专题三开放与探索.doc

专题三　开放与探索
专题名师解读
开放探索型问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等，这类题目新颖，思考方向不确定，因此比一般综合题更能考查学生综合运用知识的能力，从而深受命题者的青睐．中考题型以填空题、解答题为主．
热点考向例析
考点一　条件开放探索问题
条件开放探索问题的特征是缺少确定的条件，所需补充的条件不能由结论直接推出，而满足结论的条件往往也是不唯一的．
【例1】 如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件：使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是__________．
解析：要证明△ABP≌△CDP，已经给出了两个条件：AP＝CP、AC⊥BD(即∠APB＝∠CPD＝90°)，根据证明两个三角形全等的判断方法，即ASA，AAS，SAS，HL，可以添加一个条件角或者边．

答案：∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD，BP＝DP，AB＝CD．(任选其中一个)

解决此类题的方法是：从所给的结论出发，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，运用所学的定理，进行逻辑推理，从而找出满足结论的条件．
考点二　结论开放探索问题
结论开放探索问题是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，符合条件的结论往往呈现多样性．
【例2】 抛物线y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，请你写出与其关系式、图象相关的2个正确结论对称轴方程，图象与x轴正半轴、y轴交点除外)．

解析：观察题目给出的函数解析式及函数图象，结合所学过的二次函数知识，仔细分析，推断出函数的性质和结论．如，由函数解析式y＝－x2＋bx＋c可以知a＝－1；由图象可知对称轴x＝1，则－＝－1，解得b＝－2；由函数图象与y轴的交点，得到c＝3；由图象与x轴的一个交点的横坐标为x＝1，而函数图象的对称轴是x＝－1，可得函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为x＝－3，所以方程－x2＋bx＋c＝0的两根分别为1，－3等．
答案：答案不唯一．如：①c＝3，②b＋c＝1，③c－3b＝9，④b＝－2，⑤抛物线的顶点为(－1,4)或二次函数的最大值为4，⑥方程－x2＋bx＋c＝0的两根分别为1，－3，⑦当－3＜x＜1时，y＞0或当x＜－3或x＞1时，y＜0，⑧当x＞－1时，y随x的增大而减小，或当x＜－1时，y随x的增大而增大等．

解答这类题目要求解题者充分利用已知条件，执因寻果，导出相应的结论．
考点三　条件、结论开放探索问题
条件、结论开放探索问题是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系．
【例3】 (1)如图1，在正方形ABCD中，M是BC边(不含端点B，C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN.
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE＝MC，连ME.∵在正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴∠NMC＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠MAB＝∠MAE.
(下面请你完成余下的证明过程)

图1 图2
(2)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”(如图2)，N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立请说明理由．
(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN＝__________°时，结论AM＝MN仍然成立．(直接写出答案，不需要证明)
解：(1)∵AE＝MC，∴BE＝BM，∴∠BEM＝∠EMB＝45°，∴∠AEM＝135°；
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN＝45°，∴∠AEM＝∠MCN＝135°.
在△AEM和△MCN中：
∵
∴△AEM≌△MCN.
∴AM＝MN.
(2)仍然成立．
理由：在边AB上截取AE＝MC，连接ME.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠ACP＝120°，
∵AE＝MC，
∴BE＝BM，
∴∠BEM＝∠EMB＝60°，
∴∠AEM＝120°.
∵CN平分∠ACP，
∴∠PCN＝60°，
∴∠AEM＝∠MCN＝120°，
∵∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM(∠B＝∠AMN＝60°)，
∴△AEM≌△MCN，∴AM＝MN.
(3)(n为大于2的整数)．

