流体力学第五章.pdf

Shanghai Jiao Tong University第五章流体旋涡运动第五章流体旋涡运动Shanghai Jiao Tong University涡量涡量(vorticity)用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：用来描述流体微团的旋转运动。涡量的定义为：V=25.1 涡量场涡量场涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：涡量是点的坐标和时间的函数。它在直角坐标系中的投影为：xwvyz=yuwzx=zvuxy=在流场的全部或部分存在角速度的场，称为在流场的全部或部分存在角速度的场，称为涡量场涡量场。如同在速度场中引入了流线、流管。如同在速度场中引入了流线、流管(流束流束)和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。和流量一样。在涡量场中同样也引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。Shanghai Jiao Tong University5.2 涡线涡线涡线涡线(vortex line)定义定义:某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为，取过该点涡线上的微元矢量为，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉乘积为某一瞬时漩涡场中的一条曲线，曲线上任意一点的切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致。由定义推导出其微分方程，设某一点上流体微团的瞬时角速度为，取过该点涡线上的微元矢量为，根据定义，这两个矢量方向一致，矢量叉乘积为0，即，即kjizyx+=kdzjdyidxsd+=0=sdzyxdzdydx=这就是涡线方程。这就是涡线方程。Shanghai Jiao Tong University5.3 涡管和涡丝涡管和涡丝涡管(涡管(vortex tube)定义:)定义:某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。某一瞬时，在涡量场中任取一封闭曲线c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些涡线形成封闭的管形曲面。如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为如果曲线c构成的是微小截面，那么该涡管称为微元涡管微元涡管。横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为。横断涡管并与其中所有涡线垂直的断面称为涡管断面涡管断面，在微小断面上，各点的旋转角速度相同。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为，在微小断面上，各点的旋转角速度相同。涡管中充满着的作旋转运动的流体称为涡束涡束，微元涡管中的涡束称为，微元涡管中的涡束称为微元涡束微元涡束或或涡丝(涡丝(vortex filament)。)。CShanghai Jiao Tong University5.4 旋涡强度旋涡强度旋涡强度旋涡强度，也称，也称涡通量涡通量(vortex flux)，定义如下：，定义如下：在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为微元涡管的涡通量(旋涡强度)，即在微元涡管中，二倍角速度与涡管断面面积dA的乘积称为微元涡管的涡通量(旋涡强度)，即dAdAnAddJn2)cos(2=对有限面积，则通过这一面积的涡通量应为对有限面积，则通过这一面积的涡通量应为dAdAJnAA=2如果面积如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度旋涡强度，它也是旋转角速度矢量的，它也是旋转角速度矢量的通量通量。旋涡强度不仅取决于旋度，而且取决于面积。旋涡强度不仅取决于旋度，而且取决于面积A。Shanghai Jiao Tong University5.5 速度环量速度环量速度环量速度环量(velocity circulation)定义定义：在流场的某封闭周线上，流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即：在流场的某封闭周线上，流体速度矢量沿周线的线积分，定义为速度环量，用符号 表示，即:coslllv dlvdl=rr?表示速度矢量与该点切线方向的夹角。将上式写成标量积的形式为表示速度矢量与该点切线方向的夹角。将上式写成标量积的形式为()lllv dludxvdywdz=+rr?速度环量是速度环量是标量标量，有，有正负号正负号，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。，规定沿曲线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针绕行的方向为负方向。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时为参变量。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算，积分时为参变量。