旋转题型及解法.doc

旋转题型及解法小结（2014-9-22）
基础知识及概念
1，旋转的图形（1）定义：将一几何图形围绕一定点(旋转中心)按一定方向（在平面内）旋转一定角度（2）性质：a：对应点到旋转中心的距离相等。b:对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。C:旋转前、后的图形全等。（3）三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度。
2中心对称（1）定义：将一图形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。（2）性质：a：对称点所连线段都经过对称中心，而且被中心对称所平分。b:中心对称的两个图形是全等图形。
3，中心对称图形（1定义：把一图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。（2）性质：a：两对对称点连线的交点，就是中心对称点。对称点所连线段都经过对称中心，而且被中心对称所平分。B:任何一条经过对称中心的直线把一个中心对称图形分成全等的两部分。
题型及解法
一、基础知识及概念题
1、对应点，角，边的确定。
此类问题比较简单，一般容易得到解决。重点关注在直角坐标系中对应点坐标的确定。主要有：
1）某点（a,b）旋转后的对应点坐标。
2）某点（a,b）关于原点对称的点坐标。
3）某点（a,b）关于X,Y轴对称的点的坐标。
2、中心点的确定。
1） 确定旋转中心的方法：若旋转中心在图上，那一点在旋转过程中位置没有改变 ，那一点就是旋转中心；若在图形外，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心。见一般习题。
2）确定中心对称、中心对称图形中心的方法：对应点连线的中点或两对对应点连线的交点，就是中心对称点。见一般习题
3、 旋转角度的确定
基本方法 : 一对对应点与对称中心连线的夹角
例，如图，等腰直角三角形ABC按逆时针方向转动一个角度后成△ABˋCˋ,且ABˋ⊥BC, 垂足为点O,请问：
1）图中旋转中心是那一点？
2）旋转了多少度？
3）经上述旋转后，所得到的BˋCˋ边与AC边的位置关系怎样？

4、 旋转方法的确点
基本方法： 围绕那一点？按顺时针还是逆时针方向旋转？旋转多少角度？
例，如图，等边△ABC经过平移后成为△BDE，其平移的方向为点A到点B的方向，平移的距离为线段AB的长，△BDH能否看着是△ABC经过旋转得到的？如果能，请指出要经过怎样旋转才能实现？

5、 旋转作图
1） 已知旋转中心和一对对应点作图
方法要点： 对应点与旋转中心等距，每对对应点与旋转中心连线夹角相等
例，如图，△ABC绕点O顺时针旋转后，顶点A的对应点为Aˋ，试确定旋转后的△AˋBˋCˋ

2） 网格中的旋转作图（方法同上）
例，如图，在方格纸上做出△ABC关于点O按顺时针方向旋转90度后的图形。

3） 作中心对称图形
方法要点： 一点与中心点连线反向延长线等距离处即为其对应点
例，如图，画出五边形ABCDE关于点O成中心对称的五边形A′B′C′D′.

4） 利用关于原点或轴对称作图形
方法要点： 同作中心对称图形
见一般习题
6、图案设计
1)中心对称图形识别判定， 见一般习题。2）确定图案中的“基本图形”， 见一般习题。3）利用“基本图形”，采取平移、轴对称和旋转中的一种或几种进行图案设计， 见一般习题。4）中心对称，轴对称的识别判定， 见一般习题。
二、 利用性质求解问题
专题1 旋转及其性质
图形旋转过程中，只是位置改变了，而图形的形状，大小都没有改变，即对应边、对应角相等，旋转的这些特征常用来求解旋转角度、求线段长度、证明线段相等或解决不规则图形的面积等问题。
1、 求解旋转角度
方法要点：一对对应点与对称中心连线的夹角
例，如图，等腰直角三角形ABC按逆时针方向转动一个角度后成△ABˋCˋ,且ABˋ⊥BC, 垂足为点O,请问：
1）图中旋转中心是那一定？2）旋转了多少度？3）经上述旋转后，所得到的BˋCˋ边与AC边的位置关系怎样？

