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第9课时 有理数加法运算律
一、学习目标
1．进一步掌握有理数的加法运算法则，理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性；
2．学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用加法运算律简化运算；
3．经历有理数加法中运算律的探索，概括出有理数加法仍满足加法交换律和结合律；
4．通过自主探索有理数加法运算律，体会观察、实验、归纳、推理等活动在数学学习中的作用．
二、知识回顾
1．有理数的加法法则：
同号两数相加，取　　相同的　　符号，并把　　绝对追　　相加．
异号两数相加，绝对值相等时，和为　　０　　；绝对值不相等时，取　　绝对值较大的加数　　的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
一个数同　　０　　相加，仍得这个数．
2．小学里学过加法的运算律有哪些？
　　加法交换律、加法结合律　　
三、新知讲解
1.有理数加法交换律
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即
a+b=b+a．
（注意：运算律式子中的字母a，b表示任意的一个有理数，可以是正数，也可以是负数或者零.在同一个式子中，同一个字母表示同一个数．）
2.有理数加法结合律
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．即
(a+b)+c=a+(b+c)或（a-b）-c=a+(-b-c)
四、典例探究

1．有理数加法运算律
【例1】用加法运算律转化式子（－9）+8.75+（－1）正确的是（）
A（－9）＋（－8.75）＋1 B．（－9）＋（－1）＋（－8.75）
C．（－9）＋（－1）＋8.75 D．（－8.75）＋(9＋1)
总结：根据加法的交换律和结合律可以得出：三个以上的有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个加数相加．
练1．计算（-）+（-12.5）+2.5时，为了简便运算，第一步应先利用的加法运算律是（）
A．交换律 B．结合律 C．交换律和结合律 D．不确定
练2．运用加法运算律简化计算.
（1）（-）＋＋（-）；
（2）（-）＋3＋2.75＋（-8.5）．

2.多个有理数的加法
【例2】用简便方法计算：
（1）；
（2）．

总结：简化加法运算一般有如下技巧：
（1）凑0，互为相反数的两数结合，其结果为0；
（2）凑整，即几个非整数的有理数相加，可先把相加得整数的加数相加；
（3）同号的两数结合，即正数与正数结合，负数与负数结合；
（4）同分母或便于通分的结合．
练3．计算：（－2.48）+4.33+（－7.52）+（－4.33）．

练4．计算：．

3．有理数加法在生活中的应用
【例3】李华用400元批发（购买）了8套儿童服装，全部卖出，如果每套以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣3，0，﹣2．问：李华在这次买卖中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元钱？

总结：此类问题一般比较简单，通常直接根据题意列式并计算，再结合实际意义得到结论，在计算时，注意运算顺序和运算律的合理使用，以便简便计算．
练5．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？

练6．食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下：
+5，﹣3，+7，0，0，+2，﹣4，﹣1，+8，﹣2．
食堂共购进大米多少千克？

五、课后小测
一、填空题
1．计算－12.7＋7.8+(－2.3)的结果为　　 　　．
2．绝对值不大于10的所有整数的和是　 　　．
3．在括号内填写算式中这一步运算的根据：
（＋）＋（－）＋（＋）＋（－）
=（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）（ ）
=[（＋）＋（＋）]＋[（－）＋（－）]（　　 　）
=（＋11）＋（－7）（　　 　　）
= 4（　　 　　）．
4．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正）：128.5万元，-140万元，-28.5万元，280万元，这个商店去年总的盈亏情况为：　　 　　．
二、解答题
5．运用加法运算律简化计算.
（1）（—）＋＋（ —）；
（2）（—）＋3＋2.75＋（—8.5）．

6．计算：（﹣2）+（+5）+（﹣3）+（+1.125）+（+4）．

7．计算：31+（﹣28）+28+69．

8．简便计算：
（1）2+（﹣2）+（﹣1）+2+（﹣3）；
（2）（﹣3.75）+5+（﹣2）+（﹣4）+3+（﹣1）．

9．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值．
（1）﹣+（﹣9）++（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣．
上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：
（2）（﹣2008）+（﹣2007）++（﹣）．

10．有五袋薯片，以每袋500克为准，超过的克数记为正，不足的克数记为负，称重记录如下：+3.5克，－1.76克，－3.5克，+2.5克，+2.76克，这五袋薯片的总质量超过或不足多少克?

