第一轮复习第二十一讲矩形菱形正方形.doc

2014年中考数学第一轮复习
第二十一讲 矩形 菱形 正方形
【基础知识回顾】
一、 矩形：
1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质：
⑴矩形的四个角都 ⑵矩形的对角线
3、矩形的判定：
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的 是矩形
⑶对角线相等的 是矩形
提醒：1、矩形是 对称到对称中心是 又是
对称图形对称轴有 条
2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两个全等的 三角形
3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题。
二、菱形：
1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线 且每条对角线
3、菱形的判定：⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的 是菱形
⑶四条边都相等的 是菱形
提醒：1、菱形即是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是
。
2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形
3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算
4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识解决知识的题目
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形
2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证
⑵先证是菱形，再证
提醒：菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：
⑴正方形也即是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴
⑵几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们之间的联系。
【重点考点例析】
考点一：和矩形有关的折叠问题
例1 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．
对应训练
1．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2 如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 cm2．
对应训练
2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A．5cm B．2cm C．cm D．cm
考点三：和正方形有关的证明题
例3 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在ODOC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．

对应训练
3．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

考点四：四边形综合性题目
例4 ）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ．
对应训练
4．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ．
【聚焦中考】
1．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
2．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（　　）
A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线
3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．

．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．
（1）在图中画出线段DE和DF；
（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？

【备考真题过关】
一、选择题
1．如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（　　）
A． 3cm B．2cm C．2 3 D．4cm
2.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
3．如图菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．28 D．40
4．顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
5．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（　　）A．24 B．16 C．4 D．2
7．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C．3 D． 2
8．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：
①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；
④S四边形ABCD= AM2．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= ．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 ．
13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是 ．
14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ．
15．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ．
16．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ．

17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（-5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标 ．
18．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．
19．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 cm2．
20．如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）
21、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 2，则另一直角边BC的长为 ．
三、解答题

1．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

2．如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．

3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

4．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．

5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．

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