条件、结论开放探索问题，即条件和结论都不确定，首先要认定条件和结论，然后组成一个新的命题并加以证明或判断．
考点四　存在探索型问题
存在探索型问题是指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问题．
【例4】 如图，抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)与双曲线y＝相交于点A，B．已知点B的坐标为(－2，－2)，点A在第一象限内，且tan∠AOx＝4.过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于点C．
(1)求双曲线和抛物线的解析式；
(2)计算△ABC的面积；
(3)在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)把点B(－2，－2)的坐标代入y＝，
得－2＝，∴k＝4.
即双曲线的解析式为：y＝.
设A点的坐标为(m，n)，∵A点在双曲线上，∴mn＝4，①
又∵tan∠AOx＝4，∴＝4，即m＝4n.②
由①，②得：n2＝1，∴n＝±1.
∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4，
∴A点的坐标为(1,4)．
把A，B点的坐标代入y＝ax2＋bx，得：解得a＝1，b＝3.
∴抛物线的解析式为：y＝x2＋3x；
(2)∵AC∥x轴，∴点C的纵坐标为y＝4，
代入y＝x2＋3x，得方程x2＋3x－4＝0，解得x1＝－4，x2＝1(舍去)．
∴C点的坐标为(－4,4)，AC＝5，
又△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×5×6＝15；
(3)存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积．
过点C作CD∥AB交抛物线于点D．
∵直线AB相应的一次函数是：y＝2x＋2，且C点的坐标为(－4,4)，CD∥AB，
∴直线CD相应的一次函数是：y＝2x＋12.
解方程组得∴点D的坐标是(3,18)．

解决此类问题的方法是：先对结论作出肯定的假设，然后结合已知条件进行演绎推理，若推出矛盾即可否定假设；若推出合理的结论，即假设正确．
专题提升演练
1．若直线x＋2y＝2m与直线2x＋y＝2m＋3(m为常数)的交点在第四象限，则整数m的值为(　　)．
A．－3，－2，－1,0 B．－2，－1,0,1 C．－1,0,1,2 D．0,1,2,3
2．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A，B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A，B，C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是(　　)．

A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是__________(写出一个即可)．

4．已知一次函数y＝kx＋b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：__________.
5．已知点A，B的坐标分别为(2,0)，(2,4)，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出一个符合条件的点P的坐标：__________.
6．给出3个整式：x2,2x2＋1，x2－2x.
(1)从上面3个整式中，选择你喜欢的两个整式进行加法运算，若结果能因式分解，请将其因式分解；
(2)从上面3个整式中，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是多少？
7．如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.

(1)求证：OP＝OQ；
(2)若AD＝8厘米，AB＝6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动(不与D重合)．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．
8．一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2,0)，B(m＋2,0)两点，记抛物线的顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；
(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点；
(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
专题提升演练
1．B　2.C
3．△BMD(答案不唯一)
4．y＝－2x＋3(答案不唯一，k＜0且b＞0即可)
5．(0,4)(答案不唯一)
6．解：(1)共有三种可能，第一种可能为：x2＋2x2＋1＝3x2＋1；
第二种可能为：x2＋x2－2x＝2x2－2x，结果可以因式分解
2x2－2x＝2x(x－1)；
第三种可能为：2x2＋1＋x2－2x＝3x2－2x＋1.
(2)由第(1)知，任意选择两个整式进行加法运算，其结果能因式分解的概率是.
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，

∴∠PDO＝∠QBO，
又OB＝OD，∠POD＝∠QOB，
∴△POD≌△QOB，
∴OP＝OQ.
(2)PD＝(8－t)cm.
当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝(8－t)cm.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵在Rt△ABP中，AB＝6 cm，
∴AP2＋AB2＝BP2，∴t2＋62＝(8－t)2，
解得t＝，即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．
8．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－4a.
∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知，△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，
∴C的坐标为(m，－2)，代入解析式得a＝.
∴所求抛物线的解析式为y＝(x－m)2－2或y＝x2－mx＋m2－2.
(2)∵m为小于0的常数，
∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2的顶点在坐标原点．
(3)存在实数m使△BOD为等腰三角形，理由：由(1)得D点坐标为(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．
∵△BOD为直角三角形，
∴只能OD＝OB.
∴m2－2＝|m＋2|.
当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．
当m＋2＜0时，
解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；
当m＋2＝0，
即m＝－2时，B，O，D三点重合(不合题意，舍)．
综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．