Shanghai Jiao Tong University5.6 Stokes定理定理Stokes定理定理:在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即在涡量场中，沿任意封闭周线的速度环量等于通过该周线所包围曲面面积的旋涡强度，即:()2nAAAv dlvd Ad AdAJ=rrrururur?这一定理将这一定理将旋涡强度旋涡强度与与速度环量速度环量联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。联系起来，给出了通过速度环量计算旋涡强度的方法。Shanghai Jiao Tong University涡线，涡管涡线，涡管流线，流管流线，流管涡通量(旋涡强度)涡通量(旋涡强度)流量流量Stokes 定理：线积分定理：线积分 面积分面积分Gauss 定理：面积分定理：面积分 体积分体积分()Av dlvd AJ=rrrur?()()SdSd=V nV?0 0 速度环量速度环量0源汇强度源汇强度5.6 Stokes定理定理Shanghai Jiao Tong University5.6 Stokes定理定理例子1：例子1：已知二维流场的速度分布为，试求绕圆的速度环量。已知二维流场的速度分布为，试求绕圆的速度环量。3uy=4vx=222Ryx=+解：解：此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:此题用极坐标求解比较方便，坐标变换为:cosrx=sinry=速度变换为：速度变换为：cossinrvuv=+cossinvvu=22sin3cos4rrv+=22220022222222200(4 cos3 sin)(4cos3sin)6cos7v rdrrrdrdrrdr =+=+=+=Shanghai Jiao Tong University5.6 Stokes定理定理例子例子2：一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径的圆区域内，流体的涡通量。若流体微团在半径一二维涡量场，在一圆心在坐标原点、半径的圆区域内，流体的涡通量。若流体微团在半径r处的速度分量为常数，它的值是多少？处的速度分量为常数，它的值是多少？mr1.0=smJ/4.02=v解：解：由由Stokes定理得：定理得：202v rdrvJ=smrJv/21.024.02=Shanghai Jiao Tong University5.7 涡量场的特性涡量场的特性 涡量场的空间特性涡量场的空间特性 涡量场的时间特性涡量场的时间特性Shanghai Jiao Tong University5.7.1 涡量场的空间特性涡量场的空间特性涡量场的空间特性涡量场的空间特性(旋涡强度空间保持定理旋涡强度空间保持定理)2=V涡量：涡量：()0SVVd AdVdV=Vur?由张量公式，知道涡量的散度为由张量公式，知道涡量的散度为0：()0=V因此：因此：表明通过任一封闭曲面的涡通量为表明通过任一封闭曲面的涡通量为0。KShanghai Jiao Tong University5.7.1 涡量场的空间特性涡量场的空间特性因此：因此：1)涡管中任一横截面上的涡通量(旋涡强度)保持同一常数。涡管中任一横截面上的涡通量(旋涡强度)保持同一常数。(Helmholtz第一定理第一定理)2)涡管不能在流体中产生或消失。涡管的横截面积在流体中趋于涡管不能在流体中产生或消失。涡管的横截面积在流体中趋于0时，涡量将趋于无穷，这在物理上是不可能的。时，涡量将趋于无穷，这在物理上是不可能的。流场中的涡管只能有以下三种形式：流场中的涡管只能有以下三种形式：K1)两端都延伸到无穷远；2)形成封闭涡环；3)中止于物面或其它界面。1)两端都延伸到无穷远；2)形成封闭涡环；3)中止于物面或其它界面。Shanghai Jiao Tong University5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性Thomson定理定理(也称为也称为Kelvin定理定理)：理想、不可压或正压流体理想、不可压或正压流体*，在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化，即：，在有势的质量力作用下，沿任何封闭流体周线的速度环量不随时间变化，即：0=dtdK*密度仅是压力函数的流体称为密度仅是压力函数的流体称为正压流体正压流体，密度是温度和压力的函数的流体称为，密度是温度和压力的函数的流体称为斜压流体斜压流体。Shanghai Jiao Tong University5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性证明：证明：在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线在流场中任取一由流体质点组成的封闭周线K，它随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿该线的速度环量的时间全导数为：，它随流体的运动而移动变形，但组成该线的流体质点不变。沿该线的速度环量的时间全导数为：()ddudxvdywdzdtdt=+?分步积分后为：分步积分后为：()()()dddudxvdywdudvdwdxdydzdtdtddzdtddtttddt+=+?KShanghai Jiao Tong University由于质点线由于质点线K始终由同样的流体质点组成，所以始终由同样的流体质点组成，所以()ddxdudt=()ddydvdt=()ddzdwdt=2222()()()2(2)()uduvdvwdwuvwdddudxvdywdzdtVdtdtdd=+=+?