2、求解线段的长？
a,直接比较对应边计算：例1，如图2-2，将三角形OAB绕点O逆时针旋转至三角形OAˋBˋ,使点B恰好落在边A′B′上，已知AB＝4,BB′＝1, 则A′B的长是多少？

b,利用勾股定理计算 ：例2，p是等腰直角三角形ABC 内 一点，∠A＝90度，将三角形ABP绕点A逆时针旋转后，能与三角形ACP′重合，如果AP＝3,求PP′.

C,利用三角形全等证明，勾股定理计算：例3，如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG,EF交AD于点H，求DH长？

3、解决线段相等问题（方法要点：a,通过旋转将分散线段合在一起证明，如例4；b,通过旋转利用三角形全等证明，如例5）
例4，如图，p是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交边BC于点Q,试说明AP＝DP＋BQ

例5，如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且∠EAF=45°,AH⊥EF于H,求证：AH=AB

4， 求解图形的面积
方法要点： 通过旋转将分散面积和在一起（见例6）或将不规则图形变为规则（见例7、例7′）
例6, 如图是一块直角三角形的土地，现在要在这块土地上挖一个正方形的浴池AEDF,已直角三角形的土地两条斜边分别为20和30，则直角三角形的土地点面积之和是多少？

例7，两个边长为1的正方形，如图正方形OFGH的顶点O与正方形ABMN的顶点重合，正方形ABMN固定不动，正方形OFGH绕正方形ABMN的中心旋转，问：在旋转过程中，两个正方形重叠部分的面积是否发生变化？并说明理由。

例7′，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°,AB=AD,AC=1,∠ACD=60°,求四边形ABCD的面积。

6、 巧添辅助线求解问题
方法要点：常见辅助线做法
1） AB=AC,将△ABD旋转至△ACD

2)AC=BC,∠C=90°将△CDB旋转至△CAD

3)AB=BC=CD=DA,∠C=90°将△ADE旋转至△ABE

4)△AEB,△ACD是不同等边三角形，连接BD,EC

5)四边形ACEF、四边形AMNB是不同正方形，连接BF,CM

例8，如图，p是等边三角形ABC内部一点，∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比是5﹕6﹕7则以AP,BP,PC的长为边的三角形的三个内角大小之比是多少？

例9，如图在直角三角形ABC中，∠C＝90度，AC＝1,BC＝√3,的O为直角三角形ABC内一点，连接AO,BO,CO,且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120度，按下列要求画图（保留画图痕迹），以点B为旋转中心，将△AOB顺时针方向旋转60度，得到△A′O′B，并回答下列问题。
∠ABC＝ ∠A′BC＝ OA＋OB＋OC＝

例10，如图，在△ABC中，M是BC的中点，E,F分别在AC,AB上，且ME⊥MF，求证：EF＜BF+CE

专题2 中心对称和中心对称图形
中心对称是两个图形之间的关系，是一种特殊的旋转。而中心对称图形是一个特殊的图形。这个图形围绕着某一个点旋转180度后能与自身重合。中心对称或中心对称图形的性质常常与证明线段相等、线段平行、三角形全等等知识联系起来综合应用。要注意“对应点之间的线段被某一点平分”。这既是中心对称的性质，又是判定。
例11，如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A在X轴上，顶点B的坐标为（6,4）.若直线L经过点（1,0）,且将□OABC分割成面积相等的两部分，求直线L的函数解析式。

例12，如图，点O是矩形ABCD的对称中心，过点O任意作直线L，并过点B作BE⊥于E，过点D作BF⊥于F.求证BE＝DF

例13，如图，在△ABC中，D是AB的中点，AB＝5,AC=13,BC边上的中线AD=6,求BC的长？

专题3 图案设计
图案设计要突出“主题”，设计图案点意思要简捷、自然、，方法同上述一（6）。