最值（范围）问题.doc

7．已知函数的定义域是，记的最大值为，则的最小值
是______________．

14．已知函数，若恰有两组解，使得在定义域上的值域也为，则实数的取值范围为______________．

14．已知，且满足，则的取值范围为______________．
【答案】
【解析】换元，用斜率处理；将看作整体

14．若，且满足，则的最大值为______________．

1．的最大值为_____________．
【答案】．
【解析】，
，
故，当且仅当时取等号．

13.设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为 ．

3．是不同的正整数，若集合，为正整数，则的最小值是 ．

4．若实数满足，则的取值范围是______________．

5．若二次函数的值域为，且当时，
不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
8．已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为 ．

14．在平面直角坐标系中，设为函数的图象与轴的两个交点，为函数图象上的两个动点，且在轴上方（不含轴），则的取值范围为_________________．

14．由题意A(－1，0)，B(1，0)，设C(x1，1－x12)，D(x1，1－x12)，－1＜x1，x2＜1，则·＝(x1＋1)(x2－1)＋(1－x12)(1－x22)＝(x2－1)[(x2＋1)x12＋x1－x2]．记f(x)＝(x2＋1)x2＋x－x2，－1＜x＜1．
（1）当－1＜x2≤－时，则0＜2(x2＋1)≤1，－≤－1，又x2＋1＞0，所以f(x)在(－1，1)上单调递增，因为f(－1)＝0，f(1)＝2，所以0＜f(x)＜2．又x2－1＜0，所以2(x2－1)＜·＜0．根据－1＜x2≤－，则－4＜·＜0．
（2）当－＜x2＜1时，则1＜2(x2＋1)＜1，－1＜－＜－．又x2＋1＞0，所以f(x)在(－1，1)上先减后增，x＝－时取的最小值f(－)＝－[x2＋]，又f(1)＝2，所以x2＋＜f(x)＜2．又x2－1＜0，所以2(x2－1)＜·≤[x2＋](1－x2)．
令g(x)＝x(1－x)＋，则g(x)＝－x2＋x－＋，g'(x)＝1－2x－＝－＝－，当－＜x＜时，g'(x)＞0；＜x＜1时g'(x)＜0；所以g(x)在(－，1)上先增后减，所以g(x)max≤g()＝－．
又2(x2－1)＞－3，所以－3＜·≤－．综上，·的取值范围是(－4，－]．

利用方程有解分析的方法
14．已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 ▲ ．
【答案】[1，]
5．圆的方程为，圆的方程为，过圆上
任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值是_________．

6．已知中，点满足，，则的最小值为_________．

备选题
1．若实数满足，则的取值范围是________．
2．若直线与圆有公共点，则
的最小值是_____________．
3．设，且满足，，则的取值范围是________．
12．已知，且，设的最大值和最小值分别为，
则________________．
3．已知点分别在曲线上，则的最小值为__________．

14．记数列的前项和为，若不等式对任意等差数列及任意都成立，
则实数的最大值为__________．

4．在平面直角坐标系中，定义为两点之
间的“折线距离”，则椭圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值为___________．

正方体中，是线段上的动点，则到直线距离的最小值为 ．

13.已知函数，若存在实数，满足
，其中，则取值范围是 ．
解析：注意，

12.如图，在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上一个动点，设，，记，则函数的值域为___________．
A B
D C
P

A
B
C
D
O
N
M

6.如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O 的直线MN分别交正方形的边AB，CD于点M，N，则当取最小值时，CN= ．
3．已知，且，则的最大值为__________
4．设 ，则的取值范围为_____________
11．若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，
则△（为坐标原点）的周长的最小值为_　　　　___.
1．使关于的不等式有解的实数的取值范围是_______________
5．已知直线与平行，点是这两直线之间的一定点，且点到这两直线的距离分别为1和2，以为直角顶点的直角三角形另两顶点分别在直线、上，则当运动时，直角三角形面积的最小值为
3．为常数，若抛物线：对任何实数都经过定点，则当_________时，抛物线截轴所得的弦最长
6．在△中，内角的对边分别为，若，为△的外心，点在△所在平面上，，且，则边上的高的最大值是____________

14. 已知数列满足，且，其中，若，则实数的最小值为 4

20.已知点及圆O ： ；
（1）如左图，若点N（1,1）为圆C上一点，直线m ：；过原点O与MN垂直的直线交m于点Q，试证明：QN与圆O相切；
（2）如右图，当r =2，且在的圆P上运动时，过向圆O引两条切线，切点记为A、B，试求的最大、最小值？

5. 已知实数满足，则的最大值为 ．
解法:1：，
，
当且仅当时取等号.
解法2：

∵√(x^2+y^2)+z=1且x、y、z∈R+，
故可令z=(sinα)^2，√(x^2+y^2)=(cosα)^2，
而x=(cosα)^2sinβ，y=(cosα)^2cosβ，
其中，α、β∈(0，π/2].
于是，代入所求式整理，得
xy+2xz
=[sinβ/(2-cosβ)][2(cosα)^2-cosβ(cosα)^2][cosβ(cosα)^2+2(sinα)^2]
≤[sinβ/(2-cosβ)][(2(cosα)^2-cosβ(cosα)^2+cosβ(cosα)^2+2(sinα)^2)/2]^2
=sinβ/(2-cosβ).
令tan(β/2)=t，则依万能代换公式有，
xy+2xz
≤[2t/(1+t^2)]/[2-((1-t^2)/(1+t^2))]
=2t/(1+3t^2)
≤2t/(2√3t)
=√3/3.
当x=√3/3，y=z=1/3时，上式取等号.
即xy+2xz的最大值为√3/3。

1．已知直角三角形的三内角的对边分别为，且不等式恒成立，
则实数的最大值为 ．

4．已知函数与函数在区间上都有零点，则的
最小值为 ．
分析：，

1．若，且，则的最大值为______．
提示：注意到与两角和的正切公式结构一致，考虑三角代换.
设，由题意易得，

，
当且仅当时取等号

1．若，则的最大值为_____________．
解析只需考虑的情形，
由逐步调整法，易知最大值必在时取到，设．
求导得

14．当时,不等式恒成立,则的最大值是________.
解法1 当时, ①,又有 ②,
②+①×2,得,,,
即.由,得,.
解法2 ,
又 ,
, 即,
当且仅当 且 , 即 时取等号.
恒成立,
. 于是.
解法3 原不等式等价于 ,由 ,可知. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需, 即即可, 故, 于是.
解法4 即 ①成立，又恒成立，
只要满足②就能使①恒成立.由②式，得，，③.由于对称轴，由二次函数的性质，当时，要③式恒成立，
则 .
解法5 设（），则=+
=.
－1），即2－，
则，于是，
由已知，得.
O
O

x
解法6 设则
表示在坐标系第一象限内以原点为圆心，为半径的圆及其外部.由得又它表示双曲线位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线相切或相离，从而，即 .
评析 恒成立，.故问题的实质就是求的最小值（关于的式子）大于等于2的解.因而在的条件下，如何求的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理

1．设点分别在函数的图象上，且
，则点横坐标的取值范围为_________________．
【答案】
【解析】设，
设，由得
，
由得，
故．