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第五章测量误差的基本知识

1、 衡量测量精度的指标有中误差、相对误差、极限误差。
5．测量，测角中误差均为10″，所以A角的精度高于B角。(×)
8．在测量工作中无论如何认真仔细，误差总是难以避免的。(×)
10.测量中，增加观测次数的目的是为了消除系统误差。(×)
1、 什么是偶然误差？它有哪些特性？
定义：相同的观测条件，若误差在数值和符号上均不相同或从表面看无规律性。如估读、气泡居中判断等。
偶然误差的特性：(1)有界性 (2)渐降性 (3)对称性 (4)抵偿性
7．已知DJ6经纬仪一测回的测角中误差为mβ=±20″，用这类仪器需要测几个测回取平均值，才能达到测角中误差为±10″？（ ）
A．1 B.2
C.3 D.4
3．偶然误差服从于一定的________规律。
4．对于偶然误差，绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的机会________。
14.测量误差的来源有___________、___________、外界条件。
3.设对某距离丈量了6次，其结果为246.535m、246.548m、246.520m、246.529m、246.550m、246.537m，试求其算术平均值、算术平均值中误差及其相对中误差。
6．偶然误差的算术平均值随观测次数的无限增加而趋向于______________。
14．设对某角度观测4个测回，每一测回的测角中误差为±5″，则算术平均值的中误差为± ″。
24．衡量测量精度的指标有、 、 极限误差。
3.观测值与______之差为闭合差。( )
A.理论值 B.平均值
C.中误差 D.改正数
5.由于钢尺的不水平对距离测量所造成的误差是( )
A．偶然误差 B.系统误差
C．可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差
8．阐述函数中误差与观测值中误差之间关系的定律称为_______________。
3．什么是系统误差？什么是偶然误差？误差产生的原因有哪些?
4．测量误差按性质可分为 和 两大类。
1． 2．相对误差
2. 由估读所造成的误差是( )。
A.偶然误差 B.系统误差
C.既是偶然误差又是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差
14. 下列不属于衡量精度的标准的是( )。
A.真误差 B.中误差 C.容许误差 D.相对误差
7. 由于仪器误差对水准测量读数所造成的误差是（　 ）。
A.偶然误差 B.系统误差
C.可能是偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差
2常用的评定精度的标准有 、 和 。
2、0.700的数,其有效数字是（B）
  A、二位有效数字     B、三位有效数字
   C、四位有效数字     D、一位有效数字
7、有n个观测值为11、12、……1n，n个观测误差为△1、△2…△n，则观测值的中误差是（ ）
  A、将观测误差按绝对值大小排列，中间一个观测误差

26、在一个三角形中，直接观测的两个角的中误差分别是3″、5″，则第三个角的中误差是（ C ）
A、4″ B、2″ C、5.8″ D、6″
27、测量的算术平均值是（ B ）。
Ａ、n次测量结果之和的平均值。 Ｂ、n次等精度测量结果之和的平均值。
C、是观测量的真值。 D、n次非等精度测量结果之和的平均值。
7、测量中产生误差的原因是（ ）、（ ）和（ ）。
95．测量误差产生的原因有（ ）、（ ）和（ ）。
96．测量误差按其性质可分为（ ）和（ ）两大类。
97．衡量精度的标准有（ ）、（ ）和（ ）三种。
98．钢尺量距中由于尺长不准所带来的误差属于（ ）误差。
99．经纬仪测角中目标偏心误差属于（ ）误差。
100．设Z1=X1+X2 ,Z2=2X,X1,X2,X均为独立观测值，且中误差均相等则（ ）
的精度比（ ）的精度高，因为（ ）。
101．中误差的计算公式为（ ），用观测值的改正数计算中误差的公式为（ ）。
9．下列哪项误差属于系统误差（ ）
A 水平角测量中对中误差 B 水准测量中估读毫米数不准
C 视差的影响 D 水平角测量中度盘刻度误差
50．偶然误差可采用什么方法消除或减弱（ ）
A 加改正数 B 采用一定的观测程序
C 无法消除或减弱 D 多次测量的平均值
51．下列各项误差，是偶然误差的有（ ）
A 尺长不准 B 钢尺量距中拉力不匀
C 目标偏心误差 D 水准测量中前后视距不相等
52．下列哪些数据是观测数据（ ）
A 起始点坐标 B 终点坐标 C 导线各转折角 D 起始边坐标方位角
50．什么是测量误差？什么是粗差？
51．什么是系统误差？什么是偶然误差？并全面分析二者的不同。
52．偶然误差有何特性？
53．何谓中误差、极限误差和相对误差？
54．试列举在测量工作中可能产生的三种系统误差和三种偶然误差，并作简要说明。
55．为什么说算术平均值是最或然值？
56．就下表的各项测量误差，分析判定其误差性质，并简述消除和减小的方法。

