1、角平分线的性质（2）
[教学目标]
角平分线的性质和判定定理的综合应用．
[教学重点与难点]
重点和难点：角平分线的性质和判定定理的综合应用．
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[教学设计]
活动一
探究：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明其中的道理吗？
知识点1. 作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB 求作：∠AOB的平分线
探究： 如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后
2、展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
知识点2. 角的平分线的性质及判定定理：
1．如图∵OP平分∠AOB，点P在射线OP上，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D
∴ (角平分线的性质定理)
2．∵PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴ (角平分线的判定定理)
3．如图，公路南有一学校在铁路的东侧，到公路的距离与到铁路的距离相等，并且与两路交叉处O的距离为300m，你能在图上标出学校的位置吗？
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
3、分别为E，F.下列推理中正确的个数是 （ ）
①AD上任意一点到点C，B的距离相等；
②AD上任意一点到AC，AB的距离相等；
③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF
例1． 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm
AB=7cm，AD平分∠BAC，DE⊥AB于F
（1） 求证：△ACD≌△AED（2）求EB的长
例2．如图，∠B=∠C，D为BC的中点，ED⊥AB， DF⊥AC，求证：AD平分∠BAC
【课堂操练】
1.如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC 于E，CD，BE交于点O ，且∠1=∠2 ，求证：OB=OC
4、
2.如图，∠A=∠B=90°，M是AB的中点，DM平分∠ADC，求证：CM平分∠BCD
3．如图，BA平分∠CAD，BC⊥AC于D，BD⊥AD于D，E是AB上一点，EB平分∠CED吗？为什么？当E点在AB的延长线上或AB的反向延长线时，上述结论成立吗？请分别证明.
【课后巩固】
1．下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC中∠BAC的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、
2. 已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E,且DE=3cm,则点D到AC的距离是( )
A.2cm; B.3cm; C.4cm; D.6cm
3．如图1，已知CE、CF分别是△ABC的内角和外角平分线，则图中与∠BCE互余的角有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图2，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（ ）
A．①②③④
6、 B．①②③
C．④ D．②③
（2）
（1）
5．如图3，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，则下列结论：①∠3=∠4；②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有（ ）
A．①②③④ B．①②③
C．①③ D．①③④
6．如图4，AB∥CD，AP、CP分别平分∠BAC和∠ACD，PE⊥AC于E，且PE=2cm，则AB与CD之间的距离是___________．
(3)
（4）
7、
7．角的平分线上的点到_______________相等；到___________________相等的点在这个角的平分线上．
8．如图5，三条公路两两交于点A、B、C，现要修一个货物中转站，要求到三条公路距离相等，则可供选择的地址有 处
(5)
9．请你用直尺和圆规画一个135度的角．
10．如图，四边形ABCD中AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，求证：PB=PC．
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11．如图，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD交BE于点O．
①若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上．
②若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB．
12．如图，BE和CD是△ABC的两条高，在BE上截取BF=CA，延长CD至点H，使HC=AB．
求证：①AF=AH；②AF⊥AH。
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