因此方程左边第一项为：因此方程左边第一项为：5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性Shanghai Jiao Tong University由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为:由理想流体的欧拉动量方程，方程右边第二项可表示为:()11111xyzxyzpppfdxfdyfdzxyzpppf dxf dyf dzddudvdwdxdydzdtdxdydzxyzpdfdpdftdtd=+=+=+?5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性Shanghai Jiao Tong University整理上面的结果，可以得到：整理上面的结果，可以得到：202dVpdfdt=?常数=Kelvin定理定理(旋涡强度时间保持定理旋涡强度时间保持定理)：理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，沿任一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中恒定不变。理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，沿任一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中恒定不变。5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性Shanghai Jiao Tong University推论：推论：(Lagrange定理定理，也称为，也称为旋涡不生不灭定理旋涡不生不灭定理)理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，如果初始时刻在某部分流体是无旋的，则在以前或以后任一时刻中这部分流体始终无旋；反之，若有旋，则始终有旋。)理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，如果初始时刻在某部分流体是无旋的，则在以前或以后任一时刻中这部分流体始终无旋；反之，若有旋，则始终有旋。5.7.2 涡量场的时间特性涡量场的时间特性Shanghai Jiao Tong University5.8 Helmholtz定理定理Helmholtz关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是研究理想流体有旋流动的基本定理。关于旋涡的三个定理，解释了涡旋的基本性质，是研究理想流体有旋流动的基本定理。1.Helmholtz第一定理第一定理(旋涡强度空间保持定理旋涡强度空间保持定理)：在理想、不可压或正压流体在理想、不可压或正压流体、体积力有势的有旋流场中，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。体积力有势的有旋流场中，同一涡管各截面上的旋涡强度相同。1a2a2b1b1A2A在同一涡管上任取两截面在同一涡管上任取两截面A1、A2，在，在A1、A2之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段之间的涡管表面上取两条无限靠近的线段a1a2和和b1b2。由于封闭周线。由于封闭周线a1a2b2b1a1所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据所围成的涡管表面无涡线通过，旋涡强度为零。根据Stokes定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：定理，沿封闭周线的速度环量等于零，即：Shanghai Jiao Tong University5.8 Helmholtz定理定理=+=1 2 2 1 11 22 22 11 1a a b baa aa bb bba01a2a2b1b1A2A由于而，故得由于而，故得01221=+bbaa2222abba=2211abab=同样该定理说明，在理想、不可压或正压流体、体积力有势的流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。同样该定理说明，在理想、不可压或正压流体、体积力有势的流体中，涡管既不能开始，也不能终止。但可以自成封闭的环形涡管，或开始于边界、终止于边界。Shanghai Jiao Tong University5.8 Helmholtz定理定理2.Helmholtz第二定理第二定理(涡管保持定理涡管保持定理)：理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，流场中的涡管始终由相同的流体质点组成。KK为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由为涡管表面上的封闭周线，其包围的面积内涡通量等于零。由Stokes定理知，周线定理知，周线K上的速度环量应等于零；又由上的速度环量应等于零；又由Thomson定理，定理，K上的速度环量将永远为零，即周线上的速度环量将永远为零，即周线K上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。