测量类别
误差名称
误差性质
消除和减小的方法

钢尺量距
尺长不准
定线不准
尺弯曲
温度变化的影响
拉力不匀
读数误差
测钎插的不准

水准测量
视差的影响
符合气泡两半象不严密重合
水准尺不直
前后视距不等
估读毫米数不准
尺垫下沉
水准管轴不平行于视准轴

水平角测量
对中误差
目标偏心误差
照准误差
读数误差
仪器未整平的影响
水准管轴不垂直与竖轴
视准轴不垂直与横轴
度盘刻度误差
照准部偏心误差

57．有一正方形（图形准确），今欲测量其周长，采用两种方法：①量其一边之长然后乘以4，②分别量四边形之长求和。问哪一种方法所得周长的精度最高，为什么？（要用数式说明）
27．对某段距离丈量5次，其结果如下表，试计算该段距离的算术平均值（L）及观测值中误差（m），算术平均值中误差（M）相对中误差K值。
L、m、M、K 的计算
次数
观测值L（m）
V（mm）
VV（mm2）
计 算
1
96.325

2
96.312

3
96.308

4
96.323

5
96.317

总和

28．观测了三角形的三个内角，∠A、∠B、∠C的中误差分别为±10″、±9″、±12″，求 △ABC的内角和中误差。
29．三角形内角和的中误差为±9″，且每一内角的观测精度相同，则一内角的中误差为多少？
30．某一经纬仪，一测回角的中误差为±12″，使测角中误差达到±6″，那么至少应测几个测回？
31．量测一矩形场地的周长，得其长宽分别为400.00m、200.00m，若要求所得周长的最大误差不超过1m，则量距的相对中误差应是多少？（最大误差取2倍中误差）
32.量测六边形的内角，规定内角闭合差不能超过±30″，则每一内角的观
测值中误差应是多少？（取最大误差为中误差的2倍）
59、测量误差产生的原因有 、 、 。
8、系统误差影响观测值的准确度，偶然误差影响观测值的精密度…………………………( )
16、丈量一正方形的4条边长，其观测中误差均为±2cm，则该正方形周长的中误差为±( )cm。
A.0.5 B.2 C.4 D.8
53、对某边观测4测回，观测中误差为±2cm，则算术平均值的中误差为( )。
A ±0.5cm B ±1cm C ±4cm D ±2cm
55、水准尺向前或向后方向倾斜对水准测量读数造成的误差是( )。
A 偶然误差 B 系统误差
C 可能是偶然误差也可能是系统误差 D 既不是偶然误差也不是系统误差
60、普通水准尺的最小分划为1cm，估读水准尺mm位的误差属于( )。