11．8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5，8筐白菜的总重量是多少？

12．2008年9月，受台风“韦帕”影响，我市某水库某天8：00的水位为﹣0.3m（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.4，﹣0.2，0.5，﹣0.2，﹣0.1，﹣0.2．
经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？高于或低于警戒线多少米？

13．蜗牛妈妈在一条笔直的暗沟里来回爬行寻找食物，先从家（即点O）出发，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：
＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）蜗牛妈妈最后是否回到出发点O？
（2）离开出发点O的最远距离是多少？
（3）在爬行的过程中，如果每爬行1cm能寻到一份食物，则蜗牛妈妈一共得到多少份食物？

例题详解：
【例1】用加法运算律转化式子（－9）+8.75+（－1）正确的是（）．
A（－9）＋（－8.75）＋1 B．（－9）＋（－1）＋（－8.75）
C．（－9）＋（－1）＋8.75 D．（－8.75）＋(9＋1)
解析：观察式子可知先运用交换律把8.75与－1交换可使计算简便，注意交换时要连同符号一起交换．
答案：C．
【例2】用简便方法计算：
（1）；
（2）．
解析：（1）原式=
=20+0
=20．
（2）原式=
=
=
=-3.5．
【例3】李华用400元批发（购买）了8套儿童服装，全部卖出，如果每套以55元的价格为标准，超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣3，0，﹣2．问：李华在这次买卖中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元钱？
分析：把记录的所有的数相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果是正数，则盈利，是负数，则亏损．
解答：解：（+2）+（﹣3）+（+2）+（+1）+（﹣2）+（﹣3）+0+（﹣2）
=2﹣3+2+1﹣2﹣3+0﹣2
=﹣5，
故李华在这次买卖中亏损，亏损5元钱．
点评：本题考查了有理数的加法运算，以及正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
练习答案：
练1．计算（-）+（-12.5）+2.5时，为了简便运算，第一步应先利用的加法运算律是（）
A．交换律 B．结合律 C．交换律和结合律 D．不确定
解：观察算式，可知先利用加法结合律交换把-12.5与2.5结合可简便运算．故选B．
练2．运用加法运算律简化计算.
（1）（-）＋＋（-）；
（2）（-）＋3＋2.75＋（-8.5）．
解：（1）原式=-（）＋
=-＋
=-；
（2）原式=（＋3＋2.75）＋[（-）＋（-8）]
=6＋（-9）
=-3．
练3．计算：（－2.48）+4.33+（－7.52）+（－4.33）．
解：原式=[(－2.48)+(－7.52)]+[4.33+(－4.33)]
=-10+0
=-10．
练4.计算：；
解：原式=
=
=．
练5．为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午，出租车司机小王在东西向的公路上免费接送老师．如果规定向东为正，向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：+15，﹣4，+13，﹣10，﹣12，+3，﹣13，﹣17．
（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少？
（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升？
分析：首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
解答：解：（1）根据题意：规定向东为正，向西为负：则
（+15）+（﹣4）+（+13）+（﹣10）+（﹣12）+（+3）+（﹣13）+（﹣17）=﹣25千米，
故小王在出车地点的西方，距离是25千米；
（2）这天下午汽车走的路程为
15|+|﹣4|+|+13|+|﹣10|+|﹣12|+|+3|+|﹣13|+|﹣17|=87，
若汽车耗油量为0.4升/千米，则87×0.4=34.8升，
故这天下午汽车共耗油34.8升．
点评：解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．一般情况下具有相反意义的量才是一对具有相反意义的量．
练6．食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下：
+5，﹣3，+7，0，0，+2，﹣4，﹣1，+8，﹣2．
食堂共购进大米多少千克？
分析：求出10袋大米总计超出或不足的重量，再加上10×100千克即可．
解答：解：（+5）+（﹣3）+（+7）+0+0+2+（﹣4）+（﹣1）+8+（﹣2）
=5+7+2+8+（﹣3）+（﹣4）+（﹣1）+（﹣2）
=22+（﹣10）=12，
100×10+12=1012（千克）．
答：食堂共购进大米1012千克．
点评：用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．
课后小测答案：
1．计算－12.7＋7.8+(－2.3)的结果为　　-7.2.　　．
解：－12.7+(－2.3)＋7.8=-7.2.
2．绝对值不大于10的所有整数的和是　　0_　　．
解：绝对值不大于10的所有整数是±10，±9，±8，…±1，0，它们的和为0.
3．在括号内填写算式中这一步运算的根据：
（＋）＋（－）＋（＋）＋（－）
=（＋）＋（＋）＋（－）＋（－）（加法交换律）
=[（＋）＋（＋）]＋[（－）＋（－）]（　　加法结合律　　）
=（＋11）＋（－7）（　　同号两数相加法则　　）
= 4（　　异号两数相加法则　　）．
解：分析式子的过程可得出每一步的依据．答案为：加法交换律，加法结合律，同号两数相加法则，异号两数相加法则解析．
4．某商店去年四个季度盈亏情况如下（盈余为正）：128.5万元，-140万元，-28.5万元，280万元，这个商店去年总的盈亏情况为：　　盈利173万元　　．
解：128.5+（-140）+（-28.5）+280=128.5+（-28.5）+280+（-140）=100+140=240（万元）＞0，
∴这个商店去年盈利173万元．
5．运用加法运算律简化计算.
（1）（—）＋＋（ —）；
（2）（—）＋3＋2.75＋（—8.5）．
解：（1）原式=—（）＋
=—＋
=—；
（2）原式=（＋3＋2.75）＋[（—）＋（—8）]
=6＋（—9）
= — 3．
6．计算：（﹣2）+（+5）+（﹣3）+（+1.125）+（+4）
解：原式=（﹣2+1.125）+（﹣3+4）+5
=﹣1+1+5
=5．
7．计算：31+（﹣28）+28+69
解：原式=（31+69）+（﹣28+28）
=100+0
=100．
8．简便计算：
（1）2+（﹣2）+（﹣1）+2+（﹣3）；
（2）（﹣3.75）+5+（﹣2）+（﹣4）+3+（﹣1）．
解：（1）原式=2++（﹣2）+（﹣）+（﹣1）+（﹣）+2++（﹣3）+（﹣）
=（2﹣2﹣1+2﹣3）+（﹣﹣﹣+）
=﹣2﹣+
=﹣+
=﹣2；
（2）原式=﹣3+3+5+（﹣4）+（﹣2）+（﹣1）
=1﹣3﹣1
=﹣3；
9．阅读下列第（1）题中的计算方法，再计算第（2）题中式子的值．
（1）﹣+（﹣9）++（﹣3）
解：原式=[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+[（+17）+（+）]+[（﹣3）+（﹣）]
=[（﹣5）+（﹣9）+（+17）+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）+（+）+（﹣）]
=0+（﹣1）
=﹣
上面这种方法叫拆项法．仿照上述方法计算：
（2）（﹣2008）+（﹣2007）++（﹣）
解：原式=（﹣2008）+（﹣）+（﹣2007）+（﹣）+4017++（﹣1）+（﹣）
=（﹣2008﹣2007+4017﹣1）+（﹣﹣+﹣）
=1﹣
=﹣．
10．有五袋薯片，以每袋500克为准，超过的克数记为正，不足的克数记为负，称重记录如下：+3.5克，－1.76克，－3.5克，+2.5克，+2.76克，这五袋薯片的总质量超过或不足多少克?
解：12.+3.5+(－1.76)+(－3.5)+2.5+2.76=[+3.5+(－3.5) ]+[(－1.76) +2.76]+2.5=3.5(克)，
答：这五袋薯片的总质量超过5克.
11．8筐白菜，以每筐25千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重的记录如下：
1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5，
8筐白菜的总重量是多少？
解：1.5+（﹣3）+2+（﹣0.5）+1+（﹣2）+（﹣2）+（﹣2.5）
=[1.51+（﹣2.5）]+[2+（﹣2）]+[（﹣3）+（﹣2）+（﹣0.5）]
=0+0+（﹣5.5）
=﹣5.5
25×8+（﹣5.5）=194.5（千克），
答：8筐白菜的总重量是194.5千克．
12．2008年9月，受台风“韦帕”影响，我市某水库某天8：00的水位为﹣0.3m（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：m）：0.4，﹣0.2，0.5，﹣0.2，﹣0.1，﹣0.2．
经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？高于或低于警戒线多少米？
解：﹣0.3+0.4﹣0.2+0.5﹣0.2﹣0.1﹣0.2=﹣01，没有超过警戒线，低于警戒线0.1米．
13．蜗牛妈妈在一条笔直的暗沟里来回爬行寻找食物，先从家（即点O）出发，假定向右爬行的路程为正数，向左爬行的路程为负数，爬行的各段路程依次为（单位：cm）：
＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．
（1）蜗牛妈妈最后是否回到出发点O？
（2）离开出发点O的最远距离是多少？
（3）在爬行的过程中，如果每爬行1cm能寻到一份食物，则蜗牛妈妈一共得到多少份食物？
解：（1）5＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）＋12＋（－10）
=（5＋12）＋[（－3）＋（－8）＋（－6）]＋[10＋（－10）]
=17＋（－17）＋0
=0．
所以蜗牛妈妈最后回到了出发点O．
（2）|5＋（－3）|=2，
|5＋（－3）＋10|=12，
|5＋（－3）＋10＋（－8）|=4，
|5＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）|=2，
|5＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）＋12|=10，
|5＋（－3）＋10＋（－8）＋（－6）＋12＋（－10）|=0.
所以离开出发点O的最远距离是12cm．
（3）|＋5|＋|（－3）|＋10＋|（－8）|＋|（－6）|＋12＋|（－10）|
=5＋10＋3＋10＋8＋6＋12＋10
＝54．
所以蜗牛妈妈一共得到54份食物．

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