上的流体质点将永远在涡管表面上。换言之，涡管上流体质点将永远在涡管上，即涡管是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。Shanghai Jiao Tong University5.8 Helmholtz定理定理K推论：推论：1)涡面保持定理：1)涡面保持定理：在某一时刻组成涡面的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡面，即涡面是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。在某一时刻组成涡面的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡面，即涡面是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。2)涡线保持定理：2)涡线保持定理：在某一时刻组成涡线的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线，即涡线是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。在某一时刻组成涡线的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线，即涡线是由相同的流体质点组成的，但其形状可能随时变化。Shanghai Jiao Tong University5.8 Helmholtz定理定理3.Helmholtz第三定理第三定理(涡管强度保持定理涡管强度保持定理)：理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。理想、不可压或正压流体，在有势的质量力作用下，任一涡管强度不随时间变化。若周线若周线K为包围涡管任意的截面为包围涡管任意的截面A的边界线。由的边界线。由Thomson定理知，该周线上的速度环量为常数。根据定理知，该周线上的速度环量为常数。根据Stokes定理截面定理截面A上的旋涡强度为常数。因为上的旋涡强度为常数。因为A为任意截面，所以整个涡管各个截面旋涡强度都不瞬时间发生变化，即涡管的旋涡强度不随时间变化。为任意截面，所以整个涡管各个截面旋涡强度都不瞬时间发生变化，即涡管的旋涡强度不随时间变化。由由Helmholtz三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能量，使涡管强度逐渐减弱。三定理可知，粘性流体的剪切应力将消耗能量，使涡管强度逐渐减弱。Shanghai Jiao Tong University5.9 旋涡的形成机理旋涡的形成机理前面讨论旋涡在空间和时间上的保持特性的前提条件是，前面讨论旋涡在空间和时间上的保持特性的前提条件是，理想流体理想流体，流体正压流体正压，体积力有势体积力有势。反之，旋涡可能生成或消失，因此旋涡的形成原因就可能有三各方面：。反之，旋涡可能生成或消失，因此旋涡的形成原因就可能有三各方面：1)流体的粘性；流体的粘性；2)流场是非正压的；流场是非正压的；3)质量质量(体积体积)力无势。力无势。Shanghai Jiao Tong University5.9 旋涡的形成机理旋涡的形成机理1.先看理想流体，质量力有势，但流场非正压的情况1.先看理想流体，质量力有势，但流场非正压的情况此时此时Euler方程为：方程为：DDpt=V对于任一封闭流体线对于任一封闭流体线L，速度环量的物质导数为：，速度环量的物质导数为：()2DDDD1LLLLLLSSppdldldldldttppdldSpdS=V?这里这里S是以是以L为边界的曲面，其法向与为边界的曲面，其法向与L的正向构成右手系。的正向构成右手系。Shanghai Jiao Tong University5.9 旋涡的形成机理旋涡的形成机理如果流场是正压的，有如果流场是正压的，有()0pp=。0,p 但现在因此0DDt对于非正压流体，由于等压面和等密度面不重合，随着时间的推移，速度环量将发生变化，旋涡会产生和消失。对于非正压流体，由于等压面和等密度面不重合，随着时间的推移，速度环量将发生变化，旋涡会产生和消失。当时，涡量增加，反之，涡量减少。当时，涡量增加，反之，涡量减少。0DDt即正压流体的等压面和等密度面是重合的。即正压流体的等压面和等密度面是重合的。Shanghai Jiao Tong University5.9 旋涡的形成机理旋涡的形成机理2.再看理想流体，流场正压，但质量力无势的情况2.再看理想流体，流场正压，但质量力无势的情况以地球大气运动为例。考虑地球自转，大气相对于地球的以地球大气运动为例。考虑地球自转，大气相对于地球的Euler运动方程为：运动方程为：()D2Drerpt=VFaV这里这里Vr是大气相对地球的运动速度，是大气相对地球的运动速度，F为重力密度，为重力密度，ae为牵连加速度，为地球自转角速度，右端最后一项是为牵连加速度，为地球自转角速度，右端最后一项是Coriolis加速度。假设地球自转角速度恒定，若以加速度。假设地球自转角速度恒定，若以R表示流体质点到地球轴线的距离，则有：表示流体质点到地球轴线的距离，则有：222eR=aShanghai Jiao Tong University5.9 旋涡的形成机理旋涡的形成机理另外，重力有势，流体正压，这样可以得到速度环量的物资导数为：另外，重力有势，流体正压，这样可以得到速度环量的物资导数为：()()()2222DD2DD2222rrLLLrrLLLRpdldldlttRpddldl=+=+=VVV V?