均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡方法(最终).doc

均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡法
LU Ai-zhong, ZHANG Ning

Institute of Hydroelectric and Geotechnical Engineering, North China Electric Power University,
Beijing 102206, China
摘要：本文假定坡体滑动前为只受到重力作用的弹性体，在坡体应力分布已知的情形下，根据坡体滑面所满足的Mohr-Coulomb准则，利用极限平衡法对坡体进行稳定分析。所提出的方法与以往方法不同，不用将滑体划分成垂直条块，不用假定滑面上的法向应力分布形式，而是直接利用坡体的弹性应力解进行求解。当已知坡体的容重、粘聚力、内摩擦角、坡角和坡高时，可以获得求解最小安全系数及相应滑面位置的显式表达式；当已知坡体的、、时，若给定设计坡角及安全系数，则可以通过显式表达式求出坡体所能达到的最大坡高，由此式推演的直立坡体极限高度及相应滑面位置与Terzaghi和塑性理论获得的结果完全相同，并通过获得的公式证明了：只有当坡角大于坡体的内摩擦角时，边坡才有发生滑动的可能，这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的；当已知坡体的、、时，若给定设计坡高及安全系数，则可以通过一个非线性方程求出坡体所能达到的最大坡角。
关键词：边坡稳定分析；弹性极限平衡法；安全系数；最大坡高；最大坡角；解析解
1、引言
极限平衡法是边坡稳定性分析中最早出现的方法。早期的极限平衡法主要有:Fellenius法(1936)、Bishop法(1965)、Janbu法(1973)、Morgenstern-Price法(1965)、Spencer(1967)、Sarma法(1973，1974)。几十年来，极限平衡法一致被广泛应用。极限平衡法的基本假设是边坡变形破坏时，滑面为平面或圆弧面，滑面满足Mohr-Coulomb破坏准则。计算时，将滑动体一般划分成若干个垂直条块，并假定每个条块为刚体，各种方法的主要区别在于相邻条块之间内力的假定不同。方法的实质是通过各条块的静力平衡方程对边坡安全系数进行求解。
极限平衡法自提出以来，得到了不断的改进和发展。Maslov(1990), Zhu (2002), Zheng (2009) sequentially proposed some analytical methods that satisfies the conditions of equilibrium and permits calculation without dividing the sliding mass into vertical elements (columns or slices)；All methods are based on different assumption regarding the normal stress distribution along the slip surface. Espinoza and Muhunthan(1994), Zhu(2003)试图建立一个统一的框架来包容所有的极限平衡法。
极限平衡法虽然有很好的应用价值，但在理论上存在一定的缺陷，譬如：将坡体视为不可变形的刚体，这与实际情形不符，实际边坡从变形到破坏的整个过程中都是一个变形体；相邻条块之间内力或the normal stress distribution along the slip surface假定是否合理？求解时只是利用了平衡方程，是否满足变形协调方程？这是经典极限平衡法无法问答的问题。
Zhang(1999)提出了Slope stability analysis based on the ideas of the limit analysis and the rigid finite element method to avoid条块间内力假定的drawbacks。Jiang and Magnan(1997)将limit analysis与methods of slices进行了比较。
随着计算技术的发展，有限元法在边坡稳定性分析中得到了应用，这类方法将边坡视为可变形的弹性体，可以采用精确的本构关系，避免了极限平衡分析法中将滑体视为刚体而过于简化的缺点。这可以保证边坡在滑动前不但满足平衡方程，而且满足变形协调方程，但传统的有限元法不能直接求得边坡安全系数。Giam and Donald(1988)提出了一种由有限元计算得到的应力场确定临界滑动面及最小安全系数的模式搜索方法；Kim and Lee(1997)也提出了相应的方法。Ugai(1989)，Matsui and San(1992)，Griffths(1999)利用强度折减法通过不断增大折减系数，直至边坡发生失稳破坏，将此时的折减系数定义为边坡的安全系数。但此类方法计算工作量较大，定义的安全系数物理含义也不够明确。
能否如何寻求一种物理意义明确、假设条件较少，计算工作量又小的边坡稳定分析方法，这正是本文要研究的问题。
2、弹性极限平衡方法原理
本文假定坡体只受到重力作用，坡体滑动前为弹性体。将坡体视为平面应变问题，在坡体应力分布已知的情形下，根据坡体滑面所满足的Mohr-Coulomb准则，利用极限平衡法对坡体进行稳定分析。Hou(2009)最早利用坡体弹性应力解，在假定滑面为平面的情形下用算例对坡体进行了稳定分析，但没有获得便于应用的解析解，并且文中定义的安全系数为抗滑力矩和滑动力矩之比，这也值得商榷，对平面滑动应该利用抗滑力和滑动力定义安全系数。