A 偶然误差 B 系统误差
C 可能是偶然误差也可能是系统误差 D 既不是偶然误差也不是系统误差
2、在1∶2000地形图上，量得一段距离=23.2cm，其测量中误差±0.1cm，求该段距离的实地长度及中误差。
4、在同一观测条件下，对某水平角观测了五测回，观测值分别为：39°40′30″，39°40′48″，39°40′54″，39°40′42″，39°40′36″，试计算：
① 该角的算术平均值？；
② 一测回水平角观测中误差？
③ 五测回算术平均值的中误差？
5、在一个直角三角形中，独立丈量了两条直 角边，，其中误差均为，试推导由，边计算所得斜边的中误差的公式？
17、在相同的观测条件下，对某段距离丈量了5次，各次丈量的长度分别为：139.413、139.435、139.420、139.428m、139.444。试求：
(1) 距离的算术平均值；
(2) 观测值的中误差；
(3) 算术平均值的中误差
(4) 算术平均值的相对中误差。
15、为了求得E点的高程，分别从已知水准点A,B,C出发进行水准测量，计算得到E点的高程值及各段的路线长列于下表中，试求
⑴ E点高程的加权平均值(取位至mm)；78.321m
⑵ 单位权中误差；
⑶ E点高程加权平均值的中误差。
路线
E点
高程值(m)
路线长
(km)
权

改正数
(mm)

