1、《平方根》典型例题
例1 说出一个正数的算术平方根与平方根的区别与联系．
解（1）一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根．
（2）一个数的算术平方根与平方根的平方都等于这个数．
例2 如图，把12个边长为1cm的正方形拼在一起．
（1）算出A点到B、C、D、E、F之间的长度．
（2）以图中A、B、C、D、E、F中的三个点为顶点的三角形中有没有等腰三角形？如果有写出这些三角形，并说明它们为什么是等腰三角形．“
分析 利用勾股定理可以算出A点与C、D、E、F各点的距离．（2）找到某一点到另外两个点的距离相等
2、就可以确定由这三个点为顶点的三角形是等腰三角形．
解 （1）cm．cm．
cm．
cm．
cm．
（2）图中是等腰三角形，因为cm，因此是等腰三角形．
又因为cm，因此是等腰三角形．
例3 在直角三角形中，是两条直角边，c为斜边，若，求c的长（精确到0.01）
分析 根据勾股定理，代入相关的数据，利用求平方根的方法可求出c的值．
解 ，且，
∴．
例4 求下列各数的平方根．
（1）9 （2） （3）0.81
解：（1）∵
∴9的平方根是，即．
（2）∵，，
∴的平方根是，即
（3）∵
∴0.81的平方根
3、是，即．
说明：①命题目的：给出一个正数，会求出平方根．
②解题关键：一个正数有两个平方根并互为相反数．
③错解剖析：容易犯漏掉负的平方根的错误．
例5 求下列各数的平方根和算术平方根．
（1）0.0064 （2） （3） （4）
解答 （1）因为，所以0.0064的平方根是算术平方根是0.08．
（2）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是．
（3）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是．
（4）因为，而，所以的平方根是，它的算术平方根是7．
说明 本题考查求平方根和求算术平方根的方法．
因为一个正数的平方根有两个，不要遗漏负的平方根．
4、当被开方数是带分数时，应把带分数化为假分数，然后再求平方根，当被开方数是一个数字算式时，要先算出这算式的值，再求它的平方根，不这样做，容易造成错误．例如，说平方根是，就错了．
例6 求下列各式中的x：
（1） （2）．
分析 根据平方根的定义，或，则，其中（2）中看成一个整体，先求出的值，再求x的值．
解答：（1）∵ ，即．
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
当时，；
当时，．
例7 已知，且x是正数，求代数式的值．
分析 只要求出x的值，代入代数式就可以了，关键是解已知方程．
解答1：由得，∴，又∵，∴．
当时，
解答2 由，得，即，
∴．把代入，
5、得
例8 如果，求的值．
分析 已知条件是含三个未知数的等式，一般很难求出未知数的值，但注意到算术平方根非负这一条件可解．
解答 ∵
∴
∵
∴应有
解得
说明 求解本题的关键抓住了算术平方根非负这一隐含条件，如果若干个非负数的和为零，则每个非负数都必须为零．
例9 选择题：下列命题
（1） （2）
（3）的平方根是； （4）的算术平方根是；
（5）是的平方根； （6）0的平方根是0，0没有算术平方根；
（7）的算术平方根是.
中真命的个数是（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3
6、D）4
分析：判断上述命题的真假，要依靠各自本身的定义.
（1）
不是的算术平方根.
故（1）是假命题.
（2）题中是算术平方根，其结果是唯一的，不可能是两个值，所以（2）也是假命题.
（3）题中，由平方根性质：负数没有平方根. 所以（3）也是假命题.
（4）中的算术平方根应是正数，而是个负数，不符合算术平方根的定义. 故（4）也是假命题.
（5）
的平方根是. 此为真命题.
（6）0的平方根0就是0的算术平方根，故（6）题也不正确.
（7）求的算术平方根，应是对进行开方运算，而非平方运算. 故此命题也不是真命题.
解答：应选（A）
说明：平方根、算术平方根是非常重要的概念.
其共同点：平方根和算术平方根都是对非负数的开方运算，0的平方根和算术平方根都只有一个0；其不同点是：一个正数的平方根有两个，两算术平方根只有一个；它们的联系是：算术平方根是平方根中的正的平方根.
例10 如果一个数的平方根是与，那么这个数是多少？
分析：首先我们观察题目中给出的是一个正数的两个平方根，根据平方根的性质可知它们互为相反数，其和为0.
解答：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以，解得,当时，，即两个平方根分别为7和，故原数为49
说明：关键抓住一个正数的两个平方根的性质，转化为求方程的解.
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