可以看到质量力可以看到质量力Coriolis对速度环量的影响，即是旋涡形成的一个因素。对速度环量的影响，即是旋涡形成的一个因素。Shanghai Jiao Tong University5.10 涡量动力学方程涡量动力学方程旋涡运动必须满足流体运动的基本方程，即旋涡运动必须满足流体运动的基本方程，即Navier-Stokes方程方程(真实流体真实流体)，或，或Euler方程方程(理想流体理想流体)。0=V21,pt+=+VVVfV221,2pt+=+VVVVf 0=V如果是不可压，体积力有势，就可进一步写成：如果是不可压，体积力有势，就可进一步写成：()22,2pt+=+VVVV 0=VShanghai Jiao Tong University5.10 涡量动力学方程涡量动力学方程())()222,Vtp+=+VVV 对上式两边取叉乘对上式两边取叉乘(旋度旋度)，得到：，得到：张量公式：即梯度的旋度为00=()()()()()=+VVVVV()()2=VVV()()2=Shanghai Jiao Tong University5.10 涡量动力学方程涡量动力学方程整理后得到：整理后得到：()()2t+=VV()ttt =VV()2DDt=+V这就是体积力有势、不可压流体的这就是体积力有势、不可压流体的涡量动力学方程涡量动力学方程，也称为，也称为涡量输运方程涡量输运方程(vorticity transport equation)。这个方程的最大优点是方程中不出现压强、密度和质量力，而只含速度和涡量，即压力与涡量的输运无直接关系。这个方程的最大优点是方程中不出现压强、密度和质量力，而只含速度和涡量，即压力与涡量的输运无直接关系。Shanghai Jiao Tong University5.10 涡量动力学方程涡量动力学方程对于对于理想流体理想流体，可以放宽约束，只要流体正压，体积力有势，即可以整理得到：，可以放宽约束，只要流体正压，体积力有势，即可以整理得到：()()()0t+=VVV()()DDt=VV这就是体积力有势、流体正压、理想流体的这就是体积力有势、流体正压、理想流体的涡量动力学方程涡量动力学方程，也称为，也称为Helmholtz方程方程。同样，这个方程的最大优点是方程中不出现压强、密度和质量力，而只含速度和涡量，对可压流体也适用。同样，这个方程的最大优点是方程中不出现压强、密度和质量力，而只含速度和涡量，对可压流体也适用。Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场对于一个静止流体，要运动起来，要么是流场中存在源汇对于一个静止流体，要运动起来，要么是流场中存在源汇(速度散度不为零，速度散度不为零，)，要么流场中存在旋涡，要么流场中存在旋涡(涡量不为零，涡量不为零，)。因此。因此源汇源汇和和旋涡旋涡是诱导流体流动的两个因素。是诱导流体流动的两个因素。0V0V从数学上讲就是，如果流场中存在散度场或涡量场，就可以唯一确定流体的运动速度场从数学上讲就是，如果流场中存在散度场或涡量场，就可以唯一确定流体的运动速度场 V，即，即()()(),H x y z tx y z tx y z t=VVV nU，散度场，涡量场物面条件唯一确定速度场唯一确定速度场VShanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场唯一性证明：唯一性证明：即假如有两个速度场即假如有两个速度场V1和和V2都满足散度场方程、涡量场方程和物面条件，要证明都满足散度场方程、涡量场方程和物面条件，要证明 V1 =V2。证明：证明：设设 V=V1-V2，则，则V满足满足()0,0,0=VVV n由于由于V的旋度为的旋度为0，即无旋，必存在速度势，即无旋，必存在速度势，即，即=V又由于又由于V的散度为的散度为0，可得到速度势，可得到速度势满足满足Laplace方程：方程：()20,0=V nn根据根据Laplace方程的理论，以上方程的解为方程的理论，以上方程的解为f=Const，因此，因此0=V这就证明了这就证明了 V1 =V2，解的唯一性得到了证明。，解的唯一性得到了证明。Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场问题：问题：在一个无穷的区域，如果没有物体边界存在，且满足散度方程和旋度方程，试求速度场分布，即：在一个无穷的区域，如果没有物体边界存在，且满足散度方程和旋度方程，试求速度场分布，即：()(),H x y z tx y z t=VV求速度场求速度场V解：解：根据解唯一性，可知存在速度场，且唯一。由于散度场方程和涡量场方程都是线性的，因此其解速度场根据解唯一性，可知存在速度场，且唯一。由于散度场方程和涡量场方程都是线性的，因此其解速度场V可以分解成两部分：可以分解成两部分：V=Ve+Vv，其中，其中1)Ve满足满足2)Vv 满足满足(),0eeH x y z t=VV，()0,vvx y z t=VV，Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场这样问题就转化为两个问题的线性叠加这样问题就转化为两个问题的线性叠加：()()()(),0,0veveH x y z tH x y z tx y z tx y z t=+=VVVVVV1)先求解先求解 Ve由于由于Ve无旋，必存在速度势无旋，必存在速度势 fe，满足，满足Poisson方程方程ee=V()2,eHx y z t=Poisson方程的解为：方程的解为：()()()()222,14eHtd d dxyz =+Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场于是得到：于是得到：()()()3,14111,44eeHtd d drHtd d dHtd d drr =Vr这里这里)()()()T222,xyzrxyz=+rr因此如果知道因此如果知道H(散度场，即源汇分布散度场，即源汇分布)，就可求得周围空间点的诱导速度场的分布。