A→E
78.316
2.5
0.4

B→E
78.329
4.0
0.25

C→E
78.320
5.0
0.2

Σ

0.85

根据观测误差的性质可分为系统误差和偶然误差。 ( √ )
(1)真误差 (2)中误差 (3)相对误差 (4)容许误差 (5)偶然误差
(6)系统误差
(1)测量误差按其性质可分为：(a)___________________(b)________________。
(2)测量误差主要来自三个方面：(a)____________________________________，(b)______________________________，(c)___________________________。研究测量误差的目的是____________________________________________ ________________________________ 。
(3)测量工作中所谓误差不可避免，主要是指______________误差，而______ _____________误差可以通过计算改正或采用合理的观测方法加以消除或减弱，因此，测量误差理论主要是讨论______________误差。
(4)真差是_______________减_________________；而改正数是____________ 减_____________。
(5)同精度观测是指_________________________________________________
不同精度观测是指_______________________________________________。
(6)某经纬仪，观测者每读一次的中误差为±10"，则读两次取平均值，其中误差为_______； 两次读数之差的中误差为______________；两次读数之和的中误差为____________。
(7)相对误差不能用于评定角度的精度，因为_______________与__________大小无关。
(8)测量规范中要求测量误差不能超过某一限值，常以________倍中误差作为偶然误差的__________，称为___________。
6.1.3 是非判断题
(1)设有一组不等精度观测值L1、L2、L3，L1中误差m1=±3mm，L2中误差m2=±4mm，L3中误差m3=±5mm。据此可求出三组权值∶(a)p1=1，p2=9/16，p3=9/25；(b)p1=16/9，p2=1，p3=16/25；(c)p1=25/9，p2=25/16，p3=1。在求加权平均值时，这三组的权都可以使用。 ( )
(2)设两个变量X与Y，其中误差分别为mx=±30"、my=±20"，则X+Y的中误差为±36"，X-Y的中误差为±22"。 ( )
(3) 对于一组观测列L1、L2、L3....Ln，计算观测值的中误差m有两个公式。欲知观测列内部的符合程度，应选用的公式是（Δ表示真误差）：
m=± ( )
(4)在测量过程中，存在偶然误差，此种误差可以采用一定的观测方法或计算改正数的方法加以消除。 ( )
(5)用同一钢尺在相同条件下丈量两条直线，丈量结果：一条长100米，一条长200米，其相对误差均为1/3000，这说明该两条直线丈量精度相同。( )
6.14 单项选择题
(1)观测值的中误差，其概念是：
(a)每个观测值平均水平的误差； (b)代表一组观测值的平均误差；
(c)代表一组观测值中各观测值的误差；(d)代表一组观测值取平均后的误差。
(2)算术平均值中误差比单位观测值中误差缩小倍，由此得出结论 ：
(a)观测次数越多，精度提高越多；
(b)观测次数增加可以提高精度，但无限增加效益不高；
(c)精度提高与观测次数成正比；
(d)无限增加次数来提高精度，会带来好处。
(3)误差传播定律是用数学的方法建立
(a)各种误差之间关系的定律；
(b)观测值中误差与它函数值中误差关系的定律；
(c)观测值中误差与最或是值中误差关系的定律；
(d)各种误差相互传递的定律。
(4)所谓等精度观测，一般是指
(a)相同技术水平的人，使用同精度的仪器，采用相同的方法，在大致相同外界条件下的观测；
(b)相同技术水平的人，使用同一种仪器、采用相同的方法，在大致相同外界条件下所作的观测；
(c)根据观测数据，计算观测结果的精度是相同时。
(5)计算中误差时，一般多采用最或是误差（似真误差）ｖ来计算，其原因是 (a)观测值的真值一般是不知道的；
(b)为了使中误差计算得更正确；
(c)最或是误差的总和等于零，可作校核计算。
(6)观测值的权是根据下列确定的：
