第一讲直线的方程.doc

第一讲 直线的方程
一、知识点梳理：
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按 方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为
②倾斜角的范围为： ．
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ ，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ .
2．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式

斜截式

两点式

截距式

一般式

3.过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程
(1)若x1≠x2，且y1≠y2时，方程为＝.
(2)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1.
(3)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1.
4．线段的中点坐标公式
若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
二、 基础训练：
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为________．
2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为________．
3．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
4．若△ABC三个顶点坐标为A(0,3)，B(3，－1)，C(1,3)，则BC边上的中线所在的直线方程为________．
5．直线l过点A(1,2)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍且截距不为零，则其方程为________．
三、例题讲解：
题型一：求直线的倾斜角、斜率的取值范围
[例1]　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是________．

(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．

变式1：若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围．

变式2：已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________．

归纳：求倾斜角取值范围的一般步骤：
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；
(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

题型二、求直线的方程
[例2]　求适合下列条件的直线方程：
(1)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(2)直线过点(5,10)，且原点到直线的距离为5.
(3)过点A(2,1)，倾斜角是直线l1：3x＋4y＋5＝0的倾斜角一半
(4)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

变式1：(1)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；

(2)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且AB＝5.

变式2：
题型三、直线方程的综合应用
例3：已知直线l过点M(3,2)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，
（1） 当|OA|＋|OB|取得最小值时，求出直线l的方程；
（2） 当的面积最小时，求出直线的方程；
（3） 当最小时，求出直线的方程。

变式：已知直线l：kx－y＋2－k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l恒过第一象限；
(2)若直线l交x，y轴正半轴于A，B两点，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

直线方程的作业

一、填空题
1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是________．
2．(2015·扬州模拟)过点(，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为________．
3．下列条件中，能使直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限的是________．
①ab＞0，bc＜0；②ab>0，bc>0；③ab<0，bc>0；④ab<0，bc<0.
4．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点________．
5．已知P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3,4)的直线上，则m的值为________．
6．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________．
解析：设P(xP,1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5,1)，所以k＝－.
答案：－
10．(2015·无锡模拟)过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－x；
(2)当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，
即x－y＝a.代入点(－3,5)，得a＝－8.
即直线方程为x－y＋8＝0.
答案：y＝－x或x－y＋8＝0
11．(2015·南通模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．
解析： 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4.
答案：4
12．(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．
解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－，令－3＜1－＜3，解得k＜－1或 k＞.
答案：(－∞，－1)∪
三、解答题
13．已知两点A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直线AB的方程；
(2)已知实数m∈，求直线AB的倾斜角α的取值范围．
解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1；
当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝(x＋1)．
(2)①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，m＋1∈∪(0， ]，
∴k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.
综合①②知，直线AB的倾斜角α∈.

1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足的关系式为________．
解析：因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－，所以－＝－1，即a－b＝0.
答案：a－b＝0
2．(2015·常州模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导函数，如果f′(x)是二次函数，f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是________．
解析：由题意知f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，所以f′(x)＝a(x－1)2＋≥ ，即tan α≥ ，所以α∈.
答案：
3．(2015·盐城模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，其前n项和Sn＝，则直线＋＝1与坐标轴所围成三角形的面积为________．
解析：由an＝，可知an＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－，
又知Sn＝，
∴1－＝，即n＝9.
∴直线方程为＋＝1，且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9)，
∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为×10×9＝45.
答案：45
4．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.