，就可求得周围空间点的诱导速度场的分布。()31,4eHtd d dr =rV即：即：(x,y,z)为场点，为场点，(,)为积分动点，而且为积分动点，而且Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场例子：例子：如果一个无旋速度场，它的散度场分布如下，求它对周围流体的诱导速度场。如果一个无旋速度场，它的散度场分布如下，求它对周围流体的诱导速度场。()()()()()1,0,0,0,0,0,0,0 x y zx y zx y z=V当当解：解：把把 H=代入诱导速度公式，得到：代入诱导速度公式，得到：()T332220,0,0,111444ex y zd d drrxyz =+rrV这就是这就是点源点源引起的诱导速度分布，即从原点处由流体源源不断地流入或流出。引起的诱导速度分布，即从原点处由流体源源不断地流入或流出。Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场2)再求解再求解 Vv 满足满足我们知道旋度的散度为零，现在已知，因此必定存在一个矢量势函数我们知道旋度的散度为零，现在已知，因此必定存在一个矢量势函数 B(vector potential)使得，使得()0,vvx y z t=VV，0v=Vv=VB代入涡量方程，并注意以下张量公式，代入涡量方程，并注意以下张量公式，()()2=VVV可以得到：可以得到：()()2=BBB20=BB()2 =BBShanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场第一个方程是第一个方程是Poisson方程，它的解为：方程，它的解为：()()()()222,14td d dxyz =+B现在看它是否满足第二个方程：现在看它是否满足第二个方程：1144d d ddSrr =nB0,0,S=B nB要就必须要求这就要求无穷远处或局域边界是涡面时，才成立。在这种情况下是原始涡量方程的解。Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场在这个条件下，可以得到涡量场的诱导速度分布：在这个条件下，可以得到涡量场的诱导速度分布：()()()()()()2223,14,111,44vtd d dxyzttd d dd d drr =+=VBr即：即：()3,14vtd d dr =rV因此如果知道因此如果知道(涡量场涡量场)，就可求得旋涡引起周围空间点运动的诱导速度场的分布。，就可求得旋涡引起周围空间点运动的诱导速度场的分布。Shanghai Jiao Tong University5.11 诱导速度场诱导速度场因此散度场(源汇)和涡量场(旋涡)所引起的总诱导速度为：因此散度场(源汇)和涡量场(旋涡)所引起的总诱导速度为：()()()()333,11,4411,4evtHtd d dd d drrHttd d dr =+=+=+VVVrrrr()()()()T222,xyzrxyz=+rr这里这里(x,y,z)为场点，为场点，(,)为积分动点。为积分动点。Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子例子例子1：如果一个无旋速度场，它的散度场分布如下，求它对周围流体的诱导速度场。如果一个无旋速度场，它的散度场分布如下，求它对周围流体的诱导速度场。()()()()()1,0,0,0,0,0,0,0 x y zx y zx y z=V当当解：解：把把 H=代入诱导速度公式，得到：代入诱导速度公式，得到：()T332220,0,0,111444ex y zd d drrxyz =+rrV这就是这就是点源点源引起的诱导速度分布，即从原点处由流体源源不断地流入或流出。引起的诱导速度分布，即从原点处由流体源源不断地流入或流出。Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子点源和点汇点源和点汇流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为流体从一点沿径向直线均匀地向外流出的流动，称为点源点源(Source)，这个点称为源点，这个点称为源点；如果流体从一点沿径向直线均匀地向内流进的流动，称为；如果流体从一点沿径向直线均匀地向内流进的流动，称为点汇点汇(Sink)，这个点称为汇点，这个点称为汇点。不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度。不论是点源还是点汇，流场中只有径向速度。xxyy(a)(b)Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子根据流体的连续性原理，在极根据流体的连续性原理，在极(球球)坐标中流体流过任意单位高度圆柱面坐标中流体流过任意单位高度圆柱面(球表面球表面)的的体积流量体积流量 m(也称为也称为源流或汇流的强度源流或汇流的强度)都相等。对二维：都相等。