(a)根据未知量的观测次数来确定的；
(b)根据观测值的中误差大小来确定；
(c)根据观测所采用的仪器精度来确定，仪器精度高，权给得大。
(7)某正方形, 丈量了四边, 每边中误差均为m, 其周长之中误差m∑, 正确的计算公式是
(a)m∑=4m； (b)m∑=2m； (c)m∑=×m； (d)m∑=3.14m
(8)在水准测量中, 高差h=a-b, 若ma、mb、mh 分别表示a、b、h之中误差, 正确的计算公式是
(a)mh=ma-mb； (b) mh= (c) mh=
(9)设用某台经纬仪观测一个水平角度3个测回，用观测值的似真误差v计算其算术平均值的中误差M，其计算公式是
(a) (b) (c)
(10)设用某台经纬仪观测6个三角形三内角,其角度闭合差为ωi (i=1,2,3,4,5,6), 测角中误差m计算公式是
(a) (b) (c)
6.1.5 问答题
(1)一组同精度观测的结果，为什么说算术平均值最接近真值？单位观测值的中误差与算术平均值的中误差有什么区别？它们之间有什么关系？
(2)为什么衡量精度的标准要用中误差，而不能用平均误差？单位(权)观测值的中误差与每个观测值的真差有何不同？
(3)中误差和相对误差分别在什么情况下使用？为什么容许误差规定为中误差的二倍或三倍？
(4)何谓有效数字？何谓数字的精度？是否有效数字越多，数字精度就越高？问60.3m与60.30m 这两个数的精度是否相同？为什么？
(5)精密度与准确度这两概念有何区别？试举例说明。
(6)为求一正方形面积，当量距精度相同时，是量一个边计算面积精度高还是量相邻两个边计算面积精度高？试用公式推证之。
(7)试述权的含义，为什么不等精度观测时须引入权的概念？
(8)为什么等精度观测中，总是以多次观测的算术平均值作为未知量的最或然值？观测值的中误差和算术平均值的中误差有什么关系？提高观测成果的精度可以通过哪些途径？
(9)何谓系统误差？它的特性是什么？消除的办法是什么？
(10)何谓偶然误差？它的特性是什么？削弱的办法是什么？
(11)偶然误差有哪些统计规律性？
6.1.6 计算题
(1)在ABC三角形中（图6-1），A角的中误MA=±20″，B角的中误差MB=±30″，求C角的中误差Mc为多少？ 由A 角平分线AO与B角平分线BO和AB组成的三角形△ABO，求O角的中误差Mo为多少？ 图6-1
(2)一个五边形，每个内角观测的中误差为 ±30″，求五边形内角和的中误差为多少？内角和闭合差的容许值为多少？
(3)一段距离丈量四次，其平均值的中误差为±10cm，若想使其精度提高一倍，求该段距离应丈量几次？
(4)设测站O（如下图6-2），α角每次观测的中误差为±40″，共观测四次。 β角每次观测中误差为±30″，共观测四次。求
（a）α角与β角的中误差各为多少？
(b)γ角的中误差为多少？ 图6-2
(5)一段距离分三段丈量，分别量得 S1=42.74m， S2=148.36m，S3=84.75 m，它们的中误差
分别为 m1=±2cm，m2=±5cm，m3=±4cm，试求该段距离的总长S及其中误差ms。
(6)用测回法测量九个点的闭合导线各内角，设某仪器本身的中误差为±3″， 每个方向瞄准中误差为±1″，读数中误差为±6″。求：
(a)一测回角度中误差;
(b)预估其最大角度闭合是多少？
(c)如果要使角度闭合差不超过±30″，每角至少应观测几测回？
(7)采用两次仪器高法进行水准测量，每次读数包含瞄准误差、估读误差及气泡居中不准误差，它们数值分别是 m瞄=±1mm， m估=±0.5mm， m气=±1mm，试求：
(a)一次仪器高测定高差h的中误差mh；
(b)两次仪器高测得高差之差的中误差md；
(c)测站高差平均值中误差Mh。
(8)在比例尺为1:5000的地形图上，量得两点的长度l=23.4mm，其中误差为ml=±0.2mm，求该两点的实地距离L及其中误差mL为多少？
(9)某个角度由两种不同精度的经纬仪观测，第一台观测结果的中误差为 3″，第二台观测结果的中误差为4″，求该角平均值的中误差为多少？
(10)某段距离用20m钢尺往返丈量，其结果往测为 179.952m，返测为 179.990m， 已知该段距离丈量9尺段，每尺段中误差为±0.012m，求往返平均值的中误差及其相对误差和往返较差的相对误差各为多少？
(11)视距测量时，已知尺间隔l的中误差为ml，竖角α的中误差为mα，试推导边长D的中误差mD的计算公式。
(12)在水准测量中，每站观测高差的中误差均为±5mm， 若从已知点推算待定点的高程中误差不大于±2cm，问最多设多少站？
(13)试用误差理论推导下列三角测量测角中误差m的公式。