图1　可能滑面AB上任一点所受到的法向正应力和切向剪应力
本文也假定滑面为平面，对于均匀岩质边坡，滑面一般为平面，定义抗滑力和滑动力之比为安全系数。对于岩质或土质边坡，只要其材料组成大致均匀，就可以简化成如图1所示的下部及右侧无限长的均质弹性体，其顶面水平，边坡倾角为。坡体只受到重力作用时，若岩体的容重为，则利用平面弹性力学的逆解法，可以求出坡体内每一点的应力分量为(Gu，1994)：
(1)
本文规定以压应力为正。根据式(1)给出的、向的正应力、及剪应力，可以求出曲线上任一点的法向正应力和切向剪应力(图1)：
(2)
式中
(3)
根据前面的定义，则安全系数为
(4)
式中，分别为坡体的粘聚力和内摩擦角。表示滑面达到极限平衡状态时所能提供的抗滑力，表示坡体AOB实际受到的滑动力。将式(1)-(3)代入式(4)，可得
(5)
式(5)是关于函数的一个泛函，通过点B，使式(5)达到最小的曲线就是坡体的可能滑动面。若，则坡体AOB必沿滑动；若，则坡体AOB处于临界滑动状态；若，则坡体AOB一定处于稳定状态。寻求的过程实际是一个泛函极值问题，的形状取决于，的大小。为了简单起见，本文只讨论滑面为一平面的情形，即为一直线。设可能滑面与水平面的夹角为(图2)，则式(5)关于函数的泛函极值问题转化为关于待求变量的函数极值问题。

图2 坡体的可能平面滑动位置
3、坡体稳定系数及相应滑面位置的确定
由图2可得可能滑面的直线方程为
(6)
将式(1)，(2)代入式(4)，则式(4)中的为
(7)
将式(6)代入式(7)得

(8)
式(8)中
，

将上面这些式子代入式(8)可得：
(9)

同理可得式(4)中的为

由此可得
(10)
由式(4)，(9)，(10)可得安全系数为
(11)
由式(11)可以看出：是的函数，当和时，，这说明式在区间具有极小值。图3给出了，，，，而分别取，二种坡角情形下，不同所对应的安全系数。由图3的确可以看出：在内，具有极小值。

图3　分别为，时，不同所对应的
令时，达到极小值，则由可得
(12)
当已知时，由式(12)可以求出使达到极小的，式(12)是关于的一元二次方程，其解为
(13)
由式(13)可以求出可能的滑面倾角。将求得的代入式(11)可得坡体的最小安全系数为
(14)
当给定时，代入式(14)，可以求出，根据的大小可以判定坡体是否稳定。
4、当给定时，最大坡高的确定
当已知坡体的容重、粘聚力、内摩擦角时，若给定设计坡角及安全系数，则为保持坡体稳定所能达到的最大坡高可以通过以下的过程进行求解。由得：
(15)
由式(15)可以求出
(16)
由式(16)求出后，则由式(14)可以得到最大坡高
(17)
式(17)就是为保证安全系数，坡体所能达到的最大坡高。
由式(17)可以看出：时，才能保证，由此得：，若，则，又因，所以
(18)
即只有时，边坡才存在极限高度，而当时，边坡的极限高度可以为无穷大。也就是说，当时，无论坡体多高，边坡总是稳定的。这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的。
式(16)，(17)适用于，时为直立坡体，为了与已有的解析结果进行比较，下面求出直立坡体的极限垂直高度和相应滑面的倾角。当，时，由(16)，(17)可得
(19)
20)
即直立坡体达到极限高度时，滑动面与水平面的夹角为，式(19)，(20)与Terzaghi(1967)和根据塑性理论获得的结果完全相同。
由式(17)、(20)可以看出：与粘聚力成正比，与成反比。令，则由式(17)可得
(21)

通过算例可知，与成正变，与成反变关系。图4给出了，，，而分别取，时，随坡角的增大而减小，随的增大而增大的变化规律。

图4 随坡角的增大而减小，随的增大而增大的变化规律
5、当已知时，最大坡角的确定
当已知坡体的、、时，若给定设计坡高及安全系数，则为保持坡体稳定所能达到的最大坡角可以通过以下的过程进行求解。
将式(14)，(16)中的换为得：
(22)
(23)
当已知时，将式(23)代入式(22)，可以得到一个只含有的非线性方程，利用数值方法可以求出最大的坡角。在区间，只有当时，才有解，而时，最大坡角都为。
图4给出了，时，而，分别取，；，=30°；，=20°；，=30°四种情形下，安全系数随，和坡角的变化规律。可以看出：当坡高一定时，，越大，稳定系数越大，而随坡角的增大而减小。

图5　安全系数随和坡角的变化规律
前三种情形都满足，则由式(22)，(23)可以求出时所对应的最大坡角分别为：62.9°，72.6°，86.4°，第四种情形满足条件，即最大坡角为90°，所对应的，实际上由图5也可以看出这个结果。
6、结论
对于岩质或土质边坡，只要其材料组成大致均匀，就可以简化成均质的楔形弹性体，若坡体只受到重力作用，则可利用弹性力学的逆解法，求出坡体的各个应力分量。本文基于坡体为弹性库仑材料的假定条件，提出了均质边坡平面滑动稳定分析的弹性极限平衡方法，该方法物理意义明确，假设条件较少，不像以往的方法，将滑动体划分成垂直条块或假定滑面上的法向应力分布形式，而直接利用已有的坡体弹性应力解，对坡体进行稳定分析。所得到的计算公式简单明了，大都为显式表达式，便于分析坡体各个力学参数和几何参数对坡体稳定性的影响。并通过获得的解析表达式证明了：只有当坡角大于坡体的内摩擦角时，边坡才有发生滑动的可能，这与H.H.马斯洛夫(1949)，陈克诚(1978)获得的结果是相同的；对于直立坡体，获得的极限高度及相应滑面位置与Terzaghi和塑性理论获得的结果也是相同的。

Contract/grant sponsor: Natural Science Foundation of China; contract/grant numbers: 50874047

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