对二维：2,02rrmVrmVVr=对三维：对三维：224,0,04rrzmVrmVVVr=很容易证明，除了源点或汇点，上述流场是无旋和散度为零，因此可以得到：对二维：很容易证明，除了源点或汇点，上述流场是无旋和散度为零，因此可以得到：对二维：对三维：对三维：ln,22mmr=4mr=Shanghai Jiao Tong University5.12诱导速度场例子诱导速度场例子根据以上得到的流函数和势函数可知，等势线为不同半径的同心圆；流线为不同极角的径线。根据以上得到的流函数和势函数可知，等势线为不同半径的同心圆；流线为不同极角的径线。Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子例子例子2：求一个长为求一个长为L，旋涡强度为，旋涡强度为的涡丝在空间场的诱导速的涡丝在空间场的诱导速度分布。度分布。解：解：我们知道涡量集中在一根很细的涡管上，可以近似看成一条线，称为涡丝。在此细涡管取微元段我们知道涡量集中在一根很细的涡管上，可以近似看成一条线，称为涡丝。在此细涡管取微元段dl，其截面积为，其截面积为S，则体积为，则体积为Sdl。设涡量为，因此有：。设涡量为，因此有：0lim,SSd d ddSdd =ll()33,144vLtdd d drr =rlrV代入旋涡诱导速度公式，有：代入旋涡诱导速度公式，有：Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子这个式子与电磁学中的这个式子与电磁学中的Biot-Savart公式形式上是一致的，可作公式形式上是一致的，可作水电比拟水电比拟。在电磁学中，这个公式是用来确定通电导线在周围所感应的磁场强度分布；而在流体力学中，。在电磁学中，这个公式是用来确定通电导线在周围所感应的磁场强度分布；而在流体力学中，Biot-Savart公式是确定旋涡所诱导的周围空间上的速度场分布。如果设公式是确定旋涡所诱导的周围空间上的速度场分布。如果设 r 与与 d l 的夹角为的夹角为，则，则Biot-Savart公式公式变为：变为：2s in4vLd lr=V诱导速度的方向为诱导速度的方向为d l与与r的叉乘方向。的叉乘方向。Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子例子例子3：如图一段直线涡丝如图一段直线涡丝AB，旋涡强度为，旋涡强度为，其方向与，其方向与x轴的正向一致。空间点轴的正向一致。空间点M到涡丝的距离为到涡丝的距离为R，求涡丝在，求涡丝在M点处的诱导速度。点处的诱导速度。解：在在AB上任取一维元涡丝上任取一维元涡丝d l，由几何关系得到：，由几何关系得到：2tgcot,cse,seccse22xRRdldxRdrRR=()21122sinsincoscos444LVdldrRR=+代入旋涡诱导速度代入旋涡诱导速度Biot-Savart公式：公式：Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子对于半无限长涡丝，有，代入得到：对于半无限长涡丝，有，代入得到：4VR=12,02=对于无限长涡丝，有，代入得到：对于无限长涡丝，有，代入得到：120,0=2VR=对于无限长涡丝，在垂直于涡丝的任何平面内，诱导速度都是相同的，因此可以看作是二维对于无限长涡丝，在垂直于涡丝的任何平面内，诱导速度都是相同的，因此可以看作是二维点涡点涡诱导二维流动，速度分布为：诱导二维流动，速度分布为：0,2rVVr=这里这里r为场点到点涡的距离。为场点到点涡的距离。Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子点涡点涡：若直线涡束的半径，则垂直于该涡束的平面内若直线涡束的半径，则垂直于该涡束的平面内的流动称为的流动称为点涡点涡或或自由涡流自由涡流，涡流中心称为涡点。除涡点以外，流场无旋和散度为零，因此有：，涡流中心称为涡点。除涡点以外，流场无旋和散度为零，因此有：0br0,2rVVrrr=2=10,rVr=Vr=rln2=Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子点涡流场的等势线为不同极角的径线，即点涡流场的等势线为不同极角的径线，即 f=常数；流线为不同半径的同心圆，即 常数；流线为不同半径的同心圆，即 =常数，与点源常数，与点源(或点汇或点汇)相反。点涡的强度即是沿围绕点涡轴线上的环量。当相反。点涡的强度即是沿围绕点涡轴线上的环量。当 0时，环流为逆时针方向；时，环流为逆时针方向；0，环流为顺时针方向。由，环流为顺时针方向。由Stokes定理知，点涡的强度 取决于旋涡强度定理知，点涡的强度 取决于旋涡强度(涡通量涡通量)。Shanghai Jiao Tong University5.12 诱导速度场例子诱导速度场例子例子例子4：两点涡的初始位置如图所示，它们的旋涡强度为两点涡的初始位置如图所示，它们的旋涡强度为1和和2，试分析这两点涡的运动。，试分析这两点涡的运动。解：如果把两个点涡作为整体看待，当如果把两个点涡作为整体看待，当 1 +2=0 时，即旋涡强度相等，方向相反，两点涡只作整体平移运动，没有旋转和相对运动，反之，则两点涡存在旋转和相对运动。时，即旋涡强度相等，方向相反，两点涡只作整体平移运动，没有旋转和相对运动，反之，则两点涡存在旋转和相对运动。111212121222,22MMdduvdtrdtr=对于对于M1点的运动，是由点的运动，是由M2点涡的诱导产生，由旋涡诱导点涡的诱导产生，由旋涡诱导Biot-Savart公式，得到：公式，得到：Shanghai Jiao Tong Univers