式中fi为第i个三角形闭合差，n 为三角形个 数。
(14)在三角形中（图6-3）测得a边为150.11± 0.05m，A角为60°24’±20”，B角为 图 6-3
45°10’±15”，求三角形的边长b及边长相对中误差。
(15)有一正方形建筑物，量得一边长为a，其中
误差Ma=±3mm，求周长S及中误差MS？若以相同精度测量其四边，中误差均为±3mm，则周长的中误差MS为多少？
(16)测得AB两点间倾斜距离l=30.000±0.005m，高差h=2.30±0.04m，求AB两点水平距离D及其中误差mD。
(17)水准测量中，设每一测站观测高差的中误差为±4mm，若每公里设9个测站，求一公里水准路线观测高差的中误差为多少？当要路线观测高差的中误差不超过±24mm时，问水准路线长度不应大于多少公里？
(18)某段距离用钢尺进行 6次等精度丈量，其结果列于表中，试计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值的中误差。

序 号
观 测 值L
V
VV
1
256.565

2
256.563

3
256.570

4
256.573

5
256.571

6
256.566

L=

(19)用钢尺丈量两段距离，其成果为： DА=140.85±0.04m DB=120.31±0.03m ； 试求：
(a)每段距离的相对中误差；
(b)两段距离之和(DА+ DB)中误差与两段距离之差(DА- DB) 中误差的相对误差。
(20)在支导线水平角测量中，每站测角中误差mβ =±5″， 从已知方向开始，观测了八个角度，求导线的终边的方位角中误差？欲使终边的方位角中误差不大于±18″，试求支导线最多能设置多少个转折角？
(21)经纬仪一测回的测角中误差 m=±9″，求五个测回平均值的中误差是多少。欲使角度平均值的中误差不大于±3.5″，至少观测几个测回。
(22)三角高程测量已知水平距离D=100.08±0.05m， 竖直角α=15°30′00″±30″，仪器高 i=1.48±0.01m，目标高V=1.00±0.01m，试求两点间的高差h及其中误差mh。
(23)等精度观测五边形各内角两测回，已知一测回测角中误差mβ=±40″，试求：
(a)五边形角度闭合差的中误差mf ；
(b)欲使角度闭合差的中误差不超过±50″，求各角应观测几个测回
(c)调整后各角度的中误差。
(24)如果测量x1及 x2的中误差分别为ｍ1及ｍ2，其权分别为ｐ1及ｐ2， 设单位权中误差μ=1，求函数ｙ=tg(x1/x2) 的中误差ｍy及其权ｐy。
(25)为求得P点高程，从已知三个水准点A、B、C向P点进行水准测量（图6-4）。已知Ha= 50.148m，Hb= 54.032m，Hc= 49.895m，A至P的高差hap= +1.535m，B至P的高差hbp= -2.332m，C至P的高差hcp= +1.780m，路线长度 Lap= 2.4km，Lbp= 3.5km，Lcp= 图6-4
2.0km，求P点的高程Hp及其中误差mp。
(26)用同一架仪器观测某角，第一次观测4个测回得角值β1= 54°12′33″，m1=±6″。第二次观测了6个测回得角值β2= 54°11′46″，m2=±4″。求该角度β及中误差m。
(27)等精度观测一个三角形的内角α、β、γ，已知测角精度为±35″，求三角形的角度闭合差的中误差。若将闭合差平均分配到三角形的三个内角上，求经改正后的三角形各内角的中误差。
4、真误差为 减 。
13、权等于1的观测量称 。
19、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为 。
50、衡量测量精度的指标有 、 、 。
53、权与中误差的平方成 。
59、测量误差产生的原因有 、 、 。
8、系统误差影响观测值的准确度，偶然误差影响观测值的精密度。…………………………( )
4、设对某角观测一测回的观测中误差为±3″，现要使该角的观测结果精度达到±1.4″，需观测( )个测回。
A.2 B.3 C.4 D.5
6、钢尺的尺长误差对距离测量产生的影响属于( )。
A.偶然误差 B.系统误差
C.偶然误差也可能是系统误差 D.既不是偶然误差也不是系统误差
16、丈量一正方形的4条边长，其观测中误差均为±2cm，则该正方形周长的中误差为±( )cm。
A.0.5 B.2 C.4 D.8
20、误差传播定律——
4、真误差为 减 。
13、权等于1的观测量称 。
19、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为 。
50、衡量测量精度的指标有 、 、 。
53、权与中误差的平方成 。
59、测量误差产生的原因有 、 、 。
8、系统误差影响观测值的准确度，偶然误差影响观测值的精密度。…………………………( )
4、设对某角观测一测回的观测中误差为±3″，现要使该角的观测结果精度达到±1.4″，需观测( )个测回。
A.2 B.3 C.4 D.5
16、丈量一正方形的4条边长，其观测中误差均为±2cm，则该正方形周长的中误差为±( )cm。
A.0.5 B.2 C.4 D.8
53、对某边观测4测回，观测中误差为±2cm，则算术平均值的中误差为( )。
A ±0.5cm B ±1cm C ±4cm D ±2cm
20、误差传播定律——
4、在同一观测条件下，对某水平角观测了五测回，观测值分别为：39°40′30″，39°40′48″，39°40′54″，39°40′42″，39°40′36″，试计算：
① 该角的算术平均值？；
② 一测回水平角观测中误差？
③ 五测回算术平均值的中误差？
5、在一个直角三角形中，独立丈量了两条直 角边，，其中误差均为，试推导由，边计算所得斜边的中误差的公式？

计算题14

15、为了求得E点的高程，分别从已知水准点A,B,C出发进行水准测量，计算得到E点的高程值及各段的路线长列于下表中，试求
⑴ E点高程的加权平均值(取位至mm)；78.321m
⑵ 单位权中误差；
⑶ E点高程加权平均值的中误差。
路线
E点
高程值(m)
路线长
(km)
权

改正数
(mm)

A→E
78.316
2.5
0.4

B→E
78.329
4.0
0.25

C→E
78.320
5.0
0.2

Σ

0.85

17、在相同的观测条件下，对某段距离丈量了5次，各次丈量的长度分别为：139.413、139.435、139.420、139.428m、139.444。试求：
(1) 距离的算术平均值；
(2) 观测值的中误差；
(3) 算术平均值的中误差
(4) 算术平均值的相对中误差。
17、下列误差中（ ）为偶然误