列①，②

①-②，得 - =4,

=4,

x=48,

将 x=48 代入①，得 y=11. 

答：绳长48尺，井深11尺.

活动内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤

根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：

1） 审清题意，设未知数;

2） 弄清各个量之间的关系，找出等量关系;

3） 列出方程，联立方程，得二元一次方程组;

4） 解二元一次方程组; 

5） 作答.

并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程.

活动意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.

活动实际效果：学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.

活动内容3：随堂练习2

古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到外边来了一群人，在分赃，在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，下面有这一古 诗为证：

隔壁听到人分银，

不知人数不知银.

只知每人五两多六两，

每人六两少五两，

问你多少人数多少银？

活动意图：熟练有关“以绳测井”类似应用题的求解.

活动实际效果：熟练了学生列方程组解应用题的步骤.

第三环节：课堂小结

活动内容：

1． 通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？

2． 这里面应该注意的是什么？关键是什么？

3． 通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。

4． 列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？

说明：通过以上四个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法 和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问.

活动意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.

说明：还可以建议有条件的学生去读一读《孙子算经》，可以在网上查，找出自己喜欢的问题，互相出题；同位的同学还可互相编题考察对方；还可以设置"我为老师出难题"活动，每人编一道题，给老师，老师再提出："谁来帮我解难题"，以此激发学生的学习兴趣和信心。

第四环节：布置作业

习题7.4 1，2

四、教学设计说明与反思

1、设计理念

教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，在本节的备课和教学过程中，教师要为学生的动脑思考，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重和自己意见不一致的学生，赞赏每一位学生对教科书的质疑和对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值，作学生健康心理、健康品德的促进者、引路人；通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择.学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的大脑去亲自探索，用自己的心灵去亲自感悟。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程.当学生迷路的时候，教师不轻易告诉方向，而是引导他怎样去辨明方向；当学生登山畏惧了的时候，教师不是拖着他走，而是唤起他内在的精神动力，鼓 励他不断向上攀登.

2、突出重点、突破难点的策略

二元一次方程组是初二数学的重点，而"鸡 兔同笼"是中国古代《孙子算经》中的一个

有趣的问题，是用二元一次方程组解决实际问题的一个典型的例子.通过古代的"鸡兔同笼"问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练，这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能。本节通过几个现实的问题情景，进行二元一次方程组解决实际问题的训练.在题材的选择上，注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到 难的原则；在教学进程中，在建立方程思想的过程中采用了循序渐进的思路，由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组，遵照了学生的思维梯度逐步建立起学生的用二元一次方程解应用题的思想，充分感受它的优点和思维的简化；教学 中，还根据学生的生活实际和任职实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组；在具体的古文理解过程中充分借助多媒体展示和实物演示形象化题目的概念.

3、评价方式

（1）通过课堂观察，关注学生在探讨思考讨论等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、强化、指导和矫正.

（2）通过提问，给学生更多机会，在自然放松的状态下，揭示思维过程和反馈知识与技能的掌握情况，使老师可以及时诊断学情，调查教学效果.

（3）通过课后访谈和作业分析，及时查漏补缺，确保达到预期的教学效果.

4、注意事项

学生在做作业时，个别学生对第一题的列方程组，仍然感觉困难。此类